2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.2.1“且”與“或”學(xué)案（含解析）新人教B版選修1 -1.docx

12.1“且”與“或”學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解聯(lián)結(jié)詞“且”“或”的含義.2.會用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”聯(lián)結(jié)或改寫某些數(shù)學(xué)命題，并判斷新命題的真假.3.掌握根據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍的方法知識點一“且”1定義：用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作pq，讀作“p且q”當(dāng)p，q都是真命題時，pq是真命題；當(dāng)p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題將命題p和命題q以及pq的真假情況繪制為命題“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假假假真假假假假命題“pq”的真值表可簡單歸納為“同真則真”，“有假則假”2“且”是具有“兼有性”的邏輯聯(lián)結(jié)詞，對“且”的理解，可聯(lián)系集合中“交集”的概念，ABx|xA且xB中的“且”是指“xA”與“xB”這兩個條件都要同時滿足3.我們也可以用串聯(lián)電路來理解聯(lián)結(jié)詞“且”的含義，如圖所示，若開關(guān)p，q的閉合與斷開分別對應(yīng)命題p，q的真與假，則整個電路的接通與斷開對應(yīng)命題pq的真與假知識點二“或”1定義：一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題，記作pq，讀作“p或q”當(dāng)p，q兩個命題有一個命題是真命題時，pq是真命題；當(dāng)p，q兩個命題都是假命題時，pq是假命題將命題p和命題q以及pq的真假情況繪制為命題“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假真假真真假假假命題“pq”的真值表可簡單歸納為“假假才假”2對“或”的理解：我們可聯(lián)系集合中“并集”的概念A(yù)Bx|xA或xB中的“或”，它是指“xA”，“xB”中至少有一個是成立的，即可以是xA且xB，也可以是xA且xB，也可以是xA且xB.3.我們可以用并聯(lián)電路來理解聯(lián)結(jié)詞“或”的含義，如圖所示，若開關(guān)p，q的閉合與斷開對應(yīng)命題p，q的真與假，則整個電路的接通與斷開分別對應(yīng)命題pq的真與假1邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”只能出現(xiàn)在命題的結(jié)論中()2命題“pq”是真命題，p，q至少有一個是真命題()3梯形的對角線相等且平分是“pq”形式的命題()題型一含有“且”“或”命題的構(gòu)成命題角度1命題形式的區(qū)分例1指出下列命題的形式及構(gòu)成它的命題(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圓或有內(nèi)切圓；(3)22.解(1)是pq形式的命題其中p：向量有大小，q：向量有方向(2)是pq形式的命題其中p：矩形有外接圓，q：矩形有內(nèi)切圓(3)是pq形式的命題其中p：2>2，q：22.反思感悟不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單命題；由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”構(gòu)成的命題稱之為復(fù)合命題判斷一個命題是簡單命題還是復(fù)合命題，不能僅從字面上看它是否含有“或”“且”等邏輯聯(lián)結(jié)詞，而應(yīng)從命題的結(jié)構(gòu)來看是否用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個命題跟蹤訓(xùn)練1指出下列命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題：(1)24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；(2)菱形是圓的內(nèi)接四邊形或是圓的外切四邊形解(1)這個命題是“pq”的形式，其中p：24是8的倍數(shù)，q：24是6的倍數(shù)(2)這個命題是“pq”的形式，其中p：菱形是圓的內(nèi)接四邊形，q：菱形是圓的外切四邊形命題角度2用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)造新命題例2分別寫出下列命題的“p且q”“p或q”形式的命題(1)p：梯形有一組對邊平行，q：梯形有一組對邊相等；(2)p：1是方程x24x30的解，q：3是方程x24x30的解解(1)p或q：梯形有一組對邊平行或梯形有一組對邊相等p且q：梯形有一組對邊平行且梯形有一組對邊相等(2)p或q：1或3是方程x24x30的解p且q：1與3是方程x24x30的解反思感悟用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”聯(lián)結(jié)p，q構(gòu)成新命題時，在不引起歧義的前提下，可以把p，q中的條件或結(jié)論合并跟蹤訓(xùn)練2分別寫出由下列命題構(gòu)成的“pq”“pq”的形式(1)p：函數(shù)y3x2是偶函數(shù)，q：函數(shù)y3x2是增函數(shù)；(2)p：是無理數(shù)，q：是實數(shù)；(3)p：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，q：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