2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx

一數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標1.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理.2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍.3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題知識點數(shù)學(xué)歸納法在學(xué)校，我們經(jīng)常會看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會倒下思考1試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？答案第一輛自行車倒下；任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下思考2由這種思想方法所得的數(shù)學(xué)方法叫數(shù)學(xué)歸納法，那么，數(shù)學(xué)歸納法適用于解決哪類問題？答案適合解決一些與正整數(shù)n有關(guān)的問題梳理數(shù)學(xué)歸納法的概念及步驟(1)數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：證明當nn0時命題成立；假設(shè)當nk(kN，且kn0)時命題成立，證明nk1時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明(3)數(shù)學(xué)歸納法的基本過程類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明1(nN)證明(1)當n1時，左邊，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當nk(k1)時，等式成立，即1.當nk1時，11，即當nk1時，等式也成立由(1)(2)可知，原等式對nN均成立反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點：一是要準確表述nn0時命題的形式，二是要準確把握由nk到nk1時，命題結(jié)構(gòu)的變化特點并且一定要記住：在證明nk1成立時，必須使用歸納假設(shè)跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明12232n2n(n1)(2n1)(nN)證明(1)當n1時，左邊121，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當nk(k1，kN)時，等式成立，即122232k2.當nk1時，122232k2(k1)2(k1)2.所以當nk1時等式也成立由(1)(2)可知，等式對任何nN都成立類型二證明與整除有關(guān)的問題例2求證：x2ny2n(nN)能被xy整除證明(1)當n1時，x2y2(xy)(xy)能被xy整除(2)假設(shè)nk(k1，kN)時，x2ky2k能被xy整除，那么當nk1時，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即當nk1時，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n，命題均成立反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這往往要利用“添項”與“減項”“因式分解”等變形技巧來湊出nk時的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得證跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)證明(1)當n1時，13233336能被9整除，所以結(jié)論成立(2)假設(shè)當nk(kN，k1)時結(jié)論成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除則當nk1時，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因為k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即當nk1時結(jié)論也成立由(1)(2)知，命題對一切nN成立類型三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題例3有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證這n個圓將平面分成f(n)n2n2個部分(nN)證明(1)當n1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)1122，所以n1時命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時命題成立，即k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分則當nk1時，在k1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點，這2k個點將圓O分成k段弧，每段弧將原平面一分為二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以當nk1時，命題成立綜合(1)(2)可知，對一切nN，命題成立反思與感悟(1)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵在于分析清楚nk與nk1時二者的差異，這時常常借助于圖形的直觀性，然后用數(shù)學(xué)式子予以描述，建立起f(k)與f(k1)之間的遞推關(guān)系，實在分析不出的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式，還要注意結(jié)論要有必要的文字說明跟蹤訓(xùn)練3平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點，求證：這n條直線把平面分割成(n2n2)個區(qū)域(nN)證明(1)當n1時，一條直線把平面分成兩個區(qū)域，又(1212)2，n1時命題成立(2)假設(shè)當nk(k1，kN)時，命題成立，即k條滿足題意的直線把平面分割成了(k2k2)個區(qū)域那么當nk1時，k1條直線中的k條直線把平面分成了(k2k2)個區(qū)域，第k1條直線被這k條直線分成k1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊，因此增加了k1個區(qū)域，k1條直線把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2個區(qū)域當nk1時命題也成立由(1)(2)知，對一切的nN，此命題均成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為()A1B2C3D4答案C解析邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n03.2用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(nN，a1)，在驗證n1成立時，左邊所得的項為()A1B1aa2C1aD1aa2a3答案B解析當n1時，n12，故左邊所得的項為1aa2.3用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除，當nk1時，34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_答案81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1)5634k1)解析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.4用數(shù)學(xué)歸納法證明13(2n1)n2(nN)證明(1)當n1時，左邊1，右邊1，等式成立(2)假設(shè)當nk(k1)時，等式成立，即13(2k1)k2，那么，當nk1時，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.