電大《工程數(shù)學(xué)》期末考試答案

.1設(shè) 都是 n 階方陣，則下列命題正確的是(A )A BA, B2向量組的 秩是（B ） B. 3 3 元線性方程組 有解的充分必要條件是（A）A. nXb )()bAr4. 袋中有 3 個(gè)紅球， 2 個(gè)白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是（D ）D. 9/255設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 的樣本，則（C ）是 無(wú)偏估計(jì) C. xxn12, N(,)236若 是對(duì)稱矩陣，則等式（B ）成立 B. AA7 （ D ）D. 15475438若（A）成立，則 元線性方程組 有唯一解A. nXOrn()9. 若條件（ C）成立，則隨機(jī)事件 ， 互為對(duì)立事件 C. 且BABBU10對(duì)來(lái)自正態(tài)總體 （ 未知）的一個(gè)樣本 ，記 ，XN(,)2 X123,31iX則下列各式中（C）不是統(tǒng)計(jì)量 C. 31)(ii11. 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，當(dāng) 為（B）矩陣時(shí)，乘積 有意義B. A4325CCA4212. 向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組是（ A ）A 13401023,234,13. 若線性方程組的增廣矩陣為 ，則當(dāng) （D）時(shí)線性方程組有無(wú)窮多解 AD1/2 14. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點(diǎn)數(shù)之和為 4”的概率是（C ）.C.1/1215. 在對(duì)單正態(tài)總體 的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題中， 檢驗(yàn)法解決的問(wèn)題是（B ）B. 未N(,)2T知方差，檢驗(yàn)均值72,301,.16. 若 都是 n 階矩陣，則等式（ B）成立 B. AB, A17. 向量組 的秩是（C ）C. 33,21,0,210,43118. 設(shè)線性方程組 有惟一解，則相應(yīng)的齊次方程組 （A ）A. 只有 0 解 bXOX19. 設(shè) 為隨機(jī)事件，下列等式成立的是（D）D. AB, )()(BP1設(shè) 為三階可逆矩陣，且 ，則下式(B )成立 B , 0k 2下列命題正確的是（ C ） C向量組 , ,O 的秩至多是 ,21ss3設(shè) ，那么 A 的特征值是(D ) D-4，6154矩陣 A 適合條件（ D ）時(shí)，它的秩為 r D A 中線性無(wú)關(guān)的列有且最多達(dá) r 列 5下列命題中不正確的是（ D ）D A 的特征向量的線性組合仍為 A 的特征向量6. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點(diǎn)數(shù)之和為 3”的概率是（ B ） B1/1 7若事件 與 互斥，則下列等式中正確的是A BPPB()()8. 若事件 A， B 滿足 ，則 A 與 B 一定（A ） A不互斥 1)(P9設(shè) , 是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，已知?jiǎng)t （B ）B 2/3 )(10設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 的樣本，則（B ）是統(tǒng)計(jì)量 B nx,21 ),(2Nnix11. 若 ，則 （A ）A .3 035x2. 已知 2 維向量組 ，則 至多是（B）B 24321,),(4321r3. 設(shè) 為 階矩陣，則下列等式成立的是（C） C. BA,n A)(4. 若 滿足（B），則 與 是相互獨(dú)立 B. A(P5. 若隨機(jī)變量 的期望和方差分別為 和 ，則等式（D ）成立 D. X)(XE22)()ED1設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是( ) A A,nB13)(P.2方程組 相容的充分必要條件是()，其中 ， B3121ax0ia)3,21(0321a3設(shè)矩陣 的特征值為 0，2，則 3A 的特征值為 ( ) B0，6 A4. 