廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 高考大題專項(xiàng)練二 高考中的三角函數(shù)與解三角形 文.docx

高考大題專項(xiàng)練二高考中的三角函數(shù)與解三角形1.在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由題設(shè)知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由題設(shè)知,ADB<90,所以cosADB=1-225=235.(2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.2.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)證明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.(1)證明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0<A-B<,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由cosB=23得sinB=53,cos2B=2cos2B-1=-19,故cosA=-19,sinA=459,所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=2227.3.在ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,ABD的面積是ADC面積的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長.解(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因?yàn)镾ABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因?yàn)镾ABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC邊上的高.解(1)在ABC中,cosB=-17,B2,sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,sinA=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32-17+12437=3314.如圖所示,在ABC中,過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D.sinC=hBC,h=BCsinC=73314=332,AC邊上的高為332.5.(2018天津,文16)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB.又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.又因?yàn)锽(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.因?yàn)閍<c,所以cosA=27,因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43712-1732=3314.6.已知函數(shù)f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對(duì)稱軸方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-12,2上的值域.解(1)f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x=sin2x-6,周期T=22=.由2x-6=k+2(kZ),得x=k2+3(kZ).故函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=k2+3(kZ).(2)x-12,2,2x-6-3,56.當(dāng)2x-6=2,即x=3時(shí),f(x)取最大值1;當(dāng)2x-6=-3,即x=-12時(shí),f(x)取最小值-32.函數(shù)f(x)在區(qū)間-12,2上的值域?yàn)?32,1.7.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足cos 2C-cos 2A=2sin3+Csin3-C.(1)求角A的大小;(2)若a=3,且ba,求2b-c的取值范圍.解(1)因?yàn)閏os2C-cos2A=2sin3+Csin3-C,所以2sin2A-2sin2C=234cos2C-14sin2C,化簡,得sinA=32.所以A=3或A=23.(2)因?yàn)閎a,所以A=3.由正弦定理bsinB=csinC=asinA=2,得b=2sinB,c=2sinC.故2b-c=4sinB-2sinC=4sinB-2sin23-B=3sinB-3cosB=23sinB-6.又因?yàn)閎a,所以3B<23,即6B-6<2.所以2b-c=23sinB-63,23),即2b-c的取值范圍為3,23).8.如圖,在ABC中,BAC=90,點(diǎn)D為斜邊BC上一點(diǎn),且AC=CD=2.(1)若CD=2BD,求AD的長;(2)若AD=2BD,求角B的正弦值.解(1)CD=2,CD=2BD,BD=1,BC=3BD=3.則在RtABC中,cosC=ACBC=23.在ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=4+4-823=83.AD=263.(2)在ACD中,由余弦定理可得,AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=8-8cosC.在RtABC中,BC=ACcosC=2cosC.故BD=BC-CD=2cosC-2=2-2cosCcosC.AD=2BD,AD2=2BD2.8-8cosC=2(2-2cosC)2cos2C.1-cosC0,1=1-cosCcos2C,即cos2C+cosC-1=0.又cosC>0,cosC=5-12.又B+C=2,sinB=5-12.