九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 解直角三角形試題 （新版）青島版.doc

解直角三角形解直角三角形的基本類型以及解法圖形已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊，一直角邊（如c、a）b；由sinA，求A；B90A兩直角邊（如a、b）c；由tanA，求A；B90A一邊一角斜邊，一銳角（如c，A）B90A；由sinA，求acsinA；由cosA，求bccosA一直角邊，一銳角（如a、A）B90A；由tanA，求b；由sinA，求c方法歸納：（1）直角三角形中的五個元素：兩條直角邊，一條斜邊，兩個銳角。在沒有特殊說明的情況下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。（2）直角三角形的特殊性質(zhì)：直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。（3）直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積?？偨Y(jié)：1. 能夠利用勾股定理、三角函數(shù)解直角三角形；2. 會添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形解決斜三角形的問題。例題 如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，C45，sinB，AD1。（1）求BC的長；（2）求tanDAE的值。解析：（1）先由三角形的高的定義得出ADBADC90，再解RtADC，得出DC1；解RtADB，得出AB3，根據(jù)勾股定理求出BD，然后根據(jù)BCBDDC即可求解；（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DECECD，然后在RtADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解。答案：（1）在ABC中，AD是BC邊上的高，ADBADC90。在ADC中，ADC90，C45，AD1，DCAD1。在ADB中，ADB90，sinB，AD1，AB3，BD2，BCBDDC21；（2）AE是BC邊上的中線，CEBC，DECECD，tanDAE。點撥：本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形等知識點，難度中等，解答這類問題時注意將相關(guān)的邊和角轉(zhuǎn)化到相應(yīng)的直角三角形中。解直角三角形時應(yīng)注意以下問題：（1）在求解有關(guān)解直角三角形的問題時，要畫出圖形，以利于分析解決問題；（2）選擇關(guān)系式時要盡量利用原始數(shù)據(jù)，以防止“累積錯誤”；（3）遇到不是直角三角形的圖形時，要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形后再求解?？傊?，解直角三角形時，選擇恰當(dāng)?shù)倪吔顷P(guān)系式尤為重要，恰當(dāng)?shù)倪吔顷P(guān)系不僅能使問題迅速解決，而且還會使計算簡便、過程簡捷，達到事半功倍的效果。解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，無斜用切；寧乘勿除，化斜為直”的原則。滿分訓(xùn)練 如圖所示，在ABC中，AD為A的平分線，AB3，AC5，BAC120，求AD的長。解析：要求AD，需選擇適當(dāng)?shù)娜切问笰D為其一邊，這樣才能方便地運用有關(guān)知識處理問題，所以本題應(yīng)考慮將AD構(gòu)造成直角三角形的邊。答案：設(shè)ADx。AD是BAC的平分線，BAC120，1260。SACDSADBSABC，作DH1AB于H1，DH2AC于H2，BH3CA，交CA延長線于H3，則DH1DH2ADsin60xsin60，BH33sin60。5xsin603xsin6053sin60。解得x，所以角平分線AD的長為。點撥：求鈍角或銳角三角形中的邊角時，常常作出垂直，構(gòu)造直角三角形，得到邊角之間的關(guān)系。（答題時間：）一、選擇題1. ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，如果a2b2c2，那么下列結(jié)論正確的是（ ）A. csinAaB. bcosBcC. atanAbD. ctanBb*2. 如圖，四邊形ABCD中，BADADC90，ABAD2，CD，點P在四邊形ABCD上，若P到BD的距離為，則點P的個數(shù)為（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4*3. 如圖，在RtABO中，斜邊AB1。若OCBA，AOC36，則（ ）A. 點B到AO的距離為sin54B. 點B到AO的距離為tan36C. 點A到OC的距離為sin36sin54D. 點A到OC的距離為cos36sin54*4. 在矩形ABCD中，有一個菱形BFDE（點E、F分別在線段AB、CD上），記它們的面積分別為SABCD和SBFDE，現(xiàn)給出下列命題：若，則tanEDF；若DE2BDEF，則DF2AD。