設(shè) A， B 是兩事件，其中 A， B 互不相容，則下列等式中（ ）是不正確的 C. )()(P5若隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，則方差 =（ ）D 32YX)(9)(4YDX6設(shè) A 是 矩陣， 是 矩陣，且 有意義，則 是( B )矩陣 nmBtsA ns7若 X1、 X2是線性方程組 AX=B 的解，而 是方程組 AX = O 的解，則（ ）是 AX=B 的解21、A 38設(shè) 矩陣，則 A 的對(duì)應(yīng)于特征值 的一個(gè)特征向量 =()C1 ，1,09. 下 列事件運(yùn)算關(guān)系正確的是（ ）A AB10若 隨機(jī)變量 ，則隨機(jī)變量 （ N2.,3 ） ） D )1,0(NX23XY11設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 的樣本，則（）是 的無(wú)偏估計(jì) C 321,x,23215x12對(duì)給定的正態(tài)總體 的一個(gè)樣本 ， 未知，求 的置信區(qū)間，選用的樣),(2 ),(21nx 2本函數(shù)服從（ ）B t 分布 設(shè) ，abc123則 （D）D. 6abcc123若，則 （A ） A. 1/2 乘積矩陣 中元素 C. 10 12403523設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列運(yùn)算關(guān)系正確的是（B） B. A,n ()BA1設(shè) 均為 階方陣， 且 ，則下列等式正確的是（D）D. k01kn下列結(jié)論正確的是（A ）A. 若 是正交矩陣，則 也是正交矩陣A1矩陣 的伴隨矩陣為（）C. 1325532方陣 可逆的充分必要條件是（B）B. 00.設(shè) 均為 階可逆矩陣，則 （D）D. ABC,n()ACB1()BCA11設(shè) 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是 A. 22用消元法得 的解 為（C）C. x12340x123,線性方程組 （B）B. 有唯一解 x12364向量組 的秩為（A）A. 3 01,設(shè)向量組為 ，則（B）是極大無(wú)關(guān)組 B. 123401, 123, 與 分別代表一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣，若這個(gè)方程組無(wú)解，則（D）D. 秩A秩()若某個(gè)線性方程組相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A）可能無(wú)解 以下結(jié)論正確的是（D ）D. 齊次線性方程組一定有解若向量組 線性相關(guān)，則向量組內(nèi)（A）可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出 A. 至少有12, s一個(gè)向量 9設(shè) A，為 階矩陣， 既是又是的特征值， 既是又是的屬于 的特征向量，則結(jié)論（）成nx立 是 A+B 的屬于 的特征向量x10設(shè)，為 階矩陣，若等式（ ）成立，則稱和相似 BPA1 為兩個(gè)事件，則（B）成立 B. , ()AB如果（C）成立，則事件 與 互為對(duì)立事件 C. 且 U10 張獎(jiǎng)券中含有 3 張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購(gòu)買(mǎi) 1 張，則前 3 個(gè)購(gòu)買(mǎi)者中恰有 1 人中獎(jiǎng)的概率為（D） D. 072.4. 對(duì)于事件 ，命題（C ）是正確的 C. 如果 對(duì)立，則 對(duì)立AB, AB,某隨機(jī)試驗(yàn)的成功率為 ,則在 3 次重復(fù)試驗(yàn)中至少失敗 1 次的概率為（D） D. )1(p)1()(23p6.設(shè)隨機(jī)變量 ，且 ，則參數(shù) 與 分別是（A） A. 6, 0.8 Xn,EX.,().48096np7.設(shè) 為連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)，則對(duì)任意的 ， （A）A. fx() ab,()EX(d8.在下列函數(shù)中可以作為分布密度函數(shù)的是（B） B. .9.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)為 ，則對(duì)任意的區(qū)間 ，則Xfx()Fx()(,)ab（D ）D. )(baPabd10.