2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第2講 立體幾何中的向量方法（理）學(xué)案.docx

第2講立體幾何中的向量方法考向預(yù)測(cè)以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn)，常與空間線面關(guān)系的證明相結(jié)合，熱點(diǎn)為二面角的求解，均以解答題的形式進(jìn)行考查知識(shí)與技巧的梳理1直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，則(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c302直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)線線夾角設(shè)l，m的夾角為，則cos (2)線面夾角設(shè)直線l與平面的夾角為，則(3)面面夾角設(shè)平面，的夾角為，則熱點(diǎn)一利用空間向量證明平行、垂直關(guān)系【例1】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)證明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD證明依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1，1，1)(1)向量(0，1，1)，(2，0，0)，故0所以BEDC(2)因?yàn)锳BAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，所以向量(1，0，0)為平面PAD的一個(gè)法向量，而(0，1，1)(1，0，0)0，所以BEAB，又BE平面PAD，所以BE平面PAD(3)由(2)知平面PAD的法向量(1，0，0)，向量(0，2，2)，(2，0，0)，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則即不妨令y1，可得n(0，1，1)為平面PCD的一個(gè)法向量且n(0，1，1)(1，0，0)0，所以n所以平面PAD平面PCD探究提高1利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系2向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何定理的條件，如在(2)中忽略BE平面PAD而致誤【訓(xùn)練1】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB11，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)求證：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD證明(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4)設(shè)BAa，則A(a，0，0)，所以(a，0，0)，(0，2，2)，(0，2，2)0，0440，則B1DBA，B1DBD又BABDB，BA，BD平面ABD，因此B1D平面ABD(2)由(1)知，E(0，0，3)，G，F(xiàn)(0，1，4)，則，(0，1，1)，0220，0220，即B1DEG，B1DEF又EGEFE，EG，EF平面EGF，因此B1D平面EGF結(jié)合(1)可知平面EGF平面ABD熱點(diǎn)二利用空間向量計(jì)算空間角【例2】(2019成都月考)）在直三棱柱（側(cè)棱垂直底面）中，（）若異面直線與所成的角為，求棱柱的高；（）設(shè)是的中點(diǎn)，與平面所成的角為，當(dāng)棱柱的高變化時(shí)，求的最大值解：建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，.（）因?yàn)楫惷嬷本€與所成的角，所以，即，得，解得.（）由是的中點(diǎn)，得，于是.設(shè)平面的法向量為，于是由，可得即，可取，于是.而，令，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，故當(dāng)時(shí)，的最大值.探究提高1異面直線所成的角，可以通過兩直線的方向向量的夾角求得，即cos|cos|2直線與平面所成的角主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin |cos |，有時(shí)也可分別求出斜線與它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)3二面角的大小可以利用分別在兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)或通過二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角【訓(xùn)練2】(2017長(zhǎng)郡中學(xué)二模)如圖所示，該幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADEBCF和一個(gè)正四棱錐PABCD組合而成，ADAF，AEAD2(1)證明：平面PAD平面ABFE；(2)求正四棱錐PABCD的高h(yuǎn)，使得二面角CAFP的余弦值是(1)證明由于幾何體是由一個(gè)直三棱柱ADEBCF和一個(gè)正四棱錐PABCD的組合體ADAB，又ADAF，AFABA，AD平面ABEF又AD平面PAD，平面PAD平面ABFE(2)解以A為原點(diǎn)，AB，AE，AD的正方向?yàn)閤，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz設(shè)正四棱錐的高為h，AEAD2，則A(0，0，0)，F(xiàn)(2，2，0)，C(2，0，2)，P(1，h，1)，設(shè)平面ACF的一個(gè)法向量m(x，y，z)，(2，2，0)，(2，0，2)，則取x1，得m(1，1，1)，設(shè)平面AFP的一個(gè)法向量n(a，b，c)，(1，h，1)，則取b1，則n(1，1，1h)，二面角CAFP的余弦值，|cosm，n|，解得h1當(dāng)四棱錐的高為1時(shí)，二面角CAFP的余弦值為1(2017全國(guó)卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()ABCD2(2017全國(guó)卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值3(2018全國(guó)I卷)如圖，四邊形為正方形，分別為，的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值1(2016全國(guó)卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()ABCD2(2017合肥二模)如圖所示的多面體是由一個(gè)直平行六面體被平面AEFG所截后得到的，其中BAEGAD45，AB2AD2，BAD60(1)求證：BD平面ADG；(2)求直線GB與平面AEFG所成角的正弦值3(2018全國(guó)II卷)如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值1(2017衡陽聯(lián)考)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，A1C1B1D1E，直線AC與直線DE所成的角為，直線DE與平面BCC1B1所成的角為，則cos()_2如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCC12，AC2，M是AC的中點(diǎn)，則異面直線CB1與C1M所成角的余弦值為_3(2017西安質(zhì)檢)如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求二面角CBED的余弦值的大小4(2018全國(guó)III卷)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值參考答案1【解題思路】異面直線所成的角，可以通過兩直線的方向向量的夾角求得【答案】法一以B為原點(diǎn)，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系圖(1)圖(2)則