高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例教師用書 理

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題。2016，全國卷，13,5分(向量的幾何意義)2016，全國卷，3,5分(向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算)2016，全國卷，3,5分(向量夾角問題)2016，天津卷，7,5分(向量的數(shù)量積和線性運(yùn)算)2015，全國卷，15,5分(向量的數(shù)量積運(yùn)算)高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以向量的長度、夾角及數(shù)量積為主，以向量數(shù)量積的運(yùn)算為載體，綜合三角函數(shù)、解析幾何等知識進(jìn)行考查，是一種新的趨勢，復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注。以客觀題為主，有時出現(xiàn)在解答題中。分值512分。微知識小題練自|主|排|查1平面向量的數(shù)量積(1)向量的夾角定義：已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB就是向量a與b的夾角。范圍：設(shè)是向量a與b的夾角，則0180。共線與垂直：若0，則a與b同向共線；若180，則a與b反向共線；若90，則a與b垂直。(2)平面向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0。幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積。2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角。數(shù)量積：ab|a|b|cosx1x2y1y2。模：|a|。夾角：cos。兩非零向量ab的充要條件：ab0x1x2y1y20。|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)|x1x2y1y2| 。3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律)。(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)。(3)(ab)cacbc(分配律)。微點(diǎn)提醒1a在b方向上的投影與b在a方向上的投影不是一個概念，要加以區(qū)別。2對于兩個非零向量a與b，由于當(dāng)0時，ab>0，所以ab>0是兩個向量a，b夾角為銳角的必要而不充分條件；ab0也不能推出a0或b0，因?yàn)閍b0時，有可能ab。3在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，bR，則|ab|a|b|；若abac(a0)，則bc。但對于向量a，b卻有|ab|a|b|；若abac(a0)，則bc不一定成立，原因是ab|a|b|cos，當(dāng)cos0時，b與c不一定相等。4向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線。小|題|快|練一 、走進(jìn)教材1(必修4P107例6改編)已知|a|2，|b|4，ab4，則a與b的夾角_。【解析】因?yàn)閍b|a|b|cos，所以cos，又因?yàn)?180，故30?！敬鸢浮?02(必修4P105例4改編)已知a(1,2)，b(3,4)，若akb與akb互相垂直，則實(shí)數(shù)k_?！窘馕觥坑梢阎猘(1,2)，b(3,4)，若互相垂直，則(akb)(akb)0，即a2k2b20，即525k20，即k2，所以k?！敬鸢浮慷?、雙基查驗(yàn)1下列四個命題中真命題的個數(shù)為()若ab0，則ab；若abbc，且b0，則ac；(ab)ca(bc)；(ab)2a2b2。A4個B2個C0個D3個【解析】ab0時，ab，或a0，或b0。故命題錯。abbc，b(ac)0。又b0，ac，或b(ac)。故命題錯誤。ab與bc都是實(shí)數(shù)，故(ab)c是與c共線的向量，a(bc)是與a共線的向量，(ab)c不一定與a(bc)相等。故命題不正確。(ab)2(|a|b|cos)2|a|2|b|2cos2|a|2|b|2a2b2。故命題不正確。故選C。【答案】C2在ABC中，AB3，AC2，BC，則()A B C. D.【解析】在ABC中，cosBAC，|cosBAC32。故選D?！敬鸢浮緿3已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，ab與a垂直，則()A1 B1 C2 D2【解析】ab(4，32)。ab與a垂直，(ab)a10100。1。故選A。【答案】A4已知單位向量e1，e2的夾角為，且cos，若向量a3e12e2，則|a|_?！窘馕觥縷a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149|a|3?！敬鸢浮?5(2016大連模擬)若a，b滿足|a|，a(ab)1，|b|1，則a，b的夾角為_。【解析】因?yàn)閨a|，所以a(ab)a2ab2ab1，即ab1。設(shè)a，b的夾角為，則cos。因?yàn)?，所以?！敬鸢浮康谝徽n時平面向量的數(shù)量積微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積運(yùn)算【典例1】(1)已知a(2,3)，b(4,7)，則a在b上的投影為()A.B.C.D.(2)(2016天津高考)已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得DE2EF，則的值為()A B. C. D.【解析】(1)|a|cos。故選C。(2)如圖，設(shè)m，n。根據(jù)已知得，m，所以mn，mn，(mn)m2n2mn。故選B?！敬鸢浮?1)C(2)B反思?xì)w納1.當(dāng)已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab|a|b|cos。