設(shè) 為隨機(jī)變量， ，當(dāng)（C）時(shí)，有 C. E(,()2EYD(),01YX設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 （ 均未知）的樣本，則（A）是統(tǒng)計(jì)量 A. xn12, N, x1設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 （ 均未知）的樣本，則統(tǒng)計(jì)量（D ）不是 的無(wú)偏估計(jì) D. 3()212二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 1設(shè) 均為 3 階方陣， ，則 -18BA,2,AB13A2設(shè) 為 n 階方陣，若存在數(shù) 和非零 n 維向量 ，使得 ，則稱 為 的特征值 XA3 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 a =0.3 01.25X4設(shè) 為隨機(jī)變量，已知 ，此時(shí) 27 3)(D()25設(shè) 是未知參數(shù) 的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，則有 E6設(shè) 均為 3 階方陣， ，則 8BA, 6,AB13()A7設(shè) 為 n 階方陣，若存在數(shù) 和非零 n 維向量 ，使得 ，則稱 為 相應(yīng)于特征值 的特征向XXA量 8若 ，則 0.3 5.0)(,.)(P)(9如果隨機(jī)變量 的期望 ， ，那么 20X2E92)2(D10不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量11. 設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 -8BA, 3BA1A12.設(shè) ， 20741_)(r13. 設(shè) 是三個(gè)事件，那么 發(fā)生，但 至少有一個(gè)不發(fā)生的事件表示為 .ABC,ACB, )(CBA14. 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 15)15.,(X)(XE15. 設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本， ，則nx,21 N,2nix1)(D.16. 設(shè) 是 3 階矩陣，其中 ，則 12BA, 2,3BA117. 當(dāng) =1 時(shí)，方程組 有無(wú)窮多解12x18. 若 ，則 0.25.0)(,6.)(,9.0)( PP)(AB19. 若連續(xù)型隨機(jī)變量 的密度函數(shù)的是 ，則 2/3X其 它,12xf )(XE20. 若參數(shù) 的估計(jì)量 滿足 ，則稱 為 的無(wú)偏估計(jì) E()n21行列式 的元素 的代數(shù)余子式 的值為= -56702568321a21A2已知矩陣 滿足 ，則 與 分別是 階矩陣nsijcCBA)(,CBns,3設(shè) 均為二階可逆矩陣，則 , 1OA4線性方程組 一般解的自由未知量的個(gè)數(shù)為 232641x5設(shè) 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（ A）=1，那么 AX=B 的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 3 個(gè)解向量 6 設(shè) A， B 為兩個(gè)事件，若 P（ AB）= P（ A） P（ B），則稱 A 與 B 相互獨(dú)立 7設(shè)隨機(jī)變量 的概率分布為X則 a = 0.3 8設(shè)隨機(jī)變量 ，則 0.93.04.21XEX()9設(shè) 為隨機(jī)變量，已知 ，那么 8)(D)72(kx0 1 2pa 0.2 0.5.10礦砂的 5 個(gè)樣本中，經(jīng)測(cè)得其銅含量為 ， ， ， ， （百分?jǐn)?shù)），設(shè)銅含量服從 N（ ，1x234x5 ）， 未知，在 下，檢驗(yàn) ，則取統(tǒng)計(jì)量 201.00st1. 設(shè) 均為 n 階可逆矩陣，逆矩陣分別為 ，則 BA, 1,BA1)(BA)(12. 向量組 線性相關(guān)，則 .,0),0(),1,(32 k_k3. 已知 ，則 .8.0)P6.4. 已知隨機(jī)變量 ，那么 5.013.X)(XE425. 設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，則 1021,x ,N10ix)104,(N1設(shè) ，則 的根是 4)(2f)(f2,12設(shè)向量 可由向量組 線性表示，則表示方法唯一的充分必要條件是 n,21 n,21線性無(wú)關(guān)3若事件 A， B 滿足 ，則 P（ A - B）= )(P4設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 ，則常數(shù) k =其 它,01)(2xkf 45若樣本 來(lái)自總體 ，且 ，則nx,21 NXni1x)1,0(nN7設(shè)三階矩陣 