【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】2013-2014學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章1正數(shù)和負(fù)數(shù)例題與講解滬

1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)1相反意義的量(1)生活中存在大量具有相反意義的量生活中，有許許多多具有相反意義的詞語(yǔ)，例如向東和向西、西北和東南、向前和向后、向左和向右、上升和下降、零上和零下、收入和支出、盈利和虧本、買(mǎi)進(jìn)和賣(mài)出等.生活中 存在著數(shù)不清的具有相反意義的量，如前進(jìn)3 m與后退5 m，收入300元與支出80元等.(2)具有相反意義的量的特點(diǎn)1具有相反意義的量是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)量不能成為相反意義的量；2與一個(gè)量成相反意義的量不止一個(gè)，如與上升2 m成相反意義的量就很多，如：下降1 m,下降0.2 m等；3相反意義的量包含兩個(gè)要素：一是它們的意義相反；二是它們都具有數(shù)量.如前進(jìn)8m與前進(jìn)5m,上升與下降都不是相反意義的量，因?yàn)榍罢咭饬x不相反，后者缺少數(shù)量；4相反意義的量中的兩個(gè)量必須是同類(lèi)量，如節(jié)約汽油3噸與浪費(fèi)1噸水就不是具有相反意義的量.(3)應(yīng)用方法相反意義的量可用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示.至于哪一種量為正， 可以自由確定，當(dāng)已知一個(gè)量用正數(shù)表示時(shí)，與其相反意義的量就用負(fù)數(shù)表示，反之亦然.習(xí)慣上把“前進(jìn)、上升、零上 溫度、增加”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、零下溫度、減少”等規(guī)定為負(fù).談重點(diǎn)對(duì)相反意義的量的理解表示相反意義的量必須具有相反的意義，且數(shù)量必須帶單位.表示相反意義的量的數(shù)值可以不同.【例1-1】 添上恰當(dāng)?shù)脑~，使前后構(gòu)成具有相反意義的量.(1)庫(kù)存增加1 000千克與_500千克；(2)商店買(mǎi)進(jìn)50支鉛筆與_20支鉛筆；(3)股票上漲a元與_b元.解析：所填的詞必須使前后的量具有相反的意義.增加與減少、買(mǎi)進(jìn)與賣(mài)出、上漲與下跌分別具有相反的意義.答案：減少賣(mài)出下跌【例1-2(1)如果零上3C記為+3C,那么8C表示的意義是_ ；(2)如果下降3米記為3米，那么上升5米應(yīng)記為_(kāi) ；(3)如果前進(jìn)5千米，記為+5千米，那么后退6千米應(yīng)記為 _；支出10元人民幣記賬為一10元，那么+20元表示的意義是 _ ；(5)某倉(cāng)庫(kù)運(yùn)出貨物20千克記為20千克，那么運(yùn)進(jìn)35千克貨物應(yīng)記為 _.解析：(1)零上3C記作+3C,即“ + ”號(hào)表示“零上”，那么與它相反意義的量“零下”就記作“ ”；(2)本小題的“”號(hào)表示“下降”，因此，“上升”應(yīng)記為“ + ”，也就是說(shuō)，具有 相反意義的兩個(gè)量，把其中的一個(gè)規(guī)定為正時(shí)，那么另一個(gè)即為負(fù)；(3)(5)小題類(lèi)似.答案：(1)零下8C(2)+5米(3)6千米(4)收入20元人民幣(5)+35千克析規(guī)律正數(shù)、負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用本題中的“零上、上升、前進(jìn)、收入、運(yùn)進(jìn)”表示的量均為正數(shù)，與它們意義相反的量 則都用負(fù)數(shù)表示.2.正數(shù)與負(fù)數(shù)(1)正數(shù)的概念：為了表示某一問(wèn)題中具有相反意義的兩種量，我們把其中一種意義的量，如零上溫度、高于海平面高度等規(guī)定為正的，用原來(lái)熟悉的數(shù)如1,6,7,9,8 844來(lái)表示它們，這樣的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)的前面也可添上正號(hào)“ + ”，如+1, +5,+16,通常情況下，正數(shù)前的正號(hào)可省略不寫(xiě).(2)負(fù)數(shù)的概念：把與正數(shù)相反意義的量，如零下溫度、低于海平面高度等規(guī)定為負(fù)的，用在正數(shù)前面添上負(fù)號(hào)“”的數(shù)，如3,14,155來(lái)表示它們，這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù).(3)關(guān)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明1正數(shù)前面的“ + ”號(hào)可以省略，如+3前面的“ + ”號(hào)可省略不寫(xiě)；負(fù)數(shù)前面的“一”號(hào)不能省略，如負(fù)5寫(xiě)作一5.2正數(shù)和負(fù)數(shù)是相對(duì)而言的，取決于作為基準(zhǔn)的量，但一般情況下，人們習(xí)慣這樣來(lái)規(guī) 定正數(shù)和負(fù)數(shù)：收入為正，支出為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)；高出海平面高度為正，低于海平面高度為負(fù).3判斷一個(gè)數(shù)是否是負(fù)數(shù)，關(guān)鍵是看是否正數(shù)前面帶有“-”號(hào)，而不是看它是否有 “”號(hào).