2當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2?！咀兪接?xùn)練】(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4。若點(diǎn)M，N滿足3，2，則()A20 B15 C9 D6(2)(2016蚌埠模擬)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)。的最大值為_?！窘馕觥?1)在平行四邊形ABCD內(nèi)，易得，所以36161239。故選C。(2)如圖所示，以AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)E(t,0)，0t1，則D(0,1)，C(1,1)，(t，1)，(1,0)，所以t1?！敬鸢浮?1)C(2)1考點(diǎn)二 平面向量的模與夾角問題【典例2】(1)(2017長沙模擬)已知向量a(1,2)，ab5，|ab|2，則|b|等于()A. B2 C5 D25(2)(2016東北三校聯(lián)考)已知向量a，b的夾角為60，且|a|2，|b|1，則向量a與向量a2b的夾角等于()A150 B90C60 D30【解析】(1)由a(1,2)，可得a2|a|212225。因?yàn)閨ab|2，所以a22abb220，所以525b220，所以b225，所以|b|5。故選C。(2)解法一：由于a(a2b)a22ab|a|22|a|b|cos604226，|a2b|2，所以cosa，a2b，所以a，a2b30。故選D。解法二：|a2b|2444ab88cos6012，|a2b|2，a(a2b)|a|a2b|cos22cos4cos。又a(a2b)a22ab44cos606，4cos6，cos，0，180，30。故選D?！敬鸢浮?1)C(2)D反思?xì)w納1.平面向量夾角的求法若a，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得cos(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題。2平面向量的模的解題方法(1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的模可直接利用|a|。(2)若向量a，b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的模可應(yīng)用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解。【變式訓(xùn)練】(1)(2016全國卷)已知向量，則ABC()A30 B45 C60 D120(2)(2016衡水中學(xué)二調(diào))已知單位向量a，b，若ab0，且|ca|c2b|，則|c2a|的取值范圍是()A1,3 B2，3C. D.【解析】(1)由兩向量的夾角公式，可得cosABC，則ABC30。故選A。(2)不妨設(shè)a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，所以ca(x1，y)，c2b(x，y2)，所以，即(x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距離和為，即表示點(diǎn)(1,0)和 (0,2)之間的線段，|c2a|，表示(2，0)到線段AB上點(diǎn)的距離，最小值是點(diǎn)(2，0)到直線2xy20的距離，|c2a|min，最大值為(2,0)到(1,0)的距離是3，所以|c2a|的取值范圍是。故選D。【答案】(1)A(2)D考點(diǎn)三 平面向量的垂直問題【典例3】(1)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()A B0 C3 D.(2)已知向量與的夾角為120，且|3，|2。若，且，則實(shí)數(shù)的值為_?！窘馕觥?1)因?yàn)?a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3。故選C。(2)，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，?！敬鸢浮?1)C(2)【變式訓(xùn)練】ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)【解析】因?yàn)?2ab)2ab，所以|b|2，故A錯誤；由于2a(2ab)4|a|22ab222，所以2ab24|a|22，所以ab1，故B，C錯誤；又因?yàn)?4ab)(4ab)b4ab|b|241240，所以(4ab)。故選D?！敬鸢浮緿微考場新提升1(2016全國卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A8B6C6D8解析由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得ab(4，m2)，由(ab)b，得(ab)b122(m2)0，解得m8，故選D。答案D2(2017衡水模擬)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為，那么|4ab|()A2 B6 C2 D12解析|4ab|216a2b28ab1614812cos12。|4ab|2。故選C。答案C3(2016成都模擬)ABC中，點(diǎn)M在線段AC上，點(diǎn)P在線段BM上，且滿足2，若|2，|3，BAC90，則的值為()A1 B C. D解析由題知，()222。故選B。答案B4(2016合肥聯(lián)考)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為60，則ab在a方向上的投影為_。解析|ab|2a2b22ab142127，|ab|，cosab，a。ab在a方向上的投影為|ab|cosab，a2。答案25在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動點(diǎn)D滿足|1，則|的取值范圍是_。