的行列式 ，則 =2A11A8若向量組： ， ， ，能構(gòu)成 R3一個(gè)基，則數(shù) k 2130k29設(shè) 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（ A）=1，那么 AX=B 的相應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系含有 3 個(gè)解向量10設(shè) 互不相容，且 ，則 0 A,P()()11若隨機(jī)變量 X ，則 1/32,0UXD12設(shè) 是未知參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)，且滿足 ，則 稱為 的無(wú)偏估計(jì) )(E 7 2140. 是關(guān)于 的一個(gè)一次多項(xiàng)式，則該多項(xiàng)式一次項(xiàng)的系數(shù)是 2 1x若 為 矩陣， 為 矩陣，切乘積 有意義，則 為 5×4 矩陣A34B25ACB二階矩陣 10設(shè) ，則 AB243,()815360設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 72 ,AB2AB設(shè) 均為 3 階矩陣，且 ，則 3 13,12()若 為正交矩陣，則 0 Aa10a矩陣 的秩為 2 43設(shè) 是兩個(gè)可逆矩陣，則 A12, AO1212當(dāng) 1 時(shí)，齊次線性方程組 有非零解x120向量組 線性 相關(guān) 120,向量組 的秩 30,設(shè)齊次線性方程組 的系數(shù)行列式 ，則這個(gè)方程組有 無(wú)窮多 解，且123x1230系數(shù)列向量 是線性 相關(guān) 的23,向量組 的極大線性無(wú)關(guān)組是 1300, 21,向量組 的秩與矩陣 的秩 相同 2, s 12, s設(shè)線性方程組 中有 5 個(gè)未知量，且秩 ，則其基礎(chǔ)解系中線性無(wú)關(guān)的解向量有 2 個(gè)AX()A3設(shè)線性方程組 有解， 是它的一個(gè)特解，且 的基礎(chǔ)解系為 ，則 的通解為b0X0X12,Ab210k9若 是的特征值，則 是方程 的根I10若矩陣滿足 ，則稱為正交矩陣A1從數(shù)字 1,2,3,4,5 中任取 3 個(gè)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為 2/52.已知 ，則當(dāng)事件 互不相容時(shí)， 0.8 ， 0.3 PB().,().05AB,PAB()().3. 為兩個(gè)事件，且 ，則 AB,APB()A4. 已知 ，則 Pp(),)15. 若事件 相互獨(dú)立，且 ，則 , q(,)()pq6. 已知 ，則當(dāng)事件 相互獨(dú)立時(shí)， 0.65 ， 0.3 ().035PBPA()7.設(shè)隨機(jī)變量 ，則 的分布函數(shù) XU(,)1Fx()108.若 ，則 6 B(,.)203E(9.若 ，則 NP)3)(210. 稱為二維隨機(jī)變量 的 協(xié)方差 XY()(,XY1統(tǒng)計(jì)量就是 不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) 2參數(shù)估計(jì)的兩種方法是 點(diǎn)估計(jì) 和 區(qū)間估計(jì) 常用的參數(shù)點(diǎn)估計(jì)有 矩估計(jì)法 和最大似然估 兩種方法3比較估計(jì)量好壞的兩個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)是無(wú)偏性，有效性 4設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 （ 已知）的樣本值，按給定的顯著性水平 檢驗(yàn)xxn12, N(,)2 ，需選取統(tǒng)計(jì)量 H00:;:nxU/05假設(shè)檢驗(yàn)中的顯著性水平 為事件 （ u 為臨界值）發(fā)生的概率|0三、（每小題 16 分，共 64 分）A1設(shè)矩陣 ，且有 ，求 AB1235410,AXB解：利用初等行變換得1203541203201512051即 由矩陣乘法和轉(zhuǎn)置運(yùn)算得A17XB120513622.設(shè)矩陣 ，求 0,32ABA1.解：利用初等行變換得 102341032 146035146即 由矩陣乘法得6535A 20180431BA3.已知 ，其中 ，求 X53,87BX解：利用初等行變換得 1052031857321 1205364123即 由矩陣乘法運(yùn)算得04646A 128350125461BAX4.設(shè)矩陣 ， 是 3 階單位矩陣，且有 ，求 ,437IBXAI)(1. 