吉林省長春市重點高中2021-2022學年高三上學期第一次月考 數(shù)學（理）試題【含答案】

20212022學年度上學期高三年級第一次考試 數(shù)學（理）試卷考試時間：120分鐘 滿分：150分2021年10月15日一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1設集合，則（ ）ARBCD2已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）ABCD3已知向量，滿足，且與夾角為，則（ ）ABCD4下列函數(shù)中，既是上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（ ）ABCD5已知命題：函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點；命題：函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù)若為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A(1,+)BCD6若，則的大小關(guān)系為（ ）ABCD7已知函數(shù)f(x)lg(x22x3)在(-，a)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）A(，1B(，2C5，)D3，)8已知函數(shù)則不等式的解集為（ ）AB CD 92020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預定區(qū)域安全著陸嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)現(xiàn)將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為100 m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln 0.60.511，ln 0.90.105)（ ）A4B5C6D710對于任意的實數(shù)、，記.設，其中，是奇函數(shù).當時，的圖象與的圖象如圖所示.則下列關(guān)于函數(shù)的說法中，正確的是（）A有極大值且無最小值B為奇函數(shù)C的最小值為-2且最大值為2D在上為增函數(shù)11設，是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點過作的一條漸近線的垂線，垂足為若PF1=7OP，則的離心率為（ ）A B C D12設，是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為，的周期為，且是奇函數(shù)，當時，其中，則在區(qū)間(0,11上函數(shù)與圖象交點個數(shù)是（ ）ABC9D10二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13若變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z3x+y的最大值為_14在的展開式中，若含項的系數(shù)為，則正實數(shù)_15中國古代數(shù)學家劉徽在九章算術(shù)注中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2）.劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”.約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等，如圖（3）（4）.已知八分之一的正方體去掉八分之一的牟合方蓋后的剩余幾何體與長寬高皆為八分之一正方體棱長的倒四棱錐“等冪等積”，祖暅由此推算出牟合方蓋的體積.據(jù)此可知，若正方體的棱長為1，則其牟合方蓋的體積為_.16如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務，現(xiàn)準備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺，已知射線，為濕地兩邊夾角為的公路（長度均超過千米），在兩條公路，上分別設立游客接送點，且千米，若要求觀景臺與兩接送點所成角與互補且觀景臺在的右側(cè)，并在觀景臺與接送點，之間建造兩條觀光線路與，則觀光線路之和最長是_.三、解答題：（本大題共六道小題，其中18題10分，其余各題每題12分）17設正項數(shù)列an為等比數(shù)列，它的前n項和為Sn，a11，且a1S2a3.（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）已知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的前n項和Tn.18已知斜率為1的直線過點，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線和曲線的交點為A，.（1）求曲線的直角坐標方程：（2）求的值.19移動支付在中國大規(guī)模推廣五年之后，成功在10億移動互聯(lián)網(wǎng)用戶中獲得了九成的滲透率，這大約是中國自寬帶和手機之后，普及率最高的一項產(chǎn)品，甚至，移動支付被視為新時代中國的四大發(fā)明之一.近日，lpsosChina針對第三方移動支付市場在一家大型超市進行了顧客使用移動支付情況的調(diào)查.調(diào)查人員從年齡在20歲到60歲的顧客中隨機抽取了200人，得到如下數(shù)據(jù)：年齡段人數(shù)類型使用移動支付45402515不使用移動支付0102045（1）現(xiàn)從這200人中隨機依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移動支付的條件下，求第2次抽到的人不使用移動支付的概率；（2）在隨機抽取的200人中對使用移動支付的人群采用分層抽樣的方式抽取25人做進一步的問卷調(diào)查再從這25人中隨機選出3人頒發(fā)參與獎，設這3人中年齡在之間的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.20如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面為長方形，且，是的中點，作交于點（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值21已知橢圓：的左右焦點分別為，且，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程.