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1)又在ABC中，ABC120，AB2，則A(1，0)所以(1，1)，(1，0，1)，則cos，因此，異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為故選C法二如圖(2)，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1中點(diǎn)，則PNBC1，MNAB1，AB1與BC1所成的角是MNP或其補(bǔ)角AB2，BCCC11，MNAB1，NPBC1取BC的中點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，則可知PQM為直角三角形，且PQ1，MQAC，在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，AC，則MQ，則MQP中，MP，則PMN中，cosPNM，又異面直線所成角范圍為，則余弦值為故選C2【解題思路】(1)平面PAB平面PADAB平面PAD，(2)利用面面垂直建系，二面角的大小通過二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角【答案】(1)證明BAPCDP90，PAAB，PDCD，又ABCD，PDAB，又PDPAP，PD，PA平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD(2)解在平面PAD內(nèi)作POAD，垂足為點(diǎn)O由(1)可知，AB平面PAD，故ABPO，可得PO平面ABCD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)PA2，D(，0，0)，B(，2，0)，P(0，0，)，C(，2，0)，(，0，)，(，2，)，(2，0，0)，設(shè)n(x，y，z)為平面PBC的一個(gè)法向量，由得令y1，則z，x0，可得平面PBC的一個(gè)法向量n(0，1，)，APD90，PDPA，又知AB平面PAD，PD平面PAD，PDAB，又PAABA，PA，AB平面PAB，PD平面PAB，即是平面PAB的一個(gè)法向量，(，0，)，cos，n，由圖知二面角APBC為鈍角，所以它的余弦值為3【解題思路】(1)首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，即BFPF，BFEF，又因?yàn)?，利用線面垂直的判定定理可以得出BF平面PEF，又平面ABFD，利用面面垂直的判定定理證得平面PEF平面ABFD.(2)結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面ABFD的法向量，設(shè)DP與平面ABFD所成角為，利用線面角的定義，可以求得，得到結(jié)果.【答案】（1）由已知可得，BFPF，BFEF，又，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足為H.由（1）得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=，又PF=1，EF=2，故PEPF，可得，則，為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則.，所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為1【解題思路】利用平行關(guān)系轉(zhuǎn)化【答案】如圖所示，設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1，因?yàn)槠矫鍯B1D1，所以m1m，又因?yàn)槠矫鍭BCD平面A1B1C1D1，結(jié)合平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m1，故B1D1m同理可得：CD1n故m，n所成角即直線B1D1與CD1所成角，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為故選A2【解題思路】(1)勾股定理可證垂直，(2)直線與平面所成的角主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin |cos|【答案】(1)證明在BAD中，AB2AD2，BAD60由余弦定理，得BD2AD2AB22ABADcos 60，BD，AB2AD2DB2ADDB，在直平行六面體中，GD平面ABCD，DB平面ABCD，GDDB，又ADGDD，AD，GD平面ADG，BD平面ADG(2)解如圖以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，BAEGAD45，AB2AD2，A(1，0，0)，B(0，0)，E(0，2)，G(0，0，1)，(1，2)，(1，0，1)，(0，1)設(shè)平面AEFG的一個(gè)法向量n(x，y，z)，令x1，得y，z1，n，設(shè)直線GB和平面AEFG的夾角為，sin |cos，n|，所以直線GB與平面AEFG所成角的正弦值為3【解題思路】（1）連接，欲證平面，只需證明，即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.【答案】（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP=連結(jié)OB因?yàn)锳B=BC=，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OB=2由OP2+OB2=PB2知，OPOB由OPOB，OPAC知PO平面ABC（2）作CHOM，垂足為H又由（1）可得OPCH，所以CH平面POM故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離由題設(shè)可知OC=2，CM=，所以O(shè)M=，CH=所以點(diǎn)C到平面POM的距離為1【解題思路】此題可建系用向量法做，亦可利用線線角、線面角的定義求其夾角【答案】AC平面BB1D1DACDE，取A1D1的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)D，易知EF平面ADD1A1，則EDF，cos()cossinEDF故填2【解題思路】異面直線所成的角，可以通過兩直線的方向向量的夾角求得，即cos|cos|【答案】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCC12，AC2，M是AC的中點(diǎn)，所以BMAC，BM1以M為原點(diǎn)，MA為x軸，MB為y軸，過M作AC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(，0，0)，B1(0，1，2)，C1(，0，2)，M(0，0，0)(，1，2)，(，0，2)設(shè)異面直線CB1與C1M所成角為，則cos 所以異面直線CB1與C1M所成角的余弦值為故填3【解題思路】(1)建系注意底面的垂直關(guān)系，(2)二面角轉(zhuǎn)化為法向量的夾角問題【答案】解設(shè)ADDE2AB2a，以AC，AB所在的直線分別作為x軸、z軸，以過點(diǎn)A在平面ACD內(nèi)和AC垂直的直線作為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)(1)證明，(a，a，a)，(2a，0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE(2)設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量m(x，y，z)，則即不妨令x1可得m(1，2)設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則即令x可得n(，1，0)于是，cosm，n故二面角CBED的余弦值為4【解題思路】（1）先證平面CMD,得,再證，進(jìn)而完成證明。（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求得平面與平面所成二面角的正弦值【答案】（1）由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得，設(shè)是平面MAB的法向量，則，即，可取，是平面MCD的法向量,因此，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是