解：由矩陣減法運(yùn)算得943721801AI利用初等行變換得130274902131021230即()IA1230由矩陣乘法運(yùn)算得.6519240312)(1BAIX5設(shè)矩陣 ，求（1 ） ；（2） （1）,34102ABI)(= 0702A 513701（2）因?yàn)?=)(I3412所以 = BAI)(034120935246設(shè)矩陣 ，解矩陣方程 6,0BAX解：因?yàn)?12073410241，得 145310 1234751A所以 BAX247537296857 設(shè)矩陣 ，求（1 ） ，（2） 解43A11） 10252A（2）利用初等行變換得1032104351 20152015.即 A120758 .,3, XB，A求且 ，BAXI 求且己 知例 于 是得 出 183052724135 13250100)(9設(shè)矩陣 ，求：（1 ） ；（2） 203,132BA1解：（1）因?yàn)?120132B所以 A（2）因?yàn)?103I所以 2/01 102/31A10已知矩陣方程 ，其中 ， ，求 BAX05BX解：因?yàn)?，且I)(12010即 12)(1AI所以 34250)(1BIX11設(shè)向量組 ， ， ， ，求這),42(1，),168(2， )2,51(3，)1,3(4，個(gè)向量組的秩以及它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.解：因?yàn)椋?） = 123412563810752402134所以， r( ) = 3 421,它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是 （或 ）41,432,1設(shè) ，求 ABC0203,ACB解： 10246014)(C13 寫(xiě)出 4 階行列式中元素 的代數(shù)余子式，并求其值102365a412,： 0324)1(a 453610)(24a14 求矩陣 的秩10解 00110 010110121001123101043 424132r rr3)(AR15用消元法解線性方程組.xx12341234685012 2610937842108431005176231231420586 41324132 5rrA 3104513650472913650287490 4321343 579121 rrr 31023104521 34214 51 rr方程組解為3241xA2求線性方程組的全部解解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 046231842317 02130621方程組的一般解為（其中 為自由未知量） xx142354令 =0，得到方程的一個(gè)特解 . x4 )01(0X.方程組相應(yīng)的齊方程的一般解為（其中 為自由未知量）43215xx4令 =1，得到方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . x4 )15(1X于是，方程組的全部解為 （其中 為任意常數(shù)） 0k2.當(dāng) 取何值時(shí)，線性方程組147963221xx有解，在有解的情況下求方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 190251479632 1058491052由此可知當(dāng) 時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng) 時(shí)，方程組有解。7 分此時(shí)齊次方程組化為432159xx分別令 及 ，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系0,341,令 ，得非齊次方程組的一個(gè)特解051921XXx340,由此得原方程組的全部解為80（其中 為任意常數(shù)） 16 分k12k12,3.求線性 方程組的全部 解解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形046231842317 021306212842137421xx.方程組的一般解為 （其中 為自由未知量） x14235x4令 =0，得到方程的一個(gè)特解 . x4 )0(0X方程組相應(yīng)的齊次方程的一般解為（其中 為自由未知量）43215xxx4令 =1，得到方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系 . 4 )15(1X于是，方程組的全部解為（其中 為任意常數(shù)） 10kX4.求線性方程組83259421xx的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 2413058312940 0214305241300此時(shí)相應(yīng)齊次方程組的一般解為是自由未知量4321x令 ，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系4x121X令 ，得非齊次方程組的一個(gè)特解04x0.