則（ ）A. 是真命題，是真命題B. 是真命題，是假命題C. 是假命題，是真命題D. 是假命題，是假命題二、填空題5. 在ABC中，ABAC5，sinABC0.8，則BC_。*6. 如圖，在菱形ABCD中，DEAB于點E，cosA，BE4，則tanDBE的值是_。*7. 在ABC中，ABAC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點E，垂足為D，連接BE。已知AE5，tanAED，則BECE_。*8. 如圖所示，在ABC中，A30，ABAC2，BD是邊AC上的高，利用此圖可求得tan15_，BC_。三、解答題9. 如圖，在RtABC中，C90，AB10，sinA，求BC的長和tanB的值。10. 如圖，在ABC中，ADBC于點D，AB8，ABD30，CAD45，求BC的長。*11. 如圖，在RtABC中，ACB90，D是邊AB的中點，BECD，垂足為點E。己知AC15，cosA。（1）求線段CD的長；（2）求sinDBE的值。*12. 如圖，已知ABC是O的內(nèi)接三角形，ABAC，點P是的中點，連接PA、PB、PC。（1）如圖，若BPC60，求證：ACAP；（2）如圖，若sinBPC，求tanPAB的值。1. A 解析：a2b2c2，ABC是直角三角形，且C90。sinA，則csinAa，故選項A正確；cosB，則ccosBa，故選項B錯誤；tanA，則b，故選項C錯誤；tanB，則atanBb，故選項D錯誤。2. B 解析：過點A作AEBD于E，過點C作CFBD于F，BADADC90，ABAD2，CD，ABDADB45，CDF90ADB45，sinABD，AEABsinABD2sin4522，所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為的點2個；sinCDF，CFCDsinCDF1，所以在邊BC和CD上沒有到BD的距離為的點。總之，P到BD的距離為的點有2個。3. C 解析：點B到AO的距離是指BO的長，ABOC，BAOAOC36，在RtBOA中，BOA90，AB1，sin36，BOABsin36sin36，故選項A錯誤；由以上可知，選項B錯誤；過A作ADOC于D，則AD的長是點A到OC的距離，BAO36，AOB90，ABO54，sin36，ADAOsin36，sin54，AOABsin54，又AB1，ADABsin54sin361sin54sin36sin54sin36，故選項C正確；由以上可知，選項D錯誤，故選C。4. A 解析：設(shè)CFx，DFy，BCh，則由已知菱形BFDE得，BFDFy，由已知得：，化簡得：，即在BFC中，cosBFC，BFC30。由已知得EDF30，tanEDF，所以是真命題。已知菱形BFDE，DFDE，SDEFDFADBDEF，又DE2BDEF（已知），SDEFDE2DF2，DFADDF2，DF2AD，所以是真命題。故選：A。5. 6 解析：過點A作ADBC于D，ABAC，BDCD，在RtABD中，sinABC0.8，AD50.84，則BD3，BCBDCD336。6. 2 解析：四邊形ABCD是菱形，ADAB，cosA，BE4，DEAB，設(shè)ADAB5x，AE3x，則5x3x4，x2，即AD10，AE6，在RtADE中，由勾股定理得：DE8，在RtBDE中，tanDBE2。7. 6或16 解析：若BAC為銳角，如答圖1所示：AB的垂直平分線是DE，AEBE，EDAB，ADAB，AE5，tanAED，sinAED，ADAEsinAED3，AB6，BECEAECEACAB6；若BAC為鈍角，如答圖2所示：同理可求得：BECE16。故答案為：6或16。8. ； 解析：在ABD中，BDABsinA2sin301，ADABcosA2cos30。所以CDACADABAD2，所以tanCBD2，CBDABCABD756015，即tan152。BC2BD2CD284（）2，所以BC。9. 解：在RtABC中，C90，AB10，sinA，BC4，根據(jù)勾股定理得：AC2，則tanB。10. 解：ADBC于點D，ADBADC90。在RtABD中，AB8，ABD30，ADABsinABDAB4，BDABcosABDAB4。在RtADC中，CAD45，ADC90，DCAD4，BCBDDC44。11. 解：（1）在RtABC中，cosA，AC15，AB1525。又點D是RtABC斜邊AB的中點，CDAB；（2）點D是AB的中點，ACD、BCD都是等腰三角形，ADCACD，BCDCBD。ADCBDE90DBE，ACD90BCD90CBD，DBECBD。sinDBEsinCBD=。12. 解：（1）BPC60，BAC60，ABAC，ABC為等邊三角形，ACBABC60，APCABC60，而點P是的中點，ACPACB30，PAC90，tanPCAtan30，ACPA；（2）過A點作ADBC交BC于D，連接OP交AB于E，如圖，ABAC，AD平分BC，點O在AD上，連接OB，則BODBAC，BPCBAC，sinBODsinBPC，設(shè)OB25x，則BD24x，OD7x，在RtABD中，AD25x7x32x，BD24x，AB40x，點P是的中點，OP垂直平分AB，AEAB20x，AEPAEO90，在RtAEO中，OE15x，PEOPOE25x15x10x，在RtAPE中，tanPAE，即tanPAB的值為。