華師大版八年級數(shù)學上《直角三角形三邊的關系》_

2002年在北年在北京召開的國際數(shù)學京召開的國際數(shù)學家大會（家大會（）。在那個）。在那個大會上，到處可以大會上，到處可以看到一個簡潔優(yōu)美看到一個簡潔優(yōu)美的圖案在流動，那的圖案在流動，那個遠看像旋轉的紙個遠看像旋轉的紙風車的圖案就是大風車的圖案就是大會的會標會的會標 那是采用了那是采用了1700多年前中國古代數(shù)學多年前中國古代數(shù)學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖家趙爽用來證明勾股定理的弦圖abc1. 直角三角形三邊的關系直角三角形三邊的關系簡陽市綜合實驗校潘心源簡陽市綜合實驗校潘心源三角尺三角尺直角邊直角邊a直角邊直角邊b斜邊斜邊c關系關系12三角尺直角邊三角尺直角邊a、直角邊、直角邊b、斜邊、斜邊c關系關系 測量你的兩塊直角三角尺測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：度填入下表：請猜想三邊的長度請猜想三邊的長度a、 b、 c之間的關系之間的關系 。 P 、 Q 、 R 的面積有什么關系？的面積有什么關系？直角三角形三邊有什么關系？直角三角形三邊有什么關系？等腰直角三角形中等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 那么在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢那么在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?ABCPQRP+Q=RAC2+BC2=AB2正方形正方形P的面積的面積 平方厘米；平方厘米；正方形正方形Q的面積的面積 平方厘米；平方厘米；正方形正方形R的面積的面積 平方厘米平方厘米正方形正方形P、 Q、 R的面積之間的關系的面積之間的關系是是 直角三角形的三邊的長度之間直角三角形的三邊的長度之間存在關系存在關系 （每一小方格表示（每一小方格表示1平方厘米）平方厘米）91625P+ Q= RAC2+BC2=AB2在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方也成立也成立！ 分分“割割”成若干個直角邊成若干個直角邊為整數(shù)的三角形。為整數(shù)的三角形。25144321R 在方格圖中，在方格圖中，用三角尺畫出兩條用三角尺畫出兩條直角邊分別為直角邊分別為5cm、 12cm的直角三角形，的直角三角形，然后用刻度尺量出然后用刻度尺量出斜邊的長，并驗證斜邊的長，并驗證關系關系“兩直角邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方和等于斜邊的平方平方”對這個直角對這個直角三角形是否成立三角形是否成立5122552+122= 325252= 325成立成立 對于任意的直角三角形，如果對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為它的兩條直角邊分別為a、 b，斜邊為，斜邊為c，那么一定有那么一定有a2b2c2。勾股定理勾股定理揭示了直揭示了直角三角角三角形三邊形三邊之間的關系之間的關系 勾股定理：勾股定理：abc直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形兩直角邊的平方和直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方. .做一做：做一做： P62540026xP的面積的面積 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_251520求下列圖中表示邊的未知數(shù)求下列圖中表示邊的未知數(shù)x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169X=81+1442Y=169-144Z=625-57622X=15Y=5Z=7S1S2S3S4S5S6S7已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值結論結論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7比比一一比比看看看看誰誰算算得得快！快！3.3.求下列直角三角形中未知邊的長求下列直角三角形中未知邊的長: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小結方法小結:8 8x x171716162020 x x12125 5x x例例1如圖14.1.4，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，長為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離（精確到0.01米）在Rt中，.米，米，.米，米，根據勾股定理可得根據勾股定理可得 .（米）（米）答：答： 梯子上端梯子上端A到墻的底邊的垂直距離到墻的底邊的垂直距離 約為約為4.96米米 AC2222 . .5.142.16？解解1. 在Rt中， c， a， ACb， B90（1） 已知a6， b10， 求c；（2） 已知a24， c25， 求b3.小波家買了一部新彩電,小波量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕長58厘米和寬46厘米，就問媽媽彩電是多少英寸,媽媽告訴他: “我們平常所說的電視機多少英寸指的是屏幕對角線的長度,1英寸等于2.54厘米,利用你所學的知識算一下電視機是多少英寸的?”練習練習2. 