角解(1)pq：函數(shù)y3x2是偶函數(shù)且是增函數(shù)；pq：函數(shù)y3x2是偶函數(shù)或是增函數(shù)(2)pq：是無理數(shù)且是實數(shù)；pq：是無理數(shù)或是實數(shù)(3)pq：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和且大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角；pq：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和或大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角題型二“pq”和“pq”形式命題的真假判斷例3分別指出“pq”“pq”的真假(1)p：函數(shù)ysinx是奇函數(shù)；q：函數(shù)ysinx在R上單調(diào)遞增；(2)p：直線x1與圓x2y21相切；q：直線x與圓x2y21相交；(3)p：不等式x22x1>0的解集為R；q：不等式x22x21的解集為.解(1)p真，q假，“pq”為真，“pq”為假(2)p真，q真，“pq”為真，“pq”為真(3)p假，q假，“pq”為假，“pq”為假反思感悟判斷pq與pq形式命題的真假的步驟(1)首先判斷命題p與q的真假(2)對于pq，“一假則假，全真則真”，對于pq，只要有一個為真，則pq為真，全假為假跟蹤訓(xùn)練3分別指出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”形式的命題的真假(1)p：0，q：0；(2)p：是無理數(shù)，q：不是無理數(shù)；(3)p：集合AA，q：AAA；(4)p：函數(shù)yx23x4的圖象與x軸有公共點，q：方程x23x40沒有實數(shù)根解(1)p真，q假，“p或q”為真，“p且q”為假(2)p真，q假，“p或q”為真，“p且q”為假(3)p真，q真，“p或q”為真，“p且q”為真(4)p假，q假，“p或q”為假，“p且q”為假由復(fù)合命題的真假求參數(shù)的范圍典例已知p：方程x2mx10有兩個不等的負(fù)實數(shù)根；q：方程4x24(m2)x10無實數(shù)根，若“pq”是真命題，“pq”是假命題，求實數(shù)m的取值范圍考點“或”“且”的綜合問題題點由復(fù)合命題的真假求參數(shù)的范圍解p：方程x2mx10有兩個不等的負(fù)實數(shù)根m>2.q：方程4x24(m2)x10無實數(shù)根16(m2)216<01<m<3.因為“pq”是真命題，“pq”是假命題，所以p為真且q為假，或p為假且q為真(1)當(dāng)p為真且q為假時，由解得m3；(2)當(dāng)p為假且q為真時，由解得1<m2.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是(1,23，)素養(yǎng)評析(1)解決邏輯聯(lián)結(jié)詞的應(yīng)用問題，一般是先假設(shè)p，q分別為真，化簡其中的參數(shù)的取值范圍，然后當(dāng)它們?yōu)榧贂r取其補集，最后確定參數(shù)的取值范圍(2)理解運算對象，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，有利于形成程序化思維，能促進數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)程序化思考問題的品質(zhì).1命題“方程x21的解是x1”中，使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是()A沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞B使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”C使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”D使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”答案B2命題“xy0”是指()Ax0且y0Bx0或y0Cx，y至少有一個不為0D不都是0答案A解析滿足xy0，即x，y兩個都不為0，故選A.3已知p：0，q：11,2在命題“p”，“q”，“pq”，和“pq”中，真命題有()A1個B2個C3個D0個答案B解析容易判斷命題p：0是真命題，命題q：11,2是假命題，所以pq是假命題，pq是真命題，故選B.4“pq是真命題”則下列結(jié)論錯誤的是()Ap是真命題Bq是真命題Cpq是真命題Dpq是假命題答案D解析pq是真命題p是真命題且q是真命題pq是真命題，故選D.5已知命題p：函數(shù)f(x)(2a1)xb在R上是減函數(shù)；命題q：函數(shù)g(x)x2ax在1,2上是增函數(shù)，若pq為真，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析命題p：由函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)得2a1<0，解得a<，命題q：由函數(shù)g(x)x2ax在1,2上是增函數(shù)，得1，解得a2.