廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練48 直線與圓錐曲線 文.docx

考點(diǎn)規(guī)范練48直線與圓錐曲線一、基礎(chǔ)鞏固1.(2018甘肅蘭州一診)雙曲線x2a2-y2b2=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1只有一個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線的離心率為()A.54B.5C.54D.5答案D解析不妨設(shè)x2a2-y2b2=1的漸近線y=bax與y=x2+1只有一個(gè)交點(diǎn),由y=bax,y=x2+1得ax2-bx+a=0,所以=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故選D.2.(2018山東煙臺(tái)期末)過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F(1,0)作x軸的垂線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若AOB的面積為83,則雙曲線的漸近線方程為()A.y=32xB.y=22xC.y=23xD.y=2x答案B解析由題意得|AB|=2b2a,SAOB=83,122b2a1=83,b2a=83.a2+b2=1,解得a=13,b=223,雙曲線的漸近線方程為y=bax=22x.故選B.3.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y=2x2上的兩點(diǎn),直線l是AB的垂直平分線.當(dāng)直線l的斜率為12時(shí),直線l在y軸上的截距的取值范圍是()A.34,+B.34,+C.(2,+)D.(-,-1)答案A解析設(shè)直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程為y=12x+b,過點(diǎn)A,B的直線可設(shè)為y=-2x+m,聯(lián)立方程y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0,從而有x1+x2=-1,=4+8m>0,m>-12.又AB的中點(diǎn)-12,m+1在直線l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,將m=b-54代入4+8m>0,得b>34,所以直線l在y軸上的截距的取值范圍是34,+.4.過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上,且MNl,則M到直線NF的距離為()A.5B.22C.23D.33答案C解析由題意可知拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,可得直線MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因?yàn)镸在x軸的上方,所以M(3,23).因?yàn)镸Nl,且N在l上,所以N(-1,23).因?yàn)镕(1,0),所以直線NF:y=-3(x-1).所以M到直線NF的距離為|3(3-1)+23|(-3)2+12=23.5.斜率為1的直線l與橢圓x24+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為()A.2B.455C.4105D.8105答案C解析設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為y=x+t,由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.則x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-85t2-44(t2-1)5=4255-t2,當(dāng)t=0時(shí),|AB|max=4105.6.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4,若拋物線y=ax2上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,且x1x2=-12,則m的值為()A.32B.52C.2D.3答案A解析由雙曲線的定義知2a=4,得a=2,所以拋物線的方程為y=2x2.因?yàn)辄c(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,兩式相減得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨設(shè)x1<x2,又A,B關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,所以y1-y2x1-x2=-1,故x1+x2=-12,而x1x2=-12,解得x1=-1,x2=12.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x0=x1+x22=-14,y0=y1+y22=2x12+2x222=54.因?yàn)橹悬c(diǎn)M在直線y=x+m上,所以54=-14+m,解得m=32.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實(shí)數(shù)c的最大值為.答案22解析直線x-y+1=0與雙曲線的漸近線y=x平行,且兩平行線間的距離為22.由圖形知,雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離的最小值無限趨近于22,要使距離d大于c恒成立,只需c22即可,故c的最大值為22.8.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-2,0),上頂點(diǎn)B(0,2).(1)求橢圓C的方程;(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN的中點(diǎn)G在圓x2+y2=1上,求m的值.解(1)由題意可得,c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=22.故橢圓C的方程為x28+y24=1.(2)設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段MN的中點(diǎn)G(x0,y0),由y=x+m,x28+y24=1消y,得3x2+4mx+2m2-8=0,則=96-8m2>0,所以-23<m<23.x0=x1+x22=-2m3,y0=x0+m=m3,因?yàn)辄c(diǎn)G(x0,y0)在圓x2+y2=1上,所以-23m2+13m2=1,解得m=355.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(1)求|OH|ON|;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說明理由.解(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t.又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故Nt2p,t,ON的方程為y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t.所以N為OH的中點(diǎn),即|OH|ON|=2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn).理由如下:直線MH的方程為y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).10.(2018福建廈門第一次質(zhì)檢)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為255.直線l:y=kx+m(m>0)與C交于A,B兩點(diǎn),AF的中點(diǎn)為M,|OM|+|MF|=5.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)P(0,1),PAPB=-4,求證:直線l過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).解(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1,則OM為AFF1的中位線.OM=12AF1,MF=12AF,|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5,e=ca=255,c=25,b=5,橢圓C的方程為x225+y25=1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立y=kx+m,x225+y25=1消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.>0,x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-251+5k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2=-25k2+m21+5k2,P(0,1),PAPB=-4,(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,5m2-251+5k2+-25k2+m21+5k2-2m1+5k2+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-53(舍去).直線l過定點(diǎn)(0,2).二、能力提升11.(2018天津,文7)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為()A.x23-y29=1B.x29-y23=1C.x24-y212=1D.x212-y24=1答案A解析由雙曲線的對(duì)稱性,不妨取漸近線y=bax.如圖,|AD|=d1,|BC|=d2,過點(diǎn)F作FECD于點(diǎn)E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因?yàn)辄c(diǎn)F(c,0)到直線y=bax的距離為|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因?yàn)閑=ca=2,a2+b2=c2,所以a2=3,所以雙曲線方程為x23-y29=1.故選A.12.設(shè)雙曲線x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.若點(diǎn)P在雙曲線上,且F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是.答案(27,8)解析由題意,知a=1,b=3,c=2,則e=ca=2.設(shè)P(x,y)是雙曲線上任一點(diǎn),由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上,由F1PF2為銳角三角形,可知1<x<2,則|PF1|=(x+2)2+y2=2x+1,|PF2|=(x-2)2+y2=2x-1.由F1PF2為銳角三角形,知F1PF2為銳角,則|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2,即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>72,所以72<x<2,所以|PF1|+|PF2|=4x(27,8).13.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線,交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)縮為2a,則C的離心率為.答案2+3解析不妨設(shè)過右焦點(diǎn)與漸近線平行的直線為y=ba(x-c),與C交于P(x0,y0).x0=2a,y0=ba(2a-c).又P(x0,y0)在雙曲線C上,(2a)2a2-b2a2(2a-c)2b2=1.整理得a2-4ac+c2=0,設(shè)雙曲線C的離心率為e,故1-4e+e2=0.e1=2-3(舍去),e2=2+3.即雙曲線C的離心率為2+3.14.已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)若OMON=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.解(1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn),所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-73<k<4+73.所以k的取值范圍為4-73,4+73.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OMON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由題設(shè)可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.三、高考預(yù)測(cè)15.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,2),且直線PA1x軸,過點(diǎn)P作直線與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)(A,B在第一象限且點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方),直線OP與AA2交于點(diǎn)Q,連接QA1.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線QA1的斜率為k1,直線A1B的斜率為k2,問:k1k2的斜率乘積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.解(1)由題意可知a=2,c=3,所以b=1.所以橢圓的方程為x24+y2=1.(2)是定值,定值為-14.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)P(-2,2),設(shè)直線AB的方程為x=my-2m-2,聯(lián)立x2+4y2=4,x=my-2m-2(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,所以y1+y2=4m2+4mm2+4,y1y2=4m2+8mm2+4,因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線OP上,所以可設(shè)Q(-t,t).又Q在直線AA2上,所以t-t-2=y1x1-2t=-2y1x1+y1-2,所以k1k2=-2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2=-y1y2(x2+2)(x1+2y1-2)=-y1y2(my2-2m)(m+2)(y1-2)=-y1y2(m2+2m)y1y2-2(y1+y2)+4=-14.