（2）為橢圓上一點，射線，分別交橢圓于點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.22已知函數(shù)f（x）x2+（2）x+lnx.（1）當1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若在當x（0，+）時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案1C【分析】解出A、B，求并集.【詳解】解：，故選：C2A【分析】將復數(shù)化簡為，再求模長即可.【詳解】由已知可得，則，所以得模為.故選：.3B【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積的運算法則和數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】因為向量，滿足，且與夾角為，所以，故選：B.4D【分析】對于A、C，都不是偶函數(shù)，不符合題意；對于B， 在區(qū)間上不是增函數(shù)，不符合題意；對于D，根據(jù)正弦函數(shù)圖象判斷出結(jié)論【詳解】解：對于A、C，都不是偶函數(shù)，不符合題意；對于B，在區(qū)間上不是增函數(shù)，不符合題意；對于D，是區(qū)間上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)，滿足題意故選：D5C【分析】命題：函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，分，討論，解得范圍；命題：函數(shù)在上是減函數(shù)，解得范圍由且為真命題，可得與都為真命題，即可得出【詳解】解：命題：函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，當時，令，則，不符題意，所以舍去，當時，解得，則，令，解得，不符題意，所以舍去，解得；綜上所述：；命題：函數(shù)在上是減函數(shù)，解得，且為真命題，與都為真命題，解得則實數(shù)的取值范圍是，故選：C.6B【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)把已知數(shù)與0和1比較后可得【詳解】，所以故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查實數(shù)的大小比較，對于冪、對數(shù)、三角函數(shù)值的大小比較，如果能應用相應函數(shù)單調(diào)性的應該利用單調(diào)性比較，如果不能轉(zhuǎn)化，或者是不同類型的的數(shù)，可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)與特殊值如0或1等比較后可得結(jié)論7A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，進而求得的取值范圍.8B【分析】分別討論和時，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及解分式不等式，即可求解.【詳解】當時，不等式即，可得，解得：；當時，不等式即，即，所以，解得：或（舍），所以，綜上所述：不等式的解集為，9C【分析】設石片第n次“打水漂”時的速率為vn，再根據(jù)題意列出不等式求解即可【詳解】設石片第n次“打水漂”時的速率為vn，則vn1000.90n1.由1000.90n1<60，得0.90n1<0.6，則(n1)ln 0.90<ln 0.6，即n1>4.87，則n>5.87，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.故選：C10A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性將兩個函數(shù)的圖象補充完整，進而根據(jù)定義作出函數(shù)F（x）的圖象，最后根據(jù)圖象得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意，均為R上的奇函數(shù)，將圖象補充完整如圖1所示，于是函數(shù)的圖象為：于是，有極大值且無最小值，A正確；函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱，B錯誤；函數(shù)沒有最值，C錯誤；函數(shù)在-3,-1單調(diào)遞增，在(-1,0單調(diào)遞減，D錯誤.故選：A.11B【分析】根據(jù)題意，先得到，的長再分別在和中，利用余弦定理求得，建立等式求解.【詳解】不妨設雙曲線的一條漸近線方程為，則，在中，在中，即，e=2，12C【分析】根據(jù)題意,分析得當，與相交，在有兩個交點，再根據(jù)周期性,作出函數(shù)圖像,數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解: 當時，即當時，直線過點，此時直線與半圓相交，當時，圓心到直線的距離為，此時直線與與半圓相切，所以當，與相交，在有兩個交點，因為的周期為，的周期為，且是奇函數(shù),所以根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)圖像，如圖，函數(shù)與圖象交點個數(shù)是9個.故選：C135【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線y3xz，找出使得該直線在軸上截距最大時對應的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可得解.【詳解】作出可行域，如陰影部分所示：由z3xy得y3xz，平移直線y3xz，由圖象可知當直線y3xz經(jīng)過點C時，直線y3xz的截距z最大，由，解得C（2，1），代入得z3215，即z的最大值為5.故答案為：5.14【分析】利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式，令的冪指數(shù)為，求出的值，利用其系數(shù)為得到關(guān)于的方程，解方程即可求解.