辨誤區(qū)正、負(fù)數(shù)的意義對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，不能簡(jiǎn)單地理解為帶“ + ”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“-”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)而應(yīng)該理解為“所有大于零的數(shù)都是正數(shù)，所有小于零的數(shù)都是負(fù)數(shù)”.【例2】 指出下列各數(shù)中，哪些是正數(shù)？哪些是負(fù)數(shù)？1 1 12,+2,35,204, 0.02,+3.65, 5歹分析：根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義來(lái)判斷，尤其要弄明白負(fù)數(shù)的意義：在正數(shù)前面加上“一”號(hào).1 1解：正數(shù)是：+23,3虧,204,+3.65;1負(fù)數(shù)是：2, 0.02, 57.3.零的意義(1) 0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，是我們認(rèn)識(shí)的數(shù)中唯一的一個(gè)“中性數(shù)”.(2) 0比任何正數(shù)小，比任何負(fù)數(shù)大，它是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界.(3) 0在計(jì)數(shù)時(shí)表示“沒(méi)有”.(4) 0是表示具有相反意義量的基準(zhǔn)數(shù).此時(shí)它不能表示沒(méi)有.例如：海拔0米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高，收支平衡可記作0元.辨誤區(qū)正確判斷字母表示的數(shù)的性質(zhì)要特別注意：“大于0”是正數(shù)的本質(zhì)，當(dāng)用字母表示數(shù)時(shí)， 不能只看帶不帶“ + ”號(hào)， 不要誤認(rèn)為“a”前面是正號(hào)就是正數(shù)， 也不要以為“a”前面帶有“”號(hào)就是負(fù)數(shù)， 關(guān) 鍵是看這個(gè)數(shù)是不是大于0.【例3下列說(shuō)法正確的是().A.零是正數(shù)不是負(fù)數(shù)B.零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)C.零既是正數(shù)也是負(fù)數(shù)D.不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)，不是負(fù)數(shù)的數(shù)-解析：根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案.0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).只有B符合.答案：B4.有理數(shù)(1)有理數(shù)的概念整數(shù)包括正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).(2)有理數(shù)的分類(lèi)1有理數(shù)可以按照它的定義分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩類(lèi).即2有理數(shù)還可以按照性質(zhì)分為：正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)三類(lèi).即談重點(diǎn)有理數(shù)的分類(lèi)既是正數(shù)又是整數(shù)的數(shù)是正整數(shù)，既是負(fù)數(shù)又是整數(shù)的數(shù)是負(fù)整數(shù)，既是正數(shù)又是分?jǐn)?shù)的數(shù)是正分?jǐn)?shù)，既是負(fù)數(shù)又是分?jǐn)?shù)的數(shù)是負(fù)分?jǐn)?shù).【例4把下列各數(shù)填在相應(yīng)的橫線上：正整數(shù)_;正分?jǐn)?shù)_;負(fù)整數(shù)_;負(fù)分?jǐn)?shù)_.解析：先把有理數(shù)分為正數(shù)和負(fù)數(shù)兩類(lèi)，再把正數(shù)分為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)兩類(lèi)，把負(fù)數(shù)分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)兩類(lèi)，分別填寫(xiě)在相應(yīng)的橫線上.1 1答案：80,234,30.7,3.14,335,10麗，0.88, 7.95正確理解具有相反意義的量的意義在實(shí)際生活中，常常把零上溫度、上升的高度、收入、買(mǎi)入物品等規(guī)定為正，而把與它 們意義相反的量規(guī)定為負(fù)，用負(fù)數(shù)表示.引入負(fù)數(shù)后，“0”不再僅僅表示沒(méi)有，而是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，具有初始位置的意義.(1)相反意義的量基準(zhǔn)明確就是說(shuō)變化過(guò)程方向明確，數(shù)量明確，不受其他數(shù)的影響，也不用關(guān) 心起始點(diǎn)，此類(lèi)問(wèn)題只要規(guī)定好一個(gè)方面為正，則另一個(gè)方面為負(fù)就可以.