由此得原方程組的全部解為（其中 為任意常數(shù)）10kXk5設(shè)齊次線性方程組 的系數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換，得 求此齊次線性方程組的一A2013A個(gè)基礎(chǔ)解系和通解 因?yàn)?012/3021得一般解： （其 是自由元） 4321xx43,x令 ，得 ；0,43021X令 ，得 ,x2所以， 是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 21,方程組的通解為： ，其中 是任意常數(shù) X21k21,k6設(shè)齊次線性方程組 ， 為何值時(shí)方程組有非零解？在有非零解時(shí)，0835321x解：因?yàn)?A = 651時(shí)， ，所以方程組有非零解 50即當(dāng) 3)(r方程組的一般解為： ，其中 為自由元321x3令 =1 得 X1= ，則方程組的基礎(chǔ)解系為 X13x),(通解為 k1X1，其中 k1為任意常數(shù) 求出通解 7. 當(dāng) 取何值時(shí)，線性方程組.2532341xx有解，在有解的情況下求方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形1024351021023130由此可知當(dāng) 時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng) 時(shí)，方程組有解。8 分此時(shí)相應(yīng)齊次方程組的一般解為 （ 是自由未知量）x134243,x分別令 及 ，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系x3410,x34,XX2301令 ，得非齊次方程組的一個(gè)特解34,01由此得原方程組的全部解為8.k 為何值時(shí)，線性方程組 且 方 程 組 的 一 般 解 為方 程 組 有 解時(shí)當(dāng) 為 階 梯 形將 方 程 組 的 增 廣 矩 陣 化解 并 求 出 一 般 解有 解 ，kkAkxx5,0375241227341:7242131 ),(573643421 為 自 由 未 知 量其 中 xxx9求齊次線性方程組 的通解0235962214xx.解： A= 326013159620一般解為 ，其中 x2， x4 是自由元 31542x令 x2 = 1， x4 = 0，得 X1 = ；)0,(x2 = 0， x4 = 3，得 X2 = ),313所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 X1， X2 原方程組的通解為： ，其中 k1， k2 是任意常數(shù) 1k10設(shè)有線性方程組12xyz為何值時(shí)，方程組有唯一解?或有無(wú)窮多解?解： 23222)1()(011032 3131 r rrA當(dāng) 且 時(shí)， ，方程組有唯一解23AR當(dāng) 時(shí)， ，方程組有無(wú)窮多解1)(AR11判斷向量 能否由向量組 線性表出，若能，寫(xiě)出一種表出方式其中123,83710250613,解：向量 能否由向量組 線性表出，當(dāng)且僅當(dāng)方程組 有解321,321xx.這里 571043110237136578,21A)()(R方程組無(wú)解不能由向量 線性表出321,12計(jì)算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關(guān) 123434789101963,解： 0182631490827,321該向量組線性相關(guān)13求齊次線性方程組xx1234124055的一個(gè)基礎(chǔ)解系解： 307142501034072134053213423141325 rrA. 001430510012435010321450 233432 11 rrr方程組的一般解為 令 ，得基礎(chǔ)解系014352x3x143514求下列線性方程組的全部解 xx12341234515976解： 00287149056142802871351163574091542314312 5rrA方程組一般解為 00271214r 27194321xx令 ， ，這里 ， 為任意常數(shù)，得方程組通解13kx241k2A3設(shè) ，試求: (1) ；(2) （已知),(NX)95(XP)7(P,8413.0)(）987.07.)2(解：1 )321()235()P1574.0843.97.0(2 )7()X)()(XP28.9)2(2.