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2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末復(fù)習學(xué)案(含解析)新人教B版必修5.docx

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2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末復(fù)習學(xué)案(含解析)新人教B版必修5.docx

第二章 數(shù)列章末復(fù)習學(xué)習目標1.整合知識結(jié)構(gòu),梳理知識網(wǎng)絡(luò),進一步鞏固、深化所學(xué)知識.2.熟練掌握解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的基本技能.3.依托等差數(shù)列、等比數(shù)列解決一般數(shù)列的常見通項、求和等問題1等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念與公式等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q0)遞推公式an1andq中項由三個數(shù)x,A,y組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列這時A叫做x與y的等差中項,并且A如果在x與y中間插入一個數(shù)G,使x,G,y成等比數(shù)列,那么G叫做x與y的等比中項,且G通項公式ana1(n1)dana1qn1前n項和公式Snna1d當q1時,Sn,當q1時,Snna1性質(zhì)am,an的關(guān)系aman(mn)dqmnm,n,s,tN,mnstamanasatamanasat性質(zhì)kn是等差數(shù)列,且knN 是等差數(shù)列是等比數(shù)列n2k1,kNS2k1(2k1)aka1a2a2k1a判斷方法利用定義an1an是同一常數(shù)是同一常數(shù)利用中項anan22an1anan2a利用通項公式anpnq,其中p,q為常數(shù)anabn(a0,b0)利用前n項和公式Snan2bn (a,b為常數(shù))SnA(qn1),其中A0,q0且q1或Snnp(p為非零常數(shù))2.數(shù)列中的基本方法和思想(1)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式時,分別用到了疊加法和疊乘法;(2)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和時,分別用到了倒序相加法和錯位相減法(3)等差數(shù)列和等比數(shù)列各自都涉及5個量,已知其中任意三個求其余兩個,用到了方程思想(4)在研究等差數(shù)列和等比數(shù)列單調(diào)性,等差數(shù)列前n項和最值問題時,都用到了函數(shù)思想題型一方程思想求解數(shù)列問題例1等差數(shù)列an各項為正整數(shù),a13,前n項和為Sn,等比數(shù)列bn中,b11且b2S264,是公比為64的等比數(shù)列,求an,bn的通項公式解設(shè)an的公差為d,bn的公比為q,則d為正整數(shù),an3(n1)d,bnqn1.依題意有由q(6d)64知q為正有理數(shù),又由q知d為6的因子1,2,3,6之一,解得d2,q8,故an2n1,bn8n1.反思感悟在等比數(shù)列和等差數(shù)列中,通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量:a1,an,n,q(d),Sn,其中首項a1和公比q(公差d)為基本量,“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1,an,n,q(d),Sn的方程組,通過方程的思想解出需要的量跟蹤訓(xùn)練1記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,設(shè)S312,且2a1,a2,a31成等比數(shù)列,求Sn.解設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題設(shè)有即解得或因此Snn(3n1)或Sn2n(5n),nN.題型二轉(zhuǎn)化與化歸思想求解數(shù)列問題例2在數(shù)列an中,Sn14an2,a11.(1) 設(shè)cn,求證:數(shù)列cn是等差數(shù)列;(2) 求數(shù)列an的通項公式及前n項和的公式(1)證明Sn14an2,當n2,nN時,Sn4an12.得an14an4an1.方法一對an14an4an1兩邊同除以2n1,得2,即2,即cn1cn12cn,數(shù)列cn是等差數(shù)列由Sn14an2,得a1a24a12,則a23a125,c1,c2,故公差d,cn是以為首項,為公差的等差數(shù)列方法二an12an2an4an12(an2an1),令bnan12an,則bn是以a22a14a12a12a13為首項,2為公比的等比數(shù)列,bn32n1.cn,cn1cn,c1,cn是以為首項,為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可知數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,(n1)n,an(3n1)2n2.Sn14an22n(3n1)2.Sn2n1(3n4)2(n2)當n1時,S11a1,符合Sn2(3n4)2n1(nN)反思感悟由遞推公式求通項公式,要求掌握的方法有兩種,一種求法是先找出數(shù)列的前幾項,通過觀察、歸納得出,然后證明;另一種是通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,再采用公式求出跟蹤訓(xùn)練2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN)(1)求a2,a3的值;(2)求證:數(shù)列Sn2是等比數(shù)列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN),當n1時,a1212;當n2時,a12a2(a1a2)4,a24;當n3時,a12a23a32(a1a2a3)6,a38.