(2)相反意義的量基準(zhǔn)不明確有些數(shù)據(jù)型的量，起點(diǎn)不是以0開(kāi)始的，則需要把某一個(gè)數(shù)值視為基準(zhǔn)點(diǎn)0，如平均數(shù)等，以這個(gè)基準(zhǔn)值為界，以上的記為“ + ”，以下的記為“一”.把具有相反意義的量的表示方法和取“標(biāo)準(zhǔn)”(或“起始”位置)等知識(shí)結(jié)合在一起，綜合性較強(qiáng)，是近幾年中考的熱點(diǎn)之一.【例51】 某項(xiàng)科學(xué)研究，以45分鐘為一個(gè)時(shí)間單位，并記每天上午10時(shí)為0,10時(shí)以前記為負(fù)，10時(shí)以后記為正，例如，9:15記為一1,10:45記為1等等.依次類(lèi)推， 上午7:00應(yīng)記為().A. 3B.4 C.2.15D.7.45解析：本題中的標(biāo)準(zhǔn)是上午10時(shí)為0，表示方法是10時(shí)以前記為負(fù)，10時(shí)以后記為正， 要求用新規(guī)定來(lái)表示7:00.7:00至U 10:00是180分鐘，180-45=4,因?yàn)?:00在10:00以前，所以7:00應(yīng)記為一4.答案：B【例52】一個(gè)物體可以左右移動(dòng)，若規(guī)定向右移動(dòng)為正，則向右移動(dòng)10 m應(yīng)記作，向左移動(dòng)4 m應(yīng)記作_ , 8 m表示物體 _,0 m表 示 物 體_，向左移動(dòng)一2 m就是向_ 移動(dòng)2 m.解析：正、負(fù)數(shù)可以表示具有相反意義的量，若向右記為“正”，那么向左則記為“負(fù)”；或者說(shuō)若正數(shù)表示向“右”，那么負(fù)數(shù)表示向“左”，零表示不動(dòng).答案：+10 m4 m向左移動(dòng)8 m原地不動(dòng) 右【例53】 小王騎車(chē)向東走了10千米，又向西走了5千米.怎樣用正負(fù)數(shù)表示？解：若規(guī)定向東為正，則小王騎車(chē)向東走了10千米，表示為+10千米，向西走了5千米，可表示為5千米；若規(guī)定向西為正，則小王騎車(chē)向東走了10千米，表示為10千米，向西走了5千米，可表示為+5千米.6.有理數(shù)的分類(lèi)有理數(shù)有兩種基本的分類(lèi)方法，一種分類(lèi)根據(jù)定義，另一種分類(lèi)根據(jù)數(shù)的符號(hào)，即有理數(shù)的性質(zhì).不論哪種分類(lèi)形式都要有明確分類(lèi)的依據(jù)，分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏，兩種分類(lèi)形式不能混淆.必須弄清楚非負(fù)數(shù)和非正數(shù)的范圍.正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，即為自然數(shù)；負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù).注意：“小數(shù)”屬于分?jǐn)?shù)；“自然數(shù)”屬于整數(shù).35,0.7,80,1909，0.8 8,0,3.14,-7.9,234,3 3, 10.在所有含“正”“負(fù)”字眼的數(shù)集中，都不能出現(xiàn)“0”.因?yàn)椤?”既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).【例6】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi):1133,2, -1,4,0.58,0, -3.141 592 6,0.618, 5.23.Iyj整數(shù)：;負(fù)數(shù)：;分?jǐn)?shù)：;非負(fù)有理數(shù)：;負(fù)分?jǐn)?shù)：.答案：整數(shù)：3,2, 1,0,; 1 負(fù)數(shù)：3,1,4, 0.58, 3.141 592 6，;；113分?jǐn)?shù)：4，0.58, 3.141 592 6,0.618,-9,5.23,I非負(fù)有理數(shù)：吃,、，1 J負(fù)分?jǐn)?shù)：，一；，一47.正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用(1)在股票交易中的應(yīng)用日常生活中水位的變化，股市行情變化，溫度升降等都可以用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示，不僅能表示出變化的方向，而且還能表示出變化幅度的大小.例如：在股市上，上漲記為+ ”， 下跌記為“ ”，不漲不跌記為“0”.(2)在產(chǎn)品檢測(cè)中的應(yīng)用某一產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，都有一定的指標(biāo)數(shù)值，而實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，可能在這一標(biāo)準(zhǔn)上 下波動(dòng)，波動(dòng)值在規(guī)定的范圍內(nèi)稱為合格，超出了規(guī)定值，則不合格，某糧店出售的某種品牌的面粉袋上標(biāo)有質(zhì)量為(250.2) kg的字樣，從中可以看出，在這袋面粉中，最多可以超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.2 kg，最低低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.2 kg，它的標(biāo)準(zhǔn)值是25 kg.一般把產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn) 值記為0，在標(biāo)準(zhǔn)值以上的記為正，以下的記為負(fù).