由pq為真得p，q都為真，故a的取值范圍為，即為.1判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題構(gòu)成形式的關(guān)鍵是：弄清構(gòu)成它的命題的條件、結(jié)論2對用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)的復(fù)合命題的真假進行判斷時，首先找出構(gòu)成復(fù)合命題的簡單命題，判斷簡單命題的真假，然后分析構(gòu)成形式，根據(jù)構(gòu)成形式判斷復(fù)合命題的真假(1)“pq”形式的命題簡記為：同真則真，一假則假；(2)“pq”形式的命題簡記為：同假則假，一真則真一、選擇題1已知命題p，q，若p為真命題，則()Apq必為真Bpq必為假Cpq必為真Dpq必為假答案C解析pq，見真則真，故必有pq為真2給出下列命題：2>1或1>3；方程x22x40的判別式大于或等于0；25是6或5的倍數(shù)；集合AB是A的子集，且是AB的子集其中真命題的個數(shù)為()A1B2C3D4答案D解析由于2>1是真命題，所以“2>1或1>3”是真命題；由于方程x22x40的判別式大于0，所以“方程x22x40的判別式大于或等于0”是真命題；由于25是5的倍數(shù)，所以命題“25是6或5的倍數(shù)”是真命題；由于A，所以命題“集合AB是A的子集，且是AB的子集”是真命題3命題pq是假命題，命題pq是真命題，則下列判斷正確的是()A命題p真q假B命題p假q真C命題p與q真假相同D命題p與q真假不同答案D解析由命題pq是假命題，命題pq是真命題，得命題p，q一真一假故選D.4命題p：點P在直線y2x3上；q：點P在曲線yx2上，則使“p且q”為真命題的一個點P(x，y)是()A(0，3) B(1,2)C(1，1) D(1,1)答案C解析點(x，y)滿足解得P(1，1)或P(3，9)，故選C.5設(shè)命題p：函數(shù)ysin2x的最小正周期為；命題q：函數(shù)ycosx的圖象關(guān)于直線x對稱，則下列判斷正確的是()Ap為真Bq為真Cpq為假Dpq為真答案C解析函數(shù)ysin2x的最小正周期為，故命題p為假命題；x不是ycosx的對稱軸，故命題q為假命題，故pq為假故選C.6給出命題p：33；q：函數(shù)f(x)在R上的值域為1,1在下列命題：“p”“q”“pq”“pq”中，真命題的個數(shù)為()A0B1C2D3答案C7p：方程x22xa0有實數(shù)根，q：函數(shù)f(x)(a2a)x是增函數(shù)，若“pq”為假命題，“pq”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa>0Ba0Ca>1Da1答案B解析方程x22xa0有實數(shù)根，44a0，解得a1.函數(shù)f(x)(a2a)x是增函數(shù)，a2a>0，解得a<0或a>1.pq為假命題，pq為真命題，p，q中一真一假當(dāng)p真q假時，得0a1；當(dāng)p假q真時，得a>1.由得所求a的取值范圍是a0.二、填空題8分別用“pq”“pq”填空：(1)命題“集合AB”是_的形式；(2)命題“2”是_的形式；(3)命題“60是10與12的公倍數(shù)”是_的形式答案(1)pq(2)pq(3)pq9已知p：x22x3<0；q：<0，若p且q為真，則x的取值范圍是_答案(1,2)解析當(dāng)p為真命題時，x22x3<0，則1<x<3；當(dāng)q為真命題時，x2<0，則x<2.當(dāng)p且q為真命題時，p和q均為真命題，從而x的取值范圍是1<x<2.10已知命題p：不等式>的解集為x|0<x<1命題q：“ab”是“a2b2”成立的必要不充分條件，則下列結(jié)論正確的是_(填序號)“pq”為真；“pq”為假；“pq”為真；“pq”為假答案解析由>，得<00<x<1，故p為真命題，由a2b2不一定有ab，故q為假命題pq為假，pq為真11設(shè)p：關(guān)于x的不等式ax>1(a>0且aD/1)的解集是x|x<0，q：函數(shù)ylg(ax2xa)的定義域為R，如果p且q為假，p或q為真，則a的取值范圍為_答案解析若p真，則0<a<1，若p假，則a>1.若q真，有解得a>.若q假，則a，又由題意知，p和q有且僅有一個為真，當(dāng)p真q假時，0<a，當(dāng)p假q真時，a>1，綜上所述，a(1，)三、解答題12判斷下列復(fù)合命題的真假(1)等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊；(2)不等式x22x1>0的解集為R且不等式x22x21的解集為.解(1)這個命題是“p且q”形式的復(fù)合命題，其中p：等腰三角形頂角的平分線平分底邊，q：等腰三角形頂角的平分線垂直于底邊，因為p真q真，則“p且q”為真，所以該命題是真命題(2)這個命題是“p且q”形式的復(fù)合命題，其中p：不等式x22x1>0的解集為R，q：不等式x22x21的解集為.因為p假q假，所以“p且q”為假，故該命題為假命題13已知p：函數(shù)yx2mx1在(1，)上單調(diào)遞增，q：函數(shù)y4x24(m2)x1大于零恒成立若p或q為真，p且q為假，求m的取值范圍解若函數(shù)yx2mx1在(1，)上單調(diào)遞增，則1，m2，即p：m2；若函數(shù)y4x24(m2)x1恒大于零，則16(m2)216<0，解得1<m<3，即q：1<m<3.因為p或q為真，p且q為假，所以p，q一真一假，當(dāng)p真q假時，由，得m3，當(dāng)p假q真時，由，得1<m<2.綜上，m的取值范圍是m|m3或1<m<214設(shè)命題p：函數(shù)f(x)lg的定義域為R，命題q：關(guān)于x的不等式3x9xa對一切正實數(shù)都成立若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_答案0,1解析由題意，得對命題p：ax2x0在R上恒成立，當(dāng)a0時，不符合，故得a1.對命題q：令3xt(t1)，則3x9x20，故a0.由p或q為真，p且q為假，得p，q一真一假，當(dāng)p真q假時，無解；當(dāng)p假q真時，得0a1.15已知命題p：方程a2x2ax20在1,1上有解；命題q：只有一個實數(shù)x滿足不等式x22ax2a0，若命題“pq”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍解由a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0.顯然a0，x或x.若命題p為真，x1,1，故1或1，|a|1.若命題q為真，即只有一個實數(shù)x滿足x22ax2a0，即拋物線yx22ax2a與x軸只有一個交點，4a28a0，a0與a2.命題“pq”為假命題，q，p同時為假命題a的取值范圍是a|1a0或0a1