2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)（第3課時）直線與橢圓的位置關系（二）學案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

第3課時直線與橢圓的位置關系(二)題型一弦長問題例1已知動點P與平面上兩定點A(，0)，B(，0)連線的斜率的積為定值.(1)試求動點P的軌跡方程C；(2)設直線l：ykx1與曲線C交于M，N兩點，當|MN|時，求直線l的方程.考點題點解(1)設動點P的坐標是(x，y)，由題意得kPAkPB.，化簡整理得y21.故P點的軌跡方程C是y21(x)(2)設直線l與曲線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.16k24(12k2)8k24>0，x1x2，x1x20.|MN|，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k1，經(jīng)檢驗符合題意直線l的方程是yx1，即xy10或xy10.反思感悟求弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關于一個未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長跟蹤訓練1已知斜率為1的直線l過橢圓y21的右焦點F，交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長考點題點解設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由橢圓方程知a24，b21，c，F(xiàn)(，0)，直線l的方程為yx，將其代入橢圓方程，并化簡、整理得5x28x80，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.題型二中點弦問題例2已知橢圓1的弦AB的中點M的坐標為(2,1)，求直線AB的方程考點題點解方法一根與系數(shù)的關系、中點坐標公式法由橢圓的對稱性，知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y1k(x2)將其代入橢圓方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，于是x1x2.又M為線段AB的中點，2，解得k.故所求直線的方程為x2y40.方法二點差法設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2,1)為線段AB的中點，x1x24，y1y22.又A，B兩點在橢圓上，則x4y16，x4y16，兩式相減，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直線的方程為x2y40.方法三對稱點法(或共線法)設所求直線與橢圓的一個交點為A(x，y)，由于點M(2,1)為線段AB的中點，則另一個交點為B(4x,2y)A，B兩點都在橢圓上，得x2y40.即點A的坐標滿足這個方程，根據(jù)對稱性，點B的坐標也滿足這個方程，而過A，B兩點的直線只有一條，故所求直線的方程為x2y40.反思感悟解決橢圓中點弦問題的兩種方法根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓1(a>b>0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線段AB的中點，則由，得(xx)(yy)0，變形得，即kAB.跟蹤訓練2已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交E于A，B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為()A.1B.1C.1D.1考點題點答案D解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則得.x1x22，y1y22，kAB.而kAB，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3，E的方程為1.題型三與橢圓有關的最值或范圍問題例3已知橢圓C：4x2y21.(1)P(m，n)是橢圓C上一點，求m2n2的取值范圍；(2)設直線yxm與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求AOB面積的最大值及AOB面積最大時的直線方程考點直線與橢圓的位置關系題點橢圓中的定點、定值、取值范圍問題解(1)m2n2表示原點O到橢圓C上點P的距離的平方，則m2n2.(2)可求得O到AB的距離d，將yxm代入4x2y21，消去y得5x22mxm210.所以x1x2，x1x2，|AB|，(2m)245(m21)2016m2>0，<m<，所以SAOB|AB|d.當且僅當m2m2時，上式取“”此時m.所以AOB面積的最大值為，面積最大時直線方程為xy0.反思感悟求最值問題的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值問題，一般通過橢圓的定義把折線轉化為直線，當且僅當三點共線時|PA|PB|取得最值(2)求解形如|PA|的最值問題，一般通過二次函數(shù)的最值求解，此時一定要注意自變量的取值范圍(3)求解形如axby的最值問題，一般通過數(shù)形結合的方法轉化為直線問題解決(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍跟蹤訓練3已知點A，B分別是橢圓1長軸的左、右端點，點P在橢圓上，直線AP的斜率為，設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值考點題點解直線AP的方程是xy60.設點M的坐標是(m,0)，則M到直線AP的距離是，于是|m6|，又6m6，解得m2，所以點M(2,0)設橢圓上的點(x，y)到點M的距離為d，有d2(x2)2y2x24x420x2215，由于6x6.所以當x時，d取最小值.