如果一個直角三角形的兩條邊長分別是3厘米和4厘米，那么這個三角形的周長是多少厘米?用四個完全相同的直角三角形，然后將它們拼成用四個完全相同的直角三角形，然后將它們拼成如圖所示的圖形如圖所示的圖形大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 。又可以表示為又可以表示為 對比兩種表示方法，看看能不能對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結論得到勾股定理的結論(a+b)2=24abC2a2+ b2c2=(a+b)2cab224用四個完全相同的直角三角形，還可以拼成如圖用四個完全相同的直角三角形，還可以拼成如圖所示的圖形所示的圖形大正方形的面積可以表示為大正方形的面積可以表示為 。又可以表示為又可以表示為 對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結論定理的結論22)(abc222cbaab21422)(abcab214= 讀一讀讀一讀 我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾勾，較長的直角邊稱為較長的直角邊稱為股股，斜邊稱為，斜邊稱為弦弦.圖圖1-1稱為稱為“弦圖弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學家趙爽在為，最早是由三國時期的數(shù)學家趙爽在為周髀算經周髀算經作法時給出的作法時給出的. 弦弦股股勾勾圖1-1 兩千多年前，古希臘有個哥拉兩千多年前，古希臘有個哥拉 斯學派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此斯學派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念票。年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念票。定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前國家之一。早在三千多年前 兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在學派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年年希臘曾經發(fā)行了一枚紀念郵票。希臘曾經發(fā)行了一枚紀念郵票。 我國是最早了解勾股定理的我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周國家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學家商高就提出，將一根直朝數(shù)學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”，它被記，它被記載于我國古代著名的數(shù)學著作載于我國古代著名的數(shù)學著作周髀算經周髀算經中。中。a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形兩直角邊的平方和直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方等于斜邊的平方. .勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理( (畢達哥拉斯定理畢達哥拉斯定理) ) 如圖如圖，為了求出位于湖兩岸的兩點，為了求出位于湖兩岸的兩點A、 B之間的距離，之間的距離，一個觀測者在點一個觀測者在點C設樁，使三角形恰好為直角三角設樁，使三角形恰好為直角三角形通過測量，得到形通過測量，得到AC長長160米，長米，長128米問從點米問從點A穿過湖到點穿過湖到點B有多遠有多遠?如圖如圖14.1.9，在直角三角形中，在直角三角形中，AC米，米，米，米，根據勾股定理可得根據勾股定理可得 96（米）（米）答：答： 從點從點A穿過湖到點穿過湖到點B有有96米米22BCAC22128160 解解例例如圖，大風將一根木制旗如圖，大風將一根木制旗桿吹裂，隨時都可能倒下，桿吹裂，隨時都可能倒下，十分危急。接警后十分危急。接警后“119”119”迅速趕到現(xiàn)場，并決定從迅速趕到現(xiàn)場，并決定從斷裂處將旗桿折斷?，F(xiàn)在斷裂處將旗桿折斷。現(xiàn)在需要劃出一個安全警戒區(qū)需要劃出一個安全警戒區(qū)域，那么你能確定這個安域，那么你能確定這個安全區(qū)域的半徑至少是多少全區(qū)域的半徑至少是多少米嗎？米嗎？9m24m?1. 如圖，小方格都是邊長為如圖，小方格都是邊長為1的正方形，求四邊的正方形，求四邊形形D的面積與周長的面積與周長練習練習2. 假期中，王強和同學到某海島上去探寶旅游，按假期中，王強和同學到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖（如圖），他們登陸后先往東走照探寶圖（如圖），他們登陸后先往東走8千米，千米，又往北走又往北走2千米，遇到障礙后又往西走千米，遇到障礙后又往西走3千米，再折千米，再折向北走到向北走到6千米處往東一拐，僅走千米處往東一拐，僅走1千米就找到寶藏，千米就找到寶藏，問登陸點問登陸點A到寶藏埋藏點到寶藏埋藏點B的直線距離是多少千米的直線距離是多少千米?abcbacS梯形ABCD=12a+b 2=12(a2+2ab+b2)又 S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=12ab+12ba+12c2=12(2ab+c2)2=a2+b2ABCDE總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法