解技巧根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)確定正、負(fù)數(shù)抓住標(biāo)準(zhǔn)數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)以上記為“ + ”，標(biāo)準(zhǔn)以下記為“-”，即比標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量多多少記為 “ + ”的多少，少多少記為“一”的多少.【例71】 股市有風(fēng)險(xiǎn)，投資須謹(jǐn)慎，王先生上周五買(mǎi)進(jìn)某種股票3 000股，每股16元，下表為本周五個(gè)交易日的漲跌情況(單位：元)：星期-一-二二三四五每股漲跌0.81.50.51.10.6相對(duì)于前一個(gè)交易日，哪天股票是上漲的，哪天是下跌的？ 分析：根據(jù)股票交易表示法，正數(shù)表示上漲，負(fù)數(shù)表示下跌. 解：周一、周二、周五這三天是上漲的，周三、周四是下跌的.【例72】 某品牌奶粉標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是454克，超出2克的記為+2克，若低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量3克以上，則視為不合格現(xiàn)抽取10袋進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果如下：袋號(hào)12345678910記作203435+4+453(1)這10袋中，有幾袋不合格？(2)質(zhì)量最大的是哪袋，實(shí)際質(zhì)量是多少？(3)質(zhì)量最小的是哪袋，實(shí)際質(zhì)量是多少？分析：此題是在基準(zhǔn)數(shù)的 基礎(chǔ)上波動(dòng)，所以在基準(zhǔn)數(shù)的基礎(chǔ)上加減.解：(1)有3袋不合格，分別是第4袋、第6袋和第9袋.(2)質(zhì)量最大的是第7,8袋，實(shí)際質(zhì)量均是454+4=458(克)；0.58, 3.141 592 6130,0.618，石，5.23,(3)質(zhì)量最小的是第6,9袋，實(shí)際質(zhì)量均為4545=449(克).，8.按規(guī)律排列的有理數(shù)當(dāng)數(shù)的范圍擴(kuò)大到有理數(shù)之后，按一定的規(guī)律排列有理數(shù)，就成為考查有理數(shù)的意義以 及分類(lèi)的有效手段，并且成為中考命題的熱點(diǎn).研究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程，實(shí)際上就是探索、研究數(shù)學(xué)規(guī)律并運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程.解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)與它的序號(hào)之間的關(guān)系，其中數(shù)的符號(hào)是首先要考慮的， 數(shù)的符號(hào)一般由數(shù)的序號(hào)的奇、偶性來(lái)決定.對(duì)于數(shù)字規(guī)律性問(wèn)題，我們要注意觀察各部分?jǐn)?shù)字的變化規(guī)律以及各數(shù)字之間的關(guān) 系.解這一類(lèi)題目，要用到歸納推理，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)史上有很多重要的發(fā)現(xiàn)如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾瑪大定理等就是由數(shù)學(xué)家的探索、猜想而得到的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必 須不斷去探索、猜想、總結(jié)規(guī)律，才會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，有所創(chuàng)造.【例8】觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律？請(qǐng)接著寫(xiě)出后面的三個(gè) 數(shù)，并說(shuō)出第99個(gè)數(shù)是什么？第2 013個(gè)數(shù)是什么？(1)1，-1,1，-1,1，-1,1，-1 , _(2)1,2,3，一4,5，一6,7，一8, _1 1 1 1 13，4，-5，6，一7，-談重點(diǎn)尋找數(shù)字規(guī)律的方法仔細(xì)觀察數(shù)字以及它的符號(hào)的特點(diǎn)，把數(shù)和它的序號(hào)建立聯(lián)系， 特別注意其中符號(hào)的確定方法.1-1,2,分析：(1) (2)小題全部是按正數(shù)、 負(fù)數(shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)律排列的一組整數(shù),1,(2)去掉數(shù)的符號(hào)后是按順序排列的自然數(shù)；的規(guī)律排列的一組分?jǐn)?shù)，其分母是按順序排列的自然數(shù)，去掉數(shù)的符號(hào)后是 數(shù)、正數(shù) 分子是1.解：(1)1，-1,1，第99個(gè)數(shù)是1,第2 013個(gè)數(shù)是1;(2)9,18,-10,11，第99個(gè)數(shù)是99,第2 01 3個(gè)數(shù)是2 013;1 1 1 1一9,10,第99個(gè)數(shù)是-99第2 013個(gè)數(shù)是-20莎99(1)(3)是按負(fù)數(shù)、正數(shù)、負(fù)即分母就是數(shù)的序旦 號(hào),