九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 三招教你求陰影面積試題 （新版）青島版.doc

三招教你求陰影面積在近年的中考或各類數(shù)學(xué)競賽中，頻頻出現(xiàn)求陰影面積的題目，而其陰影部分圖形大多又是不規(guī)則的，部分同學(xué)乍遇這類題目則顯得不知所措求不規(guī)則圖形面積主要是通過轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，再進(jìn)行計算 以下三招可以助你一臂之力！第一招：直接法將不規(guī)則圖形直接轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形的求和或求差，先求出涉及適合該圖形的面積計算公式中某些線段、角的大小，然后直接代入公式進(jìn)行計算這是求面積的常用方法不規(guī)則陰影部分常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的，其中：1. 扇形的定義：如下圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形2. 扇形面積公式：若設(shè)O半徑為R，則圓心角為n的扇形的面積公式為：又因為n的圓心角所對的弧長為：，所以說明：公式中n表示1圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；例如：如圖，扇形AOB的圓心角為直角，若OA4cm，以AB為直徑作半圓，求陰影部分的面積解析：圖中陰影部分面積為：以AB為直徑的半圓面積減去弓形AmB面積；而弓形面積等于扇形AOB面積減去AOB面積解：OA4cm，O90，OB4cm，（cm2），又，所以，而，故第二招：割補(bǔ)法1. 把陰影部分的圖形通過割補(bǔ)，拼成規(guī)則圖形，然后再求面積例如：如圖（1），在以AB為直徑的半圓上，過點B做半圓的切線BC，已知AB=BC=，連結(jié)AC，交半圓于D，則陰影部分圖形的面積是_解析：圖中兩塊陰影部分圖形都是不規(guī)則圖形，但因，所以可進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化解：連接DB，因為AB=BC， ，如圖（2），所以 AD=DB=DC，所以把弓形AD割補(bǔ)到弓形DB處，則圖（1）中陰影部分圖形的面積等于圖（2）中RtBDC的面積因此2. 當(dāng)陰影部分圖形為分散的個體時，可針對其結(jié)構(gòu)特征，視各陰影部分圖形為一個整體，然后利用相關(guān)圖形的面積公式整體求出例如：如圖，A、B、C、D、E相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個扇形（陰影部分）的面積之和是多少？解析：由題意知，五個扇形（陰影部分）的半徑都是1，是等圓，可把五個扇形割補(bǔ)到同一個圓中解：因為，A+B+C+D+E=（5-2）180=540所以第三招：等積變形把所求陰影部分的圖形適當(dāng)進(jìn)行等積變形，即是找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分圖形的面積例如：如圖，A是半徑為2的O外一點，OA4，AB是O的切線，點B是切點，弦BCOA，連結(jié)AC，求圖中陰影部分的面積解析：圖中陰影部分可看作弓形BC面積與三角形ABC面積的和，而ABC不是Rt，所以考慮借助OABC將ABC移形，連接OC、OB，則SOCBSACB則陰影部分面積為扇形AOB面積解：連接OB、OC，如圖，因為BCOA，所以ABC與OBC在BC上的高相等，所以，所以，又AB是O的切線，所以O(shè)BAB，而OB2，OA4，所以AOB60，由BCOA得OBC60，所以O(shè)BC為等邊三角形，BOC60，例題 如圖，AB、CD是O的兩條互相垂直的直徑，點O1、O2、O3、O4分別OA、OB、OC、OD的中點，若O的半徑是2，則陰影部分的面積為（ ）A. 8 B. 4 C. 4+4 D. 44解析：如圖將AD、DB、BC、CA、OE、O3E連接起來，得到一個對角線為4的正方形，由割補(bǔ)法：將每個小圓外面兩個弓形圖形放進(jìn)正方形空白處，陰影面積正好是正方形面積解：連接AD，DB，BC，CA，故選A答案：A點撥：求解一些幾何圖形的面積，特別是不規(guī)則幾何圖形的面積時，?？