解析設(shè)D(x，y)，則(x3)2y21，(x1，y)，故|，|的最大值即為圓(x3)2y21上的點(diǎn)到點(diǎn)(1，)距離的最大值，其最大值為圓(x3)2y21的圓心到點(diǎn)(1，)的距離加上圓的半徑，即11，最小值為11，故取值范圍為1，1。答案1，1第二課時平面向量的應(yīng)用微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 平面向量在函數(shù)、不等式中的應(yīng)用【典例1】已知向量a，b滿足|a|2，|b|1，且對一切實(shí)數(shù)x，|axb|ab|恒成立，則a，b的夾角的大小為_。【解析】由題意得|axb|ab|a22xabx2b2a22abb2x22abx12ab0，所以4(ab)24(12ab)0(ab1)20，所以ab1，cosa，b，即a與b的夾角為?！敬鸢浮糠此?xì)w納平面向量溝通了幾何與代數(shù)、函數(shù)、不等式的相關(guān)知識如：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、不等式的解法、不等式的證明、不等式的恒成立等問題必然會與平面向量相關(guān)聯(lián)，以考查學(xué)生分析和解決問題的能力?！咀兪接?xùn)練】(1)已知單位向量a，b，滿足ab，則函數(shù)f(x)(xa2b)2(xR)()A既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)B既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C是偶函數(shù)D是奇函數(shù)(2)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，(a1)e1e2，be12e2(a>0，b>0)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的最小值是()A2B4C6 D8【解析】(1)因?yàn)閱挝幌蛄縜，b，滿足ab，所以ab0，所以f(x)(xa2b)2x24xab4x24。又f(x)(x)24x24f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。故選C。(2)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以(a1)(2)1b，所以2ab2。因?yàn)閍>0，b>0，所以222 4(當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b1時取等號)。故選B?！敬鸢浮?1)C(2)B考點(diǎn)二 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用母題發(fā)散【典例2】已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個動點(diǎn)，若動點(diǎn)P滿足()，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A內(nèi)心 B外心C重心 D垂心【解析】由原等式，得()，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線AD(D為BC的中點(diǎn))所對應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的重心。故選C?！敬鸢浮緾【母題變式】在本典例中，若動點(diǎn)P滿足，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_。【解析】由條件，得，即，而和分別表示與，同向的單位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的內(nèi)心。【答案】內(nèi)心反思?xì)w納解決向量與平面幾何綜合問題，可先利用基向量或坐標(biāo)系建立向量與平面圖形的聯(lián)系，然后通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系?！就卣棺兪健咳鐖D，RtABC中，C90，其內(nèi)切圓切AC邊于D點(diǎn)，O為圓心。若|2|2，則_。【解析】以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(分別以射線CA、CB的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向)，則C(0,0)，O(1,1)，A(3,0)。設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓與AB邊切于點(diǎn)E，與CB邊切于點(diǎn)F，則由圓的切線長定理可得BEBF，ADAE2，設(shè)BEBFx，在RtABC中，有CB2CA2AB2，即(x1)29(x2)2，解得x3，故B(0,4)。(1，3)(3,0)3?！敬鸢浮?考點(diǎn)三 平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用多維探究角度一：平面向量在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用【典例3】已知函數(shù)f(x)sinx(>0)的部分圖象如圖所示，A，B分別是這部分圖象上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若0，則函數(shù)f(x1)是()A周期為4的奇函數(shù)B周期為4的偶函數(shù)C周期為2的奇函數(shù)D周期為2的偶函數(shù)【解析】由題圖可得A，B，由0得30，又>0，f(x)sinx，f(x1)sincosx，它是周期為4的偶函數(shù)。故選B?！敬鸢浮緽角度二：平面向量在解三角形中的應(yīng)用【典例4】(2016山西四校聯(lián)考)已知在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，mnsin2C。