運用“設而不求”法研究直線和橢圓位置關系問題典例已知橢圓方程為1(a>b>0)，過點A(a,0)，B(0，b)的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)斜率大于零的直線過D(1,0)與橢圓分別交于點E，F(xiàn)，若2，求直線EF的方程；(3)對于D(1,0)，是否存在實數(shù)k，使得直線ykx2分別交橢圓于點P，Q，且|DP|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由考點直線與橢圓的位置關系題點求橢圓中的直線方程解(1)由，ab，得a，b1，所以橢圓的方程是y21.(2)設EF：xmy1(m>0)代入y21，得(m23)y22my20.設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y得2，m1或m1(舍去)，直線EF的方程為xy1，即xy10.(3)記P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90，(*)x1，x2是此方程的兩個相異實根設PQ的中點為M，則xM，yMkxM2，由|DP|DQ|，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均使方程(*)沒有兩相異實根故這樣的k不存在素養(yǎng)評析本例(2)(3)均采用了“設而不求”的數(shù)學運算策略，特別(3)利用定點D與弦端點的幾何關系，由設而不求的思想方法，轉換成坐標關系，構造出關于k的方程，減小了數(shù)學運算的難度，提高了解題效率.1若直線l：2xby30過橢圓C：10x2y210的一個焦點，則b等于()A1B1C1D2考點題點答案B解析因為橢圓x21的焦點F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b1或1.2直線yx1被橢圓1所截得的弦的中點坐標是()A.B.C.D.考點題點答案C解析聯(lián)立消去y，得3x24x20，設直線與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，故AB的中點橫坐標x0.縱坐標y0x011.3已知橢圓的方程是x22y240，則以M(1,1)為中點的弦所在直線的方程是()Ax2y30B2xy30Cx2y30D2xy30考點直線與橢圓的位置關系題點求橢圓中的直線方程答案A解析由題意易知所求直線的斜率存在，設過點M(1,1)的直線方程為yk(x1)1，即ykx1k.由消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以1，解得k，所以所求直線方程為yx，即x2y30.4過橢圓1的右焦點F作與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點，以AB為直徑的圓的面積是_考點題點答案解析由題意可知，在1中，c，故F(，0)當x時，y3，所以|AB|，所以以AB為直徑的圓的面積是2.5求過點(3,0)且斜率為的直線被橢圓1所截得的線段的長度考點題點解過點(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)，設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程代入橢圓方程得1，即x23x80.x1x23，x1x28.|AB|.解決直線與橢圓的位置關系問題，經(jīng)常利用設而不求的方法，解題步驟為：(1)設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程；(3)消元得到關于x或y的一元二次方程；(4)利用根與系數(shù)的關系設而不求；(5)把題干中的條件轉化為x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，進而求解一、選擇題1斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A2B.C.D.答案C解析設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，當t0時，|AB|max.2已知F是橢圓1的一個焦點，AB為過橢圓中心的一條弦，則ABF面積的最大值為()A6B15C20D12考點題點答案D解析S|OF|y1y2|OF|2b12.3已知F1為橢圓C：y21的左焦點，直線l：yx1與橢圓C交于A，B兩點，那么|F1A|F1B|的值為()A.B.C.D.考點題點答案C解析由聯(lián)立得3x24x0，可知A(0，1)，B，又F1(1,0)，|F1A|F1B|.4橢圓mx2ny21與直線y1x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點所在直線的斜率為，則的值是()A.B.C.D.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時弦中點問題答案A解析聯(lián)立方程組可得即(mn)x22nxn10，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點P(x0，y0)，則x0，y01x01，所以kOP.5已知直線yx1與橢圓1(a>b>0)相交于A，B兩點，若橢圓的離心率為，焦距為2，則線段AB的長是()A.B2C.D.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交求弦長與三角形面積答案D解析由題意得橢圓方程為y21，聯(lián)立化簡得3x24x0，得x0或x，代入直線方程得或不妨設A(0,1)，B，所以|AB|.6經(jīng)過橢圓y21的一個焦點作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點設O為坐標原點，則等于()A3BC或3D考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交的其他問題答案B解析由y21，得a22，b21，c2a2b21，焦點為(1,0)不妨設直線l過右焦點，傾斜角為45，直線l的方程為yx1.