【詳解】的展開式的通項為令，則，所以，解得或（舍）.故答案為：2.15【分析】根據(jù)題意，列等式.套用正方體，錐體體積公式求解.【詳解】由題知，因為，所以.故答案為：.16B【分析】求出，在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：在中，因為，所以，又與互補，所以，在中，由余弦定理得：，即，即，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以觀光線路之和最長是4.故選：B.17（1）；（2）【分析】（1）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項公式求出公比，由此能求出數(shù)列的通項公式；（2）由已知條件結(jié)合（2）得到，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列的前項和【詳解】解：（1）設在等比數(shù)列中，公比為，即， 解得或（舍）所以；（2）是首項為1，公差為2的等差數(shù)列， ，得18（1）；（2）.【分析】（1）將曲線C方程左右同乘，根據(jù)，代入化簡即可得答案.（2）先求得直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的直角坐標方程可得關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)t的幾何意義，化簡計算，即可得答案.【詳解】（1）因為，所以因為，代入可得曲線的直角坐標方程為：（2）直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程可得，整理可得，設點A、B所對應的參數(shù)分別為，所以，所以19（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.（2）利用超幾何分布的概率計算公式即可求解.【詳解】（1）記事件：第1次抽到的人使用移動支付，事件：第2次抽到的人不使用移動支付，所以.（2）在年齡段中抽取的人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，3，所以，則的分布列為：0123故.20（1）證明見解析；（2）【分析】（1）先證明平面，可得，又，可證明平面，可得，又，即得證；（2）建立空間直角坐標系，由，可得，分別求解兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解【詳解】（1）證明：底面，平面，由于底面為長方形，而，平面，平面，為的中點，平面，又，平面（2）由題意易知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，可得，設，則有，設平面的法向量，由，則令，則，-由（1）平面，為平面PBC的法向量，設二面角為，由圖知二面角為銳角則-所以二面角的余弦值為21（1）；（2）是定值，定值為.【分析】（1）根據(jù)，點在橢圓上，由求解；（2）由點在軸上時，不妨設點求解；當點不在軸上時，設，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理用表示點A，B的縱坐標，再由求解.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，由題意可得解得，.故橢圓的標準方程為.（2）當點在軸上時，由對稱性不妨設點，此時，兩點重合，故.當點不在軸上時，由對稱性不妨設，此時直線的方程為，聯(lián)立整理得，則，故.同理可得.故.綜上，為定值，且定值為.22（1）f（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）（，1.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導，然后由導數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）在當x（0，+）時恒成立，得ex在 （0，+） 上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）ex，則，再構(gòu)造函數(shù)h（x）x2ex+lnx，利用導數(shù)可判斷出h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，再由零點存在性定理可得存在x0（，1），使得h（x0）0，從而可判斷出當xx0時，g（x）取得極小值，也是最小值，進而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+），當1時，f（x）x2x+lnx，2x1+，令0，解得：0x，令0，解得：x，故f（x）在（0，）遞增，在（，+）遞減，即f（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）f（x）x（exx2）恒成立，即xex1lnx+x 在 （0，+） 上恒成立，即ex在 （0，+） 上恒成立.令g（x）ex，則，令h（x）x2ex+lnx，則 h（x）2xex+x2ex+0，所以h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，而h（1）e0，h（）10，故存在x0（，1），使得h（x0）0，即ex0+lnx00，所以x0ex0lnx0lnln，令（x）xex，x（0，+），（x）（x+1）ex0，所以（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，所以x0lnlnx0，當x（0，x0） 時，h（x）0，即 g（x）0，故g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，當x（x0，+） 時，h（x）0，即 g（x）0，故 g（x） 在 （x0，+）上單調(diào)遞增，所以當xx0時，g（x）取得極小值，也是最小值，所以故1，所以的取值范圍為（，1.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為ex在 （0，+） 上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）ex，再利用導數(shù)求出其最小值即可，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題