所以當nk1時等式成立由(1)和(2)可知等式對任意正整數(shù)n都成立1應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時應(yīng)注意的問題(1)第一步中的驗證，對于有些問題驗證的并不是n1，有時需驗證n2，n3.(2)對nk1時式子的項數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障(3)“假設(shè)nk時命題成立，利用這一假設(shè)證明nk1時命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，對待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴謹、規(guī)范2判斷利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題是否正確(1)是要看有無歸納基礎(chǔ)(2)是證明當nk1時是否應(yīng)用了歸納假設(shè)3與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明其中關(guān)鍵問題是從當nk1時的表達式中分解出nk時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式，這樣才能得出結(jié)論成立一、選擇題1已知命題12222n12n1及其證明：(1)當n1時，左邊1，右邊2111，所以等式成立(2)假設(shè)當nk(k1，kN)時等式成立，即12222k12k1成立，則當nk1時，12222k12k2k11，所以nk1時等式也成立由(1)(2)知，對任意的正整數(shù)n等式都成立判斷以上評述()A命題、推理都正確B命題正確、推理不正確C命題不正確、推理正確D命題、推理都不正確答案B解析推理不正確，錯在證明當nk1時，沒有用到假設(shè)當nk時的結(jié)論，命題由等比數(shù)列求和公式知正確2在數(shù)列an中，a11，前n項和Sn1先算出數(shù)列的前4項的值，再根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項公式是()Aan1Bann1CanDan答案D解析a11，S21，a2S2S1，a3S3S2，a4S4S3，猜想：an.3用數(shù)學(xué)歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成()A假設(shè)n2k1(kN)時正確，再推n2k3時正確B假設(shè)n2k1(kN)時正確，再推n2k1時正確C假設(shè)nk(kN)時正確，再推nk1時正確D假設(shè)nk(kN)時正確，再推nk2時正確答案B解析n為正奇數(shù)，在證明時，歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)當n2k1(kN)時正確，再推出當n2k1時正確，故選B.4設(shè)f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A.B.C.D.答案D解析因為f(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).5如果123234345n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)對一切正整數(shù)n都成立，則a，b的值可以等于()Aa1，b3Ba1，b1Ca1，b2Da2，b3答案D解析令n1,2得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可6某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，若當nk(kN)時該命題成立，那么可推得當nk1時該命題也成立，現(xiàn)已知當n5時該命題不成立，那么可推得()A當n6時該命題不成立B當n6時該命題成立C當n4時該命題不成立D當n4時該命題成立答案C解析由已知得當nk時成立nk1時成立當nk1時不成立當nk時不成立由當n5時不成立知，當n4時不成立二、填空題7設(shè)f(n)1(nN)，則f(n1)f(n)_.答案解析因為f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).8觀察式子11,14(12)，149123，猜想第n個式子應(yīng)為_答案14916(1)n1n2(1)n19已知平面上有n(nN，n3)個點，其中任何三點都不共線，過這些點中任意兩點作直線，設(shè)這樣的直線共有f(n)條，則f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_.答案3610n解析當nk時，有f(k)條直線當nk1時，增加的第k1個點與原k個點共連成k條直線，即增加k條直線，所以f(k1)f(k)k.所以f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.10觀察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此規(guī)律，第n個等式可為_答案(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析由已知，得第n個等式左邊為(n1)(n2)(nn)，右邊為2n13(2n1)所以第n個等式為(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)三、解答題11用數(shù)學(xué)歸納法證明：當n為正整數(shù)時，f(n)32n28n9能被64整除證明(1)當n1時，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當nk(k1，kN)時，命題成立，即f(k)32k28k9能被64整除當nk1時，f(k1)32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)nk1時命題也成立綜合(1)(2)可知，對任意的nN，命題都成立12用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN)證明(1)當n1時，左邊1右邊，所以等式成立(2)假設(shè)當nk(k1，kN)時等式成立，即1，則當nk1時，1，所以當nk1時等式也成立由(1)(2)知，對任意nN等式都成立13請觀察以下三個式子：(1)13；(2)1324；(3)132435，歸納出一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論解結(jié)論：132435n(n2).證明：當n1時，左邊3，右邊3，所以命題成立假設(shè)當nk(k1，kN)時，命題成立，即132435k(k2)，當nk1時，1324k(k2)(k1)(k3)(k1)(k3)(2k27k6k18)(2k213k18)，所以當nk1時，命題成立由知，命題成立四、探究與拓展14用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時，由nk(kN，k1)的假設(shè)到證明nk1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是_答案(k1)2k2解析當nk時，左邊1222(k1)2k2(k1)22212.當nk1時，左邊1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以左邊添加的式子為(k1)2k2.15已知數(shù)列，計算數(shù)列和S1，S2，S3，S4，根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明解S1，S2，S3，S4.上面四個結(jié)果中，分子與項數(shù)n一致，分母可用項數(shù)n表示為3n1，于是可以猜想Sn.其證明如下：(1)當n1時，左邊S1，右邊，猜想成立(2)假設(shè)當nk(kN，k1)時猜想成立，即成立，則當nk1時，所以當nk1時，猜想成立由(1)(2)知，猜想對任意nN，Sn都成立