赏ㄟ^變換等，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，使復(fù)雜問題簡單化，這種解題方法也體現(xiàn)了整體思想、轉(zhuǎn)化思想割補(bǔ)法是轉(zhuǎn)化法的一種求旋轉(zhuǎn)問題中的陰影面積滿分訓(xùn)練 （江蘇中考）如圖，在ABC中，BAC90，AB5cm，AC2cm，將ABC繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45至A1B1C的位置，則線段AB掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為 cm2 解析：陰影部分的圖形是不規(guī)則的圖形，求面積時應(yīng)想到利用圖形的割補(bǔ)或利用特殊圖形的面積的和或差來求解：BAC90，BC2AB2AC2522229S陰影S扇形BCB1SA1B1CSABCS扇形ACA1 ABC旋轉(zhuǎn)得到A1B1C，SABCSA1B1C，S陰影S扇形BCB1S扇形ACA1（cm2），故答案為答案：點撥：扇形面積的計算公式：S，SlR，求陰影面積（或不規(guī)則圖形面積）時常用圖形割補(bǔ)的方法（圖形變換），或用幾個特殊圖形的面積的和或差來求利用旋轉(zhuǎn)變換將所求面積轉(zhuǎn)化為兩個扇形的面積之差是解題關(guān)鍵。（答題時間：30分鐘）1. （德州中考）如圖，扇形AOB的半徑為1，AOB=90，以AB為直徑畫半圓，則圖中的陰影部分的面積為（ ）A. p B. p- C. D. p+2. 如圖，點E是BC的中點，AB是O的直徑，AB4，BED120，則圖中陰影部分的面積之和為（ ）A. 1 B. C. D. 2*3. 如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過RtABC斜邊AB的兩個端點，交直角邊AC于點E B，E是半圓弧的三等分點，弧BE的長為，則圖中陰影部分的面積為（ ）A. B. C. D. *4. 在ABC中，C為銳角，分別以AB、AC為直徑作半圓，過點B、A、C作弧，如圖所示，若AB=4，AC=2，則S3S4的值是（ ）A. B. C. D. 5. 如圖，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，兩等A、B外切，那么圖中兩個扇形（即陰影部分）的面積之和為 6. 如圖，ABC的三個頂點都在55的網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）的格點上，將ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)到ABC的位置，且點A、C仍落在格點上，則圖中陰影部分的面積約是 （314，結(jié)果精確到01）*7. 如圖，在RtABC中，C90，A30，AB2 將ABC繞頂點A順時針方向旋轉(zhuǎn)至ABC的位置，B、A、C三點共線，則線段BC掃過的區(qū)域面積為 8. 如圖，三個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分面積的和是 （結(jié)果保留）*9. 如圖，AB是O的直徑，AC是弦，直線EF經(jīng)過點C，ADEF于點D，DAC=BAC（1）求證EF是O的切線；（2）求證AC2=ADAB（3）若O的半徑為2，ACD=30，求圖中陰影部分的面積10. 如圖，在ABC中，ACB=90，E為BC上的一點，以CE為直徑作O，AB與O相切于點D，連接CD，若BE=OE=2（1）求證：A=2DCB；求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留和根號）*11. 如圖，AB是O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分DAB，ADCD，垂足為D，AD交O于E，連接CE（1）判斷CD與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若E是的中點，O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積*12. 如圖，AB為O的直徑，AC、DC為弦，ACD=60，P為AB延長線上的點，APD=30（1）求證：DP是O的切線；若O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積13. 