設(shè) ，試求：(1) ；(2) （已知N,3415）987.0)3(,92.0)(81.0)( .解：(1) PX()132PX()(321(208457. PXPX)()()57327132().2973093.設(shè) ，求 和 .（其中,32NX)(XP)1(,691.0)(, ）841.0)(72,.)5解：設(shè) ,(2Y8413.0)(53)(XP=)20(1X )5.1().0()5.( YP= 2417.0695.93.)5.). 4.設(shè) ，試求 ； （已知XN(,2P()1()8,8413.0)(）87.0)973.0)(解： P(12X()(.397 XP() )585312.210972840595某射手射擊一次命中靶心的概率是 0.8，該射手連續(xù)射擊 5 次，求：（1）命中靶心的概率； （2 ）至少 4 次命中靶心的概率解：射手連續(xù)射擊 5 次，命中靶心的次數(shù) （1 ）設(shè) ：“命中靶心”，則XB(,.)8A PAXP()()010120396850C.（2）設(shè) ：“至少 4 次命中靶心 ”，則BX()()()4C54500827328.6設(shè) 是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知 ， ， ，求：A, .AP.B4.)(AP（1） ； （2 ） )(BP)(.解（1） = = = （2 )(ABP)(4.0518)(1BAP)(ABP2.18.054.7設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為，求： (1) k； (2) E(X )， D(X)解：（1）因?yàn)?1= = = = 3 k， 所以 k = xfd)(2121x31(2) E(X) = = = 21d3x2145E( ) = =212D(X) = E( ) - = 2)(80518設(shè)隨機(jī)變量 X N（8 ，4）求 和 ( ，)1(XP)26915.0， )13.0)(973.)2(解：因?yàn)?X N（8，4），則 N（0 ，1） 所以 = =Y)8(XP)5.02()5.02.(P= = = =0.383 .(.1)5.0(21695.= = .)12(X)89739. 設(shè) ，試求 ； （已知4,3N)5(XP)(,8413.0)(）.0)(97.)(解： )321()9235XP1574.08.97.0)7()()()(XP28.9.01210.假設(shè) A,B 為兩件事件，己知 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B| )=0.4, 求 P(A+B)A解：P( )=P( )P(B| )=0.5 0.4=0.2P(AB)=P(B)P( B)=0.60.2=0.4BAP(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7。其 它0)(2kxf.11設(shè)隨機(jī)變量 （1）求 ；（2 ）若 ，求 k 的值 （已知),4(NX)4(XP932.0)(kXP）93.058.0,975.)2( 解：（1） 1 )2P= 1 1 （ ）4()2(= 2（ 1 ）0.045 )（2） )4(kXPk1 1 )5.1(932.0)4(k即 k4 = -1.5， k2.5 12罐中有 12 顆圍棋子，其中 8 顆白子，4 顆黑子若從中任取 3 顆，求：（1）取到 3 顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（2）取到 3 顆棋子顏色相同的概率解：設(shè) =“取到 3 顆棋子中至少有一顆黑子”， =“取到的都是白子”， =“取到的都是黑1A2A3A子”， B =“取到 3 顆棋子顏色相同”，則（1） )(1)()(21PP （2 ）745.0328C )()(3232PB3.18.5.0312413設(shè)隨機(jī)變量 X N（3，4 ）求：（1） P（1 1.96 ，所以拒絕 37.| 0H11某零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，過(guò)去的均值為 20.0，現(xiàn)換了新材料，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取8 個(gè)樣品，測(cè)得的長(zhǎng)度為（單位：cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5問(wèn)用新材料做的零件平均長(zhǎng)度是否起了變化（ ）05.解：由已知條件可求得： 12.0x671s36529.|8/5.01|/|nsxT 62.).,9().,(tnt | T | < 2.62 接受 H0.即用新材料做的零件平均長(zhǎng)度沒(méi)有變化。