2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例（第2課時(shí)）角度問題及其他學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

第2課時(shí)角度問題及其他學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運(yùn)用正弦、余弦定理解決航海測量中的實(shí)際問題.2.了解解三角形在物理中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一實(shí)際應(yīng)用問題中的有關(guān)術(shù)語1方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角2方位角從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的最小正角3坡角坡面與水平面的夾角4坡比坡面的垂直高度與水平距離之比知識(shí)點(diǎn)二解三角形在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，某種角度上說，物理題實(shí)際上是數(shù)學(xué)應(yīng)用題，解物理題就是先把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，解決后再還原成實(shí)際問題的答案1方位角和方向角是一樣的()2南偏東30指正南為始邊，在水平面內(nèi)向東旋轉(zhuǎn)30.()3方位角可以是270.()題型一角度的測量問題例1如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？(角度精確到0.1，距離精確到0.01 n mile)解在ABC中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，AC113.15.根據(jù)正弦定理，sinCAB0.325 5，所以CAB19.0，75CAB56.0.所以此船應(yīng)該沿北偏東56.0的方向航行，需要航行113.15 n mile.反思感悟解決航海問題一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不動(dòng)點(diǎn)(三角形頂點(diǎn))，然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為解三角形問題跟蹤訓(xùn)練1甲船在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處，乙船以每小時(shí)a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時(shí)a海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？解如圖所示設(shè)經(jīng)過t小時(shí)兩船在C點(diǎn)相遇，則在ABC中，BCat(海里)，ACat(海里)，B9030120，由，得sinCAB，0<CAB<90，CAB30，DAC603030，甲船應(yīng)沿著北偏東30的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇題型二解三角形在物理中的應(yīng)用例2如圖所示，對(duì)某物體施加一個(gè)大小為10N的力F，這個(gè)力被分解到OA，OB兩個(gè)方向上，已知AOB120，力F與OA的夾角為45，求分力的大小解如圖，作F，F(xiàn)1，F(xiàn)2，作OGFC，由題設(shè)知|10，F(xiàn)OG45，AOB120，則FOCAOBFOG1204575，由OGFC知，GFOFOC75，在FOG中，F(xiàn)GO180754560，由正弦定理得，即，解得OG5，由正弦定理得，即，解得FG.所以O(shè)A方向的力的大小為5N，OB方向的力的大小為N. 反思感悟解決物理等實(shí)際問題的步驟(1)把實(shí)際問題受力平衡用圖示表示(2)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過正、余弦定理解三角形(3)把數(shù)學(xué)問題的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解跟蹤訓(xùn)練2有一兩岸平行的河流，水速為1m/s，小船的速度為m/s，為使所走路程最短，小船行駛的方向應(yīng)為()A與水速成45B與水速成135C垂直于對(duì)岸D不能確定答案B解析如圖，設(shè)為水速，為船在靜水中的速度，為.依題意，當(dāng)時(shí)，所走路程最短，現(xiàn)需求BAD，只要求CAD即可，在RtCAD中，|1，|，sinCAD，且CAD為銳角CAD45，BAD4590135.即小船應(yīng)朝與水速成135的方向行駛1已知兩座燈塔A，B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東10D南偏西10答案B解析如圖，因?yàn)锳BC為等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010.2.如圖，甲、乙二人同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，甲沿正東方向走，乙沿北偏東30方向走當(dāng)乙走了2 km到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，甲走到C點(diǎn)，此時(shí)兩人相距 km，則甲走的路程AC等于()A2kmB2kmC.kmD1km答案D解析依題意知BC2AB2AC22ABACcosBAC，即322AC222ACcos 60，AC22AC10.解得AC1 km.3甲騎電動(dòng)車以24km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30方向上，15min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是()A6kmB3kmC3kmD3km答案C解析由題意知，AB246(km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3(km)4一艘海輪從A處出發(fā)，以40nmile/h的速度沿南偏東40方向直線航行，30min后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A10nmileB10nmileC20nmileD20nmile答案A解析如圖所示，由已知條件可得CAB30，ABC105，AB4020(n mile)BCA45，由正弦定理可得.BC10 (n mile)5作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3平衡，已知|F1|30N，|F2|50N，F(xiàn)1和F2之間的夾角是60，求F3的大小與方向(精確到0.1)解F3應(yīng)和F1，F(xiàn)2的合力F平衡，所以F3和F在同一直線上，并且大小相等，方向相反如圖，在OF1F中，由余弦定理，得|F|70(N)，再由正弦定理，得sinF1OF，所以F1OF38.2，從而F1OF3141.8.所以F3為70 N，F(xiàn)3和F1間的夾角為141.8.1在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解2解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：(1)已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之(2)已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解.一、選擇題1某船開始看見一燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行45km后，看見該燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是()A15kmB15kmC20kmD20km答案A解析設(shè)燈塔位置為A，船的初始位置為O，船的終止位置為B，由題意知AOB30，OAB120，則OBA30，所以由正弦定理，得AB15，即此時(shí)船與燈塔的距離是15 km.2一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過h，該船實(shí)際航程為()A2kmB6kmC2kmD8km答案B解析如圖在平行四邊形ABCD中，為河水流速，為船在靜水中的速度，為船在河水中的實(shí)際航速由題意得AB2，AD4，BAD120，22222416224cos 12012，|2，即船實(shí)際航速為2 km/h.