2020版高中數(shù)學 第三章 不等式 3.1.2 不等式的性質學案（含解析）新人教B版必修5.docx

3.1.2不等式的性質學習目標1.理解并掌握不等式的性質2.能夠利用不等式的性質進行數(shù)或式的大小比較3.會證明一些簡單的不等式知識點一不等式的基本性質思考試用作差法證明a>b，b>ca>c.答案a>b，b>cab>0，bc>0abbc>0ac>0a>c.總結不等式性質：名稱式子表達性質1(對稱性)abba性質2(傳遞性)ab，bcac性質3abacbc推論1abcacbab，cdacbd推論2性質4ab，c0acbcab，c0acbc推論1ab0，cd0acbdab0anbn(nN，n1)ab0(nN，n1)推論2推論3知識點二不等式性質的注意事項思考1在性質4的推論1中，若把a，b，c，d為正數(shù)的條件去掉，即ab，cd，能推出acbd嗎？若不能，試舉出反例答案不能，例如12，23，但122(2)(3)思考2在性質3的推論2中，能把“”改為“”嗎？為什么？答案不能，因為由acbd，不能推出ab，cd，例如110023，但顯然12.總結(1)注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要想當然隨意捏造性質(2)注意不等式性質的單向性或雙向性，即每條性質是否具有可逆性，只有abba，abacbc，abacbc(c0)是可以逆推的，其余幾條性質不可逆推1若a>b，則ac>bc一定成立()2若ac>bd，則a>b且c>d()3若a>b且d<c，則ac>bd()4若a>b且c>d，則ac>bd()題型一不等式性質的證明例1若ab，c0，求證：acbc.證明acbc(ab)c.ab，ab0.又c0，(ab)c0，即acbc0，acbc.反思感悟對任意兩個實數(shù)a，b有ab0ab；ab0ab；ab0ab這是比較兩個實數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎數(shù)學是個講究邏輯的學科，不能以理解代替證明跟蹤訓練1(1)若ac2bc2，求證：ab；(2)由ab能推出ac2bc2嗎？解(1)ac2bc2，ac2bc20，即(ab)c20若c20，則ac2bc2與條件矛盾c20，ab0，即ab(2)不能當c0時，ac2bc2題型二不等式性質的應用命題角度1利用不等式的性質判斷命題真假例2判斷下列命題的真假：(1)若a>b，則ac<bc；(2)若a<b<0，則a2>ab>b2；(3)若a<b<0，則>.解(1)由于c的正、負或是否為零未知，因而判斷ac與bc的大小缺乏依據(jù)故該命題為假命題(2)由a2>ab；由ab>b2所以a2>ab>b2，故該命題為真命題(3)由a<b<0a>b>0a2>b2>，即>，故該命題為假命題反思感悟要判斷命題是真命題，應說明理由或進行證明，推理過程應緊扣有關定理、性質等，應熟練掌握不等式的性質及其推論的條件和結論，若判斷命題是假命題只需舉一反例即可跟蹤訓練2下列命題中正確的個數(shù)是()若a>b，b0，則>1；若a>b，且ac>bd，則c>d；若a>b，且ac>bd，則c>dA0B1C2D3答案A解析若a2，b1，則不符合題意；取a10，b2，c1，d3，雖然滿足a>b且ac>bd，但不滿足c>d，故錯；當a2，b3時，取c1，d2，則cd不成立命題角度2利用不等式性質證明簡單不等式例3已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：>.證明c<d<0，c>d>0，a>b>0，ac>bd>0，0<<又e<0，>反思感悟利用不等式性質證明簡單的不等式的實質就是根據(jù)性質把不等式進行變形，要注意不等式性質成立的條件，如果不能直接由不等式性質得到，可先分析需要證明的不等式的結構，利用不等式性質進行轉化跟蹤訓練3若a>b>0，c<d<0，求證：<證明c<d<0，c>d>0又a>b>0，ac>bd>0，ac<bd又c<0，d<0，cd>0<，即<命題角度3應用不等式性質求取值范圍例4已知6<a<8,2<b<3，分別求2ab，ab，的取值范圍解6<a<8,2<b<3，12<2a<16，10<2ab<19又3<b<2，9<ab<6又<<，當0a<8時，0<4；當6<a<0時，3<<03<<4反思感悟解決此類問題，要注意題設中的條件，充分利用已知求解，否則易出錯同時在變換過程中要準確使用不等式的性質，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的情況，同時，要特別注意同向不等式相乘的條件是同為正跟蹤訓練4已知<，求，的取值范圍解<，<，<上面兩式相加得<<<，<，<又知<，<0，故<0用好不等式性質，確保推理嚴謹性典例已知12a60,15b36，求的取值范圍解15b36，又12a60，4，即的取值范圍是素養(yǎng)評析邏輯推理講究言必有據(jù)在不等式這一章，我們要對不等式進行大量的運算、變形，而運算、變形的依據(jù)就是不等式的性質通過考問每一步是否有依據(jù)，整個推理過程是否有條理，可以使我們的理性精