四、證明題（本題 6 分）1設(shè) 是 階對(duì)稱矩陣，試證： 也是對(duì)稱矩陣BA,nBA證明： 是同階矩陣，由矩陣的運(yùn)算性質(zhì)可知)(已知 是對(duì)稱矩陣，故有 ，即BA, BA,)(由此可知 也是對(duì)稱矩陣，證畢2 設(shè)隨機(jī)事件 , 相互獨(dú)立，試證： 也相互獨(dú)立ABBA,證明： )(1)()()( PPP)(BA所以 也相互獨(dú)立證畢 ,3、設(shè) , 為隨機(jī)事件，試證： AB)()(AB證明：由事件的關(guān)系可知而 ，故由概率的性質(zhì)可知)()(AU )(PABP)(即 證畢)(4 設(shè) 是線性無(wú)關(guān)的，證明, 也線性無(wú)關(guān)3213121,.證明：設(shè)有一組數(shù) ，使得321,k0)()()(3221 kk成立，即 ，由已知 線性無(wú)關(guān)，故有3221321,0321k該方程組只有零解，得 ，故 是線性無(wú)關(guān)的證畢0321k3121,5設(shè) n 階矩陣 A 滿足 ，則 A 為可逆矩陣)(I.證明： 因?yàn)?，即 0)(2IAII2所以， A 為可逆矩陣 6.設(shè) , 為隨機(jī)事件，試證：BPBPA()(證明：由事件的關(guān)系可知AUB()()而 ，故由概率的性質(zhì)可知()BPPA()()7設(shè) n 階矩陣 A 滿足 ，則 A 為可逆矩陣0(I證明： 因?yàn)?，即 ； 所以， A 為可逆矩陣)2I I28設(shè)向量組 ，若 線性相關(guān)，證明 線性相,1m,2 ,1)(2ms ,1m,2關(guān)證明：因?yàn)橄蛄拷M 線性相關(guān)，故存在一組不全為 0 的數(shù) ，使1s,2 sk,2121skk成立于是存在不全為 0 的數(shù) ，使,21s sm0,0121 sskk9若 也 是 正 交 矩 陣是 正 交 矩 陣 ， 試 證 'AA證明：因?yàn)?所以有',' 1AI可 逆 且因 而是 正 交 陣 ， 故I)'(')(')11即， 是 正 交 陣'10.設(shè) , 是兩個(gè)隨機(jī)事件，試證：ABPBAPBA()()()證明：由事件的關(guān)系可知 U)(.而 ，故由加法公式和乘法公式可知)(BA證畢 PPABPA()()()11.設(shè) 是同階對(duì)稱矩陣，試證： 也是對(duì)稱矩陣,證明：因 證 畢 。故 可 知 是 對(duì) 稱 矩 陣 ，BBA)()(12設(shè) 是 n 階矩陣，若 = 0，則 321)(AII證明：因?yàn)?)(2AI= 32I= = 3A所以 21)(AII13設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān)，令 ， ， ，證明向量3,2132134組 線性無(wú)關(guān)。321,證明：設(shè) ，即0321kk0)4()()( 1332k因?yàn)?線性無(wú)關(guān)，所以 )(13132,0423k解得 k1=0, k2=0, k3=0，從而 線性無(wú)關(guān) 321,14 對(duì)任意方陣 ，試證 是對(duì)稱矩陣A證明： '')'()'( A是對(duì)稱矩陣15 若 是 階方陣，且 ，試證 或 nI1證明： 是 階方陣，且A2I或1116 若 是正交矩陣，試證 也是正交矩陣AA.證明： 是正交矩陣A1)()()1A即 是正交矩陣A1試證：任一維向量 都可由向量組4321,a， ， ，0120134線性表示，且表示方式唯一，寫(xiě)出這種表示方式證明：0101201231034任一維向量可唯一表示為)()()(1001 342312432432 aaaa12)()()(1試證：線性方程組有解時(shí)，它有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組只有零解證明：設(shè) 為含 個(gè)未知量的線性方程組BAXn該方程組有解，即 R)(從而 有唯一解當(dāng)且僅當(dāng) A而相應(yīng)齊次線性方程組 只有零解的充分必要條件是0XnAR)(有唯一解的充分必要條件是：相應(yīng)的齊次線性方程組 只有零解BAX 0X19設(shè) 是可逆矩陣的特征值，且 ，試證： 是矩陣 的特征值011證明： 是可逆矩陣的特征值 存在向量 ，使A 1111 )()()( AAI.1A即 是矩陣 的特征值120用配方法將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)43242124321 xxxxf 型解： 424232143242321 )()()( xxxxxxf 2)(令 ， ， ，21xy423xy23y4yx即 432yx則將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型2321yyf