解線性方程組的矩陣三角分解法.ppt

1,第五章解線性方程組的直接方法,計(jì)算方法,矩陣三角分解法,2,本講內(nèi)容,一般線性方程組LU分解與PLU分解,對(duì)稱正定線性方程組平方根法Cholesky分解,對(duì)角占優(yōu)三對(duì)角線性方程組追趕法,3,LU分解,矩陣的LU(Doolittle)分解,矩陣的LDR分解,克洛脫(Crout)分解,4,計(jì)算LU分解,利用矩陣乘法直接計(jì)算LU分解,LU=A,比較等式兩邊的第一行得：,u1j=a1j,比較等式兩邊的第一列得：,比較等式兩邊的第二行得：,比較等式兩邊的第二列得：,(j=1,n),(i=2,n),(j=2,n),(i=3,n),5,計(jì)算LU分解,第k步：此時(shí)U的前k-1行和L的前k-1列已經(jīng)求出,直到第n步，便可求出矩陣L和U的所有元素。,6,LU分解算法,算法：(LU分解),Matlab程序參見：ex51.m,乘除法運(yùn)算量：(n3-n)/3,為了節(jié)省存儲(chǔ)空間，通常用A的絕對(duì)下三角部分來存放L(對(duì)角線元素?zé)o需存儲(chǔ))，用A的上三角部分來存放U,7,PLU分解,矩陣的PLU分解,Matlab程序：上機(jī)練習(xí),8,Cholesky分解,對(duì)稱正定矩陣的三角分解Cholesky分解,定理：設(shè)A是對(duì)稱矩陣，若A的所有順序主子式都不為0，則A可唯一分解為其中L為單位下三角陣，D為對(duì)角矩陣,A=LDLT,定理：（Cholesky分解）若A對(duì)稱正定，則A可唯一分解為其中L為下三角實(shí)矩陣，且對(duì)角元素都大于0,A=LLT,9,計(jì)算Cholesky分解,Cholesky分解的計(jì)算,直接比較等式兩邊的元素,計(jì)算公式,10,Cholesky分解算法,算法：(Cholesky分解),11,平方根法,A對(duì)稱正定,算法：(解對(duì)稱正定線性方程組的平方根法),12,改進(jìn)的Cholesky分解,計(jì)算公式,改進(jìn)的Cholesky分解,13,改進(jìn)的Cholesky分解,forj=1tonend,i=j+1,n,算法：(改進(jìn)的Cholesky分解),優(yōu)點(diǎn)：避免開方運(yùn)算,14,改進(jìn)的平方根法,A對(duì)稱正定,算法：(解對(duì)稱正定線性方程組的改進(jìn)的平方根法),15,追趕法,對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角矩陣的LU分解,計(jì)算公式,i=2,3,n-1,16,追趕法,A三對(duì)角矩陣（對(duì)角占優(yōu)）,算法：(追趕法),運(yùn)算量：5n-4,