代入y21得x22(x1)220，即3x24x0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x20，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，所以x1x2y1y20.7設斜率為的直線l與橢圓1(a>b>0)交于不同的兩點，且這兩個交點在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點題點答案C解析兩個交點橫坐標是c，c，所以兩個交點分別為，代入橢圓方程得1，兩邊乘以2a2b2，則c2(2b2a2)2a2b2，b2a2c2，c2(3a22c2)2a42a2c2，2a45a2c22c40，(2a2c2)(a22c2)0，2或，0<e<1，e.二、填空題8過橢圓1的右焦點F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為_考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交求弦長與三角形面積答案解析由已知可得直線方程為y2x2，|OF|1，聯(lián)立方程得解得A(0，2)，B，所以SAOB|OF|yAyB|.9已知橢圓1(0<b<2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，若|BF2|AF2|的最大值為5，則b的值是_答案解析由題意知a2，所以|BF2|AF2|AB|4a8，因為|BF2|AF2|的最大值為5，所以AB的最小值為3，當且僅當ABx軸時，取得最小值，此時A，B，代入橢圓方程得1，又c2a2b24b2，所以1，即11，所以，解得b23，所以b.10已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點是M(4,1)，則橢圓的離心率是_考點題點答案解析設直線xy50與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x28，y1y22，直線AB的斜率k1.由兩式相減得0，1，故橢圓的離心率e.11已知P(1,1)為橢圓1內(nèi)一定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點平分，則此弦所在的直線方程為_答案x2y30解析方法一易知此弦所在直線的斜率存在，所以設其方程為y1k(x1)，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直線方程為y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為k，弦所在的直線與橢圓相交于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直線方程為y1(x1)，即x2y30.三、解答題12已知橢圓1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，經(jīng)過點F1的一條直線與橢圓交于A，B兩點(1)求ABF2的周長；(2)若直線AB的傾斜角為，求弦長|AB|.考點題點解(1)橢圓1，a2，b，c1，由橢圓的定義，得|AF1|AF2|2a4，|BF1|BF2|2a4，又|AF1|BF1|AB|，ABF2的周長為|AB|AF2|BF2|4a8.(2)由(1)可得F1(1,0)，AB的傾斜角為，則AB的斜率為1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直線AB的方程為yx1，由整理得7y26y90，由根與系數(shù)的關系得y1y2，y1y2，則由弦長公式|AB|.13橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點，C是線段AB的中點，O為坐標原點，若|AB|2，直線OC的斜率為，求橢圓的方程考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時弦中點問題解易知a>0，b>0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由題意得axby1，axby1，得a(x1x2)(x2x1)b(y2y1)(y2y1)0.kAB1，kOC，ba.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.由得(ab)x22bxb10，x1x2，x1x2，|x2x1|2(x1x2)24x1x2244，將ba代入上式，得a，b，所求橢圓的方程為y21.14已知動點P(x，y)在橢圓1上，若點A的坐標為(3,0)，|1，且0，則|的最小值是_考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交的其他問題答案解析由|1，A(3,0)，知點M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運動，0且P在橢圓上運動，PMAM，即PM為A的切線，連接PA(如圖)，則|，當|minac532時，|min.15已知點P是圓O：x2y21上任意一點，過點P作PQy軸于點Q，延長QP到點M，使.(1)求點M的軌跡E的方程；(2)過點C(m,0)作圓O的切線l，交(1)中的曲線E于A，B兩點，求AOB面積的最大值解(1)設M(x，y)，P為QM的中點，又有PQy軸，P，點P是圓O：x2y21上的點，2y21，即點M的軌跡E的方程為y21.(2)由題意可知直線l與y軸不垂直，故可設l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)，l與圓O：x2y21相切，1，即m2t21，由消去x，并整理得(t24)y22mtym240，其中4m2t24(t24)(m24)48>0，y1y2，y1y2.|AB|，將代入上式得|AB|，|m|1，SAOB|AB|11，當且僅當|m|，即m時，等號成立，AOB面積的最大值為1.