(1)求角C的大??；(2)若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且()18，求c邊的長?！窘馕觥?1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)，對于ABC，ABC,0<C<，sin(AB)sinC，mnsinC，又mnsin2C，sin2CsinC，cosC，又C(0，)，C。(2)由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，可得2sinCsinAsinB，由正弦定理得2cab。()18，18，即abcosC18，ab36。由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)23ab，c24c2336，c236，c6?！敬鸢浮?1)(2)6反思?xì)w納1.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決。2還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識。【變式訓(xùn)練】(1)若函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0，|<)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則A等于()A. B.C. D.(2)在ABC中，()|2，則ABC的形狀一定是()A等邊三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形【解析】(1)由題意知M，N，又A20，A。故選B。(2)由()|2，得()0，即()0,20，A90。又根據(jù)已知條件不能得到|，故ABC一定是直角三角形。故選C?！敬鸢浮?1)B(2)C考點(diǎn)四 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用【典例5】過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C，若，48，則拋物線的方程為()Ay28x By24xCy216x Dy24x【解析】如圖，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)，AFAC，ABC30，由48得BC4，則AC4。由中位線性質(zhì)有pAC2，故拋物線的方程為y24x。故選B。【答案】B反思?xì)w納向量在解析幾何中的應(yīng)用：1載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題。2工具作用：利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問題。特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法。【變式訓(xùn)練】已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動點(diǎn)，作PQl，垂足為Q，且0。(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求的最值?！窘馕觥?1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)。由0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡得1。所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為1。(2)()()()()2221，P是橢圓1上的任一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)，則有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220。因?yàn)閥02，2，所以當(dāng)y03時，2取得最大值20，故的最大值為19；當(dāng)y02時，2取得最小值為134(此時x00)，故的最小值為124?！敬鸢浮?1)1(2)最大值為19，最小值為124微考場新提升1已知向量a(1，sin)，b(1，cos)，則|ab|的最大值為()A1 B.C. D2解析a(1，sin)，b(1，cos)，ab(0，sincos)，|ab|。|ab|的最大值為。故選B。答案B2設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)(xab)(axb)的圖象是一條直線，則必有()Aab BabC|a|b| D|a|b|解析f(x)(ab)x2(a2b2)xab。依題意知f(x)的圖象是一條直線，ab0，即ab。故選A。答案A3(2016郴州質(zhì)檢)已知ABC的外心P滿足()，則cosA()A. B.C D.解析取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，則()，又()，所以()。由()()0，得|。又2，所以P又是重心，所以ABC是等邊三角形，所以cosAcos60。故選A。答案A4(2017唐山模擬)過點(diǎn)A(3,1)的直線l與圓C：x2y24y10相切于點(diǎn)B，則_。解析由x2(y2)25，可知圓心C(0,2)，半徑r，所以|AC|，所以|AB|，所以ACB45，所以cos455。答案55在ABC中，ACB為鈍角，ACBC1，xy，且xy1。若函數(shù)f(m)|m|(mR)的最小值為，則|的最小值為_。解析由xy，且xy1，可知A，O，B三點(diǎn)共線，所以|的最小值為AB邊上的高，又ACBC1，即O為AB的中點(diǎn)，且函數(shù)f(m)|m|的最小值為，即點(diǎn)A到BC邊的距離為。又AC1，所以ACB120，從而可得|的最小值為。答案6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375