神和交流能力得到提升1如果a0，b0，那么，下列不等式中正確的個數(shù)是()；a2b2；|a|b|.A0B1C2D3答案B解析正確，可舉反例排除，如對，設a9，b1，對，設a1，b2即可2已知a>b，不等式：a2>b2；<；>成立的個數(shù)是()A0B1C2D3答案A解析由題意可令a1，b1，此時不對，不對，ab2，此時有<，故不對故選A3已知a，b，c，dR且ab>0，>，則()Abc<adBbc>adC>D<答案A解析ab>0，在>兩側乘ab不變號，即bc>ad，即bc<ad4若，那么2的取值范圍是_答案解析，2(0，)，<2<1不等式的性質有很多是不可逆的，特別對同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相減，而且性質不可逆只有同向且是正項的不等式才能相乘，且性質不可逆2不等式的性質是解(證)不等式的基礎，要依據(jù)不等式的性質進行推導，不能自己“制造”性質運算一、選擇題1設a>b>1，c<0，給出下列三個結論：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc)其中所有正確結論的序號是()ABCD答案D解析由不等式性質及a>b>1知<，又c<0，>，正確；構造函數(shù)yxc，c<0，yxc在(0，)上是減函數(shù)，又a>b>1，ac<bc，正確；a>b>1，c<0，ac>bc>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc)，正確2已知a<0，b<1，則下列不等式成立的是()Aa>>B>>aC>a>D>>a答案D解析取a2，b2，則1，>>a3若a，b，cR，a>b，則下列不等式成立的是()A<Ba2>b2C>Da|c|>b|c|答案C解析對于A，若a>0>b，則>0，<0，此時>，A不成立；對于B，若a1，b2，則a2<b2，B不成立；對于C，c211，且a>b，>恒成立，C成立；對于D，當c0時，a|c|b|c|，D不成立4若a>b>c且abc0，則下列不等式中正確的是()Aab>acBac>bcCa|b|>c|b|Da2>b2>c2答案A解析由a>b>c及abc0知a>0，c<0，ab>ac5若a<0，1<b<0，則()Aa<ab<ab2Bab2>a>abCab>b>ab2Dab>ab2>a答案D解析1<b<0，b<b2<1，又a<0，ab>ab2>a6如果1<a<b<0，則有()A<<b2<a2B<<a2<b2C<<b2<a2D<<a2<b2答案A解析1<a<b<0，ab>0，<即<<0，1>a2>b2>0，<<0<b2<a2<1二、填空題7已知a，b為非零實數(shù)，且a<b，則下列命題成立的是_(1)a2b<ab2；(2)<；(3)<答案(2)解析對于(1)，當a<0，b>0時，a2b>0，ab2<0，a2b<ab2不成立；對于(2)，a<b，>0，<，故成立；對于(3)，當a1，b1時，1，故不成立8如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式不一定成立的是_(1)ab>ac；(2)c(ba)>0；(3)cb2<ab2；(4)ac(ac)<0答案(3)解析c<b<a且ac<0，知a>0，c<0，而b的取值不確定，當b0時，(3)不成立9若1a3,1b2，則ab的范圍為_答案3,2解析1a3，2b1，3ab210已知a>b，e>f，c>0，則fac_ebc(填“>”“<”或“”)答案解析因為a>b，c>0，所以ac>bc，即ac<bc又e>f，即f<e，所以fac<ebc三、解答題11判斷下列各命題是否正確，并說明理由：(1)若<且c>0，則a>b；(2)若a>b，ab0，則<；(3)若a>b，c>d，則ac>bd解(1)<，但推不出a>b，故(1)錯(2)例如，當a1，b1時，不成立，故(2)錯(3)例如，當ac1，bd2時，不成立，故(3)錯12已知ab0，cd0，(1)求證：acbd(2)試比較與的大小(1)證明因為ab0，cd0，所以acbc，bcbd，所以acbd(2)解因為ab0，cd0，所以0，0，所以0，所以13已知函數(shù)f(x)ax2c，4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范圍解f(x)ax2c，f(3)9acf(2)f(1)，又4f(1)1，1f(2)5，f(1)，f(2)把的兩邊分別相加，得1f(2)f(1)20，即1f(3)20.所以f(3)的取值范圍是1,2014已知不等式：a<0<b；b<a<0；b<0<a；0<b<a；b<a且ab>0；a<b且ab<0其中能使<成立的是_答案解析因為<<0ba與ab異號，然后再逐個進行驗證，可知都能使<15已知：f(x)logax，a>1>b>c>0，證明：>證明a>b>c，ac>bc>0，0<<，又f(b)logab，f(c)logac，a>1，f(b)>f(c)，又1>b>c>0，f(b)<0，f(c)<0，f(b)>f(c)，0<f(b)<f(c)，bf(c)>cf(b)>0，>