(2)證明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN),當n2時,a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120,即Sn2Sn12,Sn22(Sn12)S1240,Sn120,2,故Sn2是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列題型三函數(shù)思想求解數(shù)列問題命題角度1借助函數(shù)性質(zhì)解數(shù)列問題例3一個等差數(shù)列an中,3a85a13,a1>0.若Sn為an的前n項和,則S1,S2,Sn中沒有最大值?請說明理由解因為此等差數(shù)列不是常數(shù)列,所以其前n項和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),我們可以利用配方法,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解設(shè)an的首項為a1,公差為d,則有3(a17d)5(a112d),所以da1,所以Snna1dn2a1na1a1(n20)2a1,故n20時,Sn最大,即前20項之和最大反思感悟數(shù)列是一種特殊的函數(shù),在求解數(shù)列問題時,若涉及參數(shù)取值范圍、最值問題或單調(diào)性時,均可考慮采用函數(shù)的性質(zhì)及研究方法指導(dǎo)解題值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或1,2,3,n,這一特殊性對問題結(jié)果可能造成影響跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列an的通項公式為an2n2019,問這個數(shù)列前多少項的和最???解設(shè)an2n2 019,對應(yīng)的函數(shù)為y2x2 019,易知y2x2 019在R上單調(diào)遞增,且當y0時,x,因此,數(shù)列an為單調(diào)遞增數(shù)列,a1 009<0,a1 010>0,故當1n1 009時,an<0;當n>1 009時,an>0.數(shù)列an中前1 009項的和最小命題角度2以函數(shù)為載體給出數(shù)列例4已知函數(shù)f(x),數(shù)列an滿足a11,an1f,nN.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1,求Tn.解(1)an1fan,an1an,an是以為公差的等差數(shù)列又a11,ann.(2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n)反思感悟以函數(shù)為載體給出數(shù)列,只需代入函數(shù)式即可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題跟蹤訓(xùn)練4設(shè)yf(x)是一次函數(shù),f(0)1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)f(4)f(2n)_.答案2n23n解析設(shè)f(x)kxb(k0),又f(0)1,則b1,所以f(x)kx1(k0)又f(4)2f(1)f(13),所以(4k1)2(k1)(13k1),解得k2.所以f(x)2x1,則f(2n)4n1.所以f(2n)是公差為4的等差數(shù)列所以f(2)f(4)f(2n)2n23n.1設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a111,a4a66,則當Sn取最小值時,n等于()A6B7C8D9答案A解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a4a66,a53,d2,a61<0,a71>0,故當?shù)炔顢?shù)列an的前n項和Sn取得最小值時,n等于6.2數(shù)列1,12,1222,12222n1,的前99項和為()A2100101B299101C210099D29999答案A解析由數(shù)列可知an12222n-12n1,所以,前99項的和為S99(21)(221)(2991)22229999992100101.3在等比數(shù)列an中,已知a24,a616,則a4_.答案8解析aa2a641664,a48.若a48,則aa2a40.a48舍去a48.4等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),且a1a54,則log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5_.答案5解析log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a5)log2a,又a1a5a4,且a30,a32.log2alog2255.5若數(shù)列an的前n項和Snn2n(n1,2,3,),則此數(shù)列的通項公式為_;數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是第_項答案an3n163解析利用an求得an3n16.則nan3n216n3,所以n3時,nan的值最小1等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學(xué)習的兩種最基本的數(shù)列,也是高考中經(jīng)??疾椴⑶抑攸c考查的內(nèi)容之一,這類問題多從數(shù)列的本質(zhì)入手,考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡單運算、通項公式、求和公式等問題2數(shù)列求和的方法:一般的數(shù)列求和,應(yīng)從通項入手,若無通項,先求通項,然后通過對通項變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式,從而選擇合適的方法求和3在求通項求和的基礎(chǔ)上,可以借助不等式、單調(diào)性等研究數(shù)列的最值、取值范圍、存在性問題

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