船實(shí)際航程為26(km)3臺(tái)風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40km處，則B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A0.5hB1hC1.5hD2h答案B解析設(shè)A地東北方向上點(diǎn)P到B的距離為30km時(shí)，APx，在ABP中，PB2AP2AB22APABcosA，即302x24022x40cos45，化簡得x240x7000.設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則P點(diǎn)的位置有兩處，即P1，P2.則|x1x2|2(x1x2)24x1x2400，|x1x2|20，即P1P220(km)，故t1(h)故選B.4.當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60時(shí)，一根長為2m的竹竿如圖所示放置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角是()A150B30C45D60答案B解析設(shè)竹竿與地面所成的角為，影子長為xm.由正弦定理，得，xsin(120)30120120，當(dāng)12090，即30時(shí)，x有最大值即竹竿與地面所成的角是30時(shí)，影子最長5一艘船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東60，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15，這時(shí)船與燈塔間的距離為()A30kmB30kmC30kmD20km答案B解析如圖所示，在ABC中，BAC30，ACB105，則ABC45，AC60km，根據(jù)正弦定理，得BC30(km)6某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，則塔高為()A10mB10(1) mC.mD20m答案C解析如圖所示，設(shè)AE為塔，B為塔正東方向一點(diǎn)，沿南偏西60前進(jìn)40 m到達(dá)C處，即BC40，CAB135，ABC30，ACB15.在ABC中，即，AC20.過點(diǎn)A作AGBC，垂足為G，此時(shí)仰角AGE最大，在ABC中，由面積公式知BCAGBCACsinACB.AGACsin ACB20sin 15，AG20sin(4530)2010(1)在RtAEG中，AEAGtanAGE，AE10(1)10，塔高為 m.二、填空題7一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105，爬行10cm捕捉到另一只小蟲，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，則x_cm.答案解析如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到B點(diǎn)，則在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，則AOB60，由正弦定理知x (cm)8.如圖，小明以每分鐘20米的速度向東行走，他在A處看到一電視塔B在北偏東30，行走1小時(shí)后，到達(dá)C處，看到這個(gè)電視塔在北偏西15，則此時(shí)小明與電視塔的距離為_米答案3600解析由題意得BAC60，ACB75，所以B45，AC20601 200(米)，所以BC3 600(米)9.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖支桿BC10m，吊桿AC15m，吊索AB5m，起吊的貨物與岸的距離AD為_m.答案解析在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得，cosACB，sinACB，又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15.10海上一觀測站A測得南偏西60的方向上有一艘停止待維修的商船D，在商船D的正東方有一艘海盜船B正向它靠近，速度為每小時(shí)90海里，此時(shí)海盜船B距觀測站10海里，20分鐘后測得海盜船B位于距觀測站20海里的C處，再經(jīng)_分鐘海盜船B到達(dá)商船D處答案解析如圖，過A作AEBD于點(diǎn)E，由已知可知AB10海里，BC30海里，AC20海里，cosACB，0<ACB<180，ACB60，AE10海里DAE60，DE1030海里CAE30，CE10海里，DC20海里，t60(分鐘)三、解答題11.如圖所示，貨輪在海上以40km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140.A處有一燈塔，其方位角是110，在C處觀察燈塔A的方位角是35，由B到C需航行半個(gè)小時(shí)，求C到燈塔A的距離解在ABC中，BC4020(km)，ABC14011030，ACB(180140)3575，BAC75.由正弦定理，得，AC10()(km)答C到燈塔A的距離為10() km.12某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼叫信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45距離為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105的方向以10海里/小時(shí)的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/小時(shí)的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時(shí)間解如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，則AB10t，BC10t，ACB120.在ABC中，根據(jù)余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得(10t)2102(10t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)即艦艇需1小時(shí)靠近漁船，此時(shí)AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理，得，所以sinCAB，又因?yàn)镃AB為銳角，所以CAB30，所以艦艇航行的方位角為75.13.如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45，與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時(shí)后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北(0<<45)的C處，且cos.已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為()A4海里/小時(shí)B3海里/小時(shí)C2海里/小時(shí)D4海里/小時(shí)答案A解析因?yàn)閏os ，0<<45，所以sin ，cos(45)，在ABC中，BC2(20)210222010340，所以BC2，該貨船的船速為4(海里/小時(shí))14為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周圍1千米處不能收到手機(jī)信號(hào)，檢查員抽查某市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西千米有一條北偏東60方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話，以每小時(shí)12千米的速度沿公路行駛，問最長需要多少分鐘檢查員開始收不到信號(hào)，并至少持續(xù)多長時(shí)間該考點(diǎn)才算合格？解如圖所示，考點(diǎn)為A，檢查開始處為B，設(shè)檢查員行駛到公路上C，D兩點(diǎn)之間時(shí)收不到信號(hào)，即公路上C，D兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離為1千米在ABC中，AB(千米)，AC1(千米)，ABC30，由正弦定理，得sinACBAB，ACB120(ACB60不合題意)，BAC30，BCAC1千米在ACD中，ACAD1，ACD60，ACD為等邊三角形，CD1千米605，在BC上需5分鐘，CD上需5分鐘最長需要5分鐘檢查員開始收不到信號(hào)，并持續(xù)至少5分鐘才算合格