九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 解決圓錐問題的四字秘訣試題 （新版）青島版.doc

解決圓錐問題的四字秘訣關(guān)于圓錐的側(cè)面展開圖計(jì)算問題在中考中時常出現(xiàn)，這類問題的解答，可以用四個字來概括：一、二、三、四。其中：“一個轉(zhuǎn)化”，是指將圓錐側(cè)面問題轉(zhuǎn)化為平面圖形扇形問題；“二個對應(yīng)”，是指圓錐的底面周長對應(yīng)著扇形的弧長，圓錐的母線長對應(yīng)著扇形的半徑；“三個圖形”，是指圓錐側(cè)面問題常常需要用到圓形、扇形、直角三角形來解決；“四個公式”，是指圓錐側(cè)面問題需要用l2=r2+h2，其中，如圖，圓錐的底面半徑r，圓錐母線，圓錐的高h(yuǎn)，構(gòu)成直角三角形；S側(cè)=2r=r 。圓錐側(cè)面問題公式的靈活應(yīng)用圓錐側(cè)面問題四個公式共有5個量：l、h、r、n、S側(cè)，由于每個公式中只有三個量，從而只要知道其中的兩個量，就可以將另外三個量利用方程或方程組求出來。一、計(jì)算圓心角的度數(shù)例題1 （浙江中考）若圓錐的軸截面為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是（ ）A. 90 B. 120 C. 150 D. 180解析：因?yàn)榇藞A錐為正圓錐，所以圓錐底面圓的直徑等于展開圖扇形的半徑，然后利用弧長公式求解。解：設(shè)圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n，半徑為r，則圓錐的底面直徑也為r，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，可得，解得n=180。答案：D點(diǎn)撥：在解決圓錐與展開圖有關(guān)問題時，可以利用“圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長”這一規(guī)律解決問題。二、計(jì)算圓錐的底面積例題2 如圖，圓錐形冰淇淋盒的母線長是13cm，高是12cm，則該圓錐形底面圓的面積是（ ）A. 10cm2B. 25cm2C. 60cm2D. 65cm2解析：作出圓錐的軸切面圖，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理求出圓錐底面圓的半徑，進(jìn)而求出其面積。解：作出圓錐的軸切面圖及高，如圖，則AB13cm，AD12 cm，ADBC，BC2BD，所以BD5 cm，因而底面圓的面積為r225（cm2），故選B。答案：B點(diǎn)撥：圓錐的軸切面圖為等腰三角形，等腰三角形底邊上的高為圓錐的高，腰為圓錐的母線長，底邊為圓錐底面圓的直徑，圓錐軸切面的相關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。三、計(jì)算圓錐的側(cè)面積例題3 在學(xué)校組織的實(shí)踐活動中，小新同學(xué)用紙板制作了一個圓錐模型，它的底面半徑為1，高為2，則這個圓錐的側(cè)面積（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 2解析：先根據(jù)勾股定理求得圓錐的母線長，再代入圓錐側(cè)面積的公式計(jì)算即可。解：圓錐的底面半徑為r=1，高為2，圓錐的母線長l=，圓錐的側(cè)面積=13=3，故選B。答案：B點(diǎn)撥：這類題要熟記圓錐的側(cè)面積公式S=rl及圓錐的高h(yuǎn)、母線l、底面半徑為r的關(guān)系：。解決這類問題的方法有：列式計(jì)算，運(yùn)用方程思想列方程來計(jì)算。計(jì)算線路最短問題滿分訓(xùn)練 如圖，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點(diǎn)，一只小蟲從點(diǎn)A出發(fā)，繞側(cè)面爬行一周，再回到點(diǎn)A的最短的路線長是多少？ 解析：我們知道“兩點(diǎn)之間，線段最短”，沿母線SA作側(cè)面展開圖如圖，本題實(shí)際是求將圓錐的側(cè)面沿著母線OA展開，求點(diǎn)A到A的距離AA。解：將圓錐沿母線SA作側(cè)面展開圖，得扇形O AA，設(shè)扇形的圓心角為，因?yàn)閳A錐的底面半徑為r=1，母線長為3，根據(jù)2r=，得21=，所以=120。即扇形的圓心角AOA為120，作ODAA，垂足為D，在RtAOD中，OAD=30，OA=3。 所以O(shè)D=，據(jù)勾股定理，得可求得AD=，所以AA=2AD=。答案：點(diǎn)撥：小蟲從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，從圓錐上看是曲線，而在側(cè)面展開圖上看是直線，“化曲為直”是解決此類問題的關(guān)鍵。（答題時間：30分鐘）1. 用半徑為3cm，圓心角是120的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為（ ）A. 2cm B. 1.5cm C. cm D. 1cm2. 已知圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，則這個圓錐的母線長為（ ）。A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm3. 圓錐底面圓的半徑為3cm，其側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐母線長為（ ）A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 4. 若圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的母線l與底面半徑r的關(guān)系是（ ）A. l2r B. l3r C. lr D. l*5. 一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角是 。6. 圓錐的側(cè)面積為6cm2，底面圓的半徑為2cm，則這個圓錐的母線長為 cm*7. 已知一個扇形的半徑為60厘米，圓心角為150。用它圍成一個圓錐的側(cè)面，那么圓錐的底面半徑為厘米。*8. 若圓錐的母線長為5cm，底面圓的半徑為3cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為 cm2（結(jié)果保留）。*9. 用半徑為10cm，圓心角為216的扇形作一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐的高。*10. 如圖所示的一扇形紙片，圓心角AOB為120，弦AB的長為，用它圍成一個圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），求該圓錐底面的半徑。*11. 已知圓錐的底面周長是10，其側(cè)面展開后所得扇形的圓心角為90，求該圓錐的母線長。*12. 如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角。 1. D 解析：依題意，得這個圓錐的底面半徑21，故選D。2. B 解析：先根據(jù)半徑與高互相垂直，然后利用勾股定理求母線長。 r2h2l2， 6282l2， l10，故選B。3. B 解析：圓錐的母線長=圓錐的底面周長=23=6cm。故選B。4. A 解析：根據(jù)以上分析，則圓錐的底面周長為，展開圖扇形弧長是，因此，則 l2r，故選A。*5. 180 解析：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r， 圓心角n，則，即，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為n=360=180。故答案為180。6. 3 解析：設(shè)圓錐的母線長為R，因底面圓的半徑為2cm，所以底面圓的周長=側(cè)面扇形的弧長=22=4，又扇形的面積=4R=6，解得R=3，故填3。*7. 25 解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的母線長R=60 cm，因?yàn)閳A錐的底面周長等于其側(cè)面展開圖的弧長，所以2r=，解得r=25。*8. 15 解析：圓錐的側(cè)面積S=rl，r=3 cm，l=5S=15 cm2。*9. 解析：扇形的弧長是：=12（cm），設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2r=12，解得：r=6cm，則圓錐的高是：=8（cm）。*10. 解析：過O點(diǎn)作OEAB，垂足為點(diǎn)E，OA=OB，AB=cm，AE=cm，AOE=60，OA=2cm，弧AB的長，設(shè)該圓錐底面的半徑為r，r=cm。*11. 解析：設(shè)圓錐的母線長為l。圓錐的底面周長是10，圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的弧長是10。側(cè)面展開后所得扇形的圓心角為90，。l20，即該圓錐的母線長是20。*12. 解析：因?yàn)?r=l。 所以l=2r，所以sinBAO=，所以BAO=30，所以母線AB與高AO的夾角為30。