如圖，AB是半圓O的直徑，且AB8，點C為半圓上的一點將此半圓沿BC所在的直線折疊，若恰好過圓心O，則圖中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留） 1. C 解析：因為扇形AOB的半徑為1，AOB=90，所以AB=，AOB的面積為，扇形AOB的面積為，所以弓形的面積為，又因為半圓的面積為，所以陰影部分的面積為：（）=故選C2. C 解析：連接AE、OD，AB是直徑，AEBC點E是BC的中點，AB=AC在AEB與AEC中，AE=AE，AEB=AEC=90，BE=CE，RtAEBRtAEC，AB=AC（SAS）ABC是等腰三角形BED=120，BAD=60（圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)），ABC是等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形）OA=OD，OAD是等邊三角形，AD=OA=2，點D是AC的中點，DE=2（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半），BAE=30，BE=AB=2，DE=BE，=，=又DE是ABC的中位線，CDE是邊長為2的等邊三角形，= 故選C3. D 解析：如下圖所示：連接OB、OE、BE、BD設(shè)半圓的半徑為RB、E是半圓弧的三等分點，DOBBOEEOA60弧BE的長為，解得R2S扇形OBE2AD是半圓O的直徑，ABD90在RtABD中，BADDOB30，ABADcosBAD4在RtABC中，C90，BACBOE30，BCAB，ACABcosBAC3SABCACBC3OBOE，BOE60，BOE是等邊三角形，BEO60EOA，BEAD，SABESOBE，S陰影SABCSABES弓形OBESABCSOBES弓形OBESABCS扇形OBE 故選D4. D 解析：S1+S3=AB2=2 ，S2+S4=AC2= ，得：（S1S2）+（S3S4）=， S3S4=故選D5. 解析：C=90，AC=8，BC=6AB=10C=90A+B=90，由等圓可知A、B的半徑為5，根據(jù)扇形的面積計算公式，可得陰影部分的面積等于+=6. 7.2 解析：依題意，得扇形的半徑，圓心角ABA90，圖中陰影部分的面積扇形的面積直角三角形的面積23133314133102053727. 解析：8. 解析：圖中三塊陰影部分都是扇形，且半徑相等，由平行線內(nèi)錯角相等和正方形的對角線的性質(zhì)可知，三個扇形的圓心角的度數(shù)之和為，所以，圖中陰影部分面積的和為=9. 解析：證明：連接OC，ADEF，ADC=90，ACD+CAD=90，OC=OA，ACO=CAO，DAC=BAC，CAD=ACO，ACD+CAD=90，ACD+ACO =90即OCD=90，EF是O的切線.證明：連接BCCD是O的切線，OCD=90，即ACD+ACO=90OC=OA，ACO=CAO，AOC=1802ACO，即AOC+ACO=90，由得：ACDAOC=0，即AOC=2ACD；AOC=2B，B=ACD，AB是直徑，ACB=ADC=90在RtACD與RtACB中，B=ACD ACB=ADC，ACDABC，即AC2=ABADCD是O的切線，OCD=90， 即ACD+ACO=90，ACD=30，OCA=60，OC=OA，ACO是等邊三角形，AC= OC=2，AOC=60，在RtADC中，ACD=30，AD=1，CD=，S陰影= S梯形OCDA S扇形OCA=10. 解析：（1）證明：連接ODAB與O相切于點D，ODB=90，B+DOB=90，ACB=90，A+B=90，A=DOB，OC=OD，DOB=2DCB，A=2DCB;（2）在RtODB中，OD=OE，OE=BE，cosB=，DOB=60BD=OBsin60=2S扇形ODE=，S陰影=SDOBS扇形ODE=211. 解析：（1）CD與圓O相切，理由為：AC為DAB的平分線，DAC=BAC，OA=OC，OAC=OCA，DAC=OCA，OCAD，ADCD，OCCD，CD與圓O相切；（2）連接EB，由AB為直徑，得到AEB=90，EBCD，F(xiàn)為EB的中點，OF為ABE的中位線，OF=AE=，即CF=DE=，在RtOBF中，根據(jù)勾股定理得：EF=FB=DC=，則S陰影=SDEC=12. 解析：連接OD、DB，ACD=60ABD=60又OB=OD，OBD為等邊三角形，BOD=60又APD=30，ODP=90，ODDP，又點D在O上，DP是O的切線由知ODP為Rt，APD=30，tan30=，DP=S陰影=SODP-S扇形=ODDP=3-=-答：陰影部分的面積為cm13. 解析：如下圖，連接OC，過點O作OGBC于點G，交半圓周于點D易知直線BC、OD是兩條弧BOC與BDC所圍成的圖形的對稱軸，故OGOC，從而OCG30，COGGOB60，AOC60由對稱性易知，弧OFB與半徑OB組成的弓形面積等于弧OEC與半徑OC組成的弓形面積，因此，S陰影部分S扇形OAC