（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第16講 定積分與微積分基本定理學(xué)案 理 新人教A版.docx

第16講定積分與微積分基本定理1.定積分的概念如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),用分點a=x0<x1<<xi-1<xi<<xn=b將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間xi-1,xi上任取一點i(i=1,2,n),作和式i=1nf(i)x=i=1nb-anf(i),當n時,上述和式無限接近某個,這個常數(shù)叫作函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作ab f(x)dx,即ab f(x)dx=.其中f(x)稱為函數(shù),a稱為積分限,b稱為積分限.2.定積分的幾何意義如果在區(qū)間a,b上的函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0,那么定積分ab f(x)dx表示由直線x=,x=,y=和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.3.定積分的性質(zhì)性質(zhì)1:常數(shù)因子可提到積分號前,即ab kf(x)dx=(k為常數(shù)).性質(zhì)2:代數(shù)和的定積分等于定積分的代數(shù)和,即ab f(x)g(x)dx=.性質(zhì)3:(定積分的可加性)如果積分區(qū)間a,b被點c分成兩個小區(qū)間a,c與c,b,則ab f(x)dx=.4.微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù),并且有F(x)=f(x),則ab f(x)dx=.常用結(jié)論如果f(x)是區(qū)間-a,a(a>0)上的連續(xù)的偶函數(shù),則-aa f(x)dx=20a f(x)dx;如果f(x)是區(qū)間-a,a(a>0)上的連續(xù)的奇函數(shù),則-aa f(x)dx=0.題組一常識題1.教材改編 12 ex-2xdx=.2.教材改編 03 sin xdx=.3.教材改編 已知14 f(x)dx=8,則12 f(x)dx+24 f(x)dx=.4.教材改編 直線y=x-4、曲線y=2x及x軸所圍成的封閉圖形的面積是.題組二常錯題索引:誤解積分變量致錯;定積分的值不一定是曲邊梯形的面積;弄錯原函數(shù)的定義域;f(x),g(x)的圖像與直線x=a,x=b所圍成的曲邊圖形的面積的表達式不清致錯.5.定積分-12 (t2+1)dx=.6.曲線y=-x2(x-1,1)與x軸所圍成的封閉圖形的面積為.7.計算-2-1 1xdx=.8.直線x=0,x=2與曲線y=sin x,y=cos x所圍成的封閉圖形的面積S的定積分表達式是.探究點一定積分的計算例1 (1)已知函數(shù)f(x)=sinx,x-,0,1-x2,x(0,1,則-1 f(x)dx=()A.2+B.2C.-2+2D.4-2(2)2018湖北咸寧重點高中聯(lián)考 若01 (ex-2ax)dx=e,則a=.總結(jié)反思 (1)計算定積分的常用方法有三種:定義法、幾何意義法、微積分基本定理法.(2)使用微積分基本定理的關(guān)鍵是找到一個函數(shù),使該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù).變式題 (1)2018曲靖一中月考 已知02 sin(x-)dx=74,則sin 2=()A.34B.916C.-34D.-34(2)2018萊蕪模擬 12 2x+1xdx的值為.探究點二利用定積分求曲邊梯形的面積例2 (1)2018貴陽模擬 若函數(shù)f(x)=Asinx-6(A>0,>0)的部分圖像如圖2-16-1所示,則圖中陰影部分的面積為()圖2-16-1A.12B.14C.2-34D.2-32(2)2018江西臨川一中月考 已知曲線y=x,y=2-x與x軸所圍成的封閉圖形的面積為S,則S=.總結(jié)反思 (1)利用定積分求曲邊梯形的面積的基本步驟:畫草圖,解方程得積分上、下限,把面積表示為已知函數(shù)的定積分.(2)注意:兩曲線的上、下位置關(guān)系,分段表示的面積之間的關(guān)系.變式題 (1)如圖2-16-2所示的陰影部分的面積為()圖2-16-2A.42B.22C.2D.22(2)2018安徽江南十校聯(lián)考 直線l過拋物線E:y2=8x的焦點且與x軸垂直,則直線l與E所圍成的封閉圖形的面積為()A.13B.113C.323D.283探究點三定積分在物理中的應(yīng)用例3 兩點之間相距112 m,一質(zhì)點從一點出發(fā),沿直線向另一點做變速直線運動,其速度方程是v=t+1(v的單位:m/s,t的單位:s).(1)計算該質(zhì)點在前10 s所走的路程;(2)計算該質(zhì)點在第5 s到第10 s所經(jīng)過的路程;(3)計算該質(zhì)點到達另一點所需要的時間,以及該質(zhì)點在整個運動過程中的平均速度.總結(jié)反思 (1)做變速直線運動的物體在時間段a,b內(nèi)所經(jīng)過的路程S等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a,b上的定積分,即S=ab v(t)dt.(2)一物體在變力F=F(x)的作用下,在位移區(qū)間a,b內(nèi)所做的功W是函數(shù)F=F(x)在區(qū)間a,b上的定積分,即W=ab F(x)dx.變式題 一物體在變力F(x)=36x2(單位:N)的作用下沿力的正方向運動,求物體從x=8 m處運動到x=18 m處這一過程中,變力對物體所做的功.第16講定積分與微積分基本定理考試說明 1.了解定積分的實際背景,了解定積分的基本思想,了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義.【課前雙基鞏固】知識聚焦1.常數(shù)limni=1nb-anf(i)被積下上2.ab03.kab f(x)dxab f(x)dxab g(x)dxac f(x)dx+cb f(x)dx4.F(b)-F(a)對點演練1.e2-2ln 2-e解析 12 ex-2xdx=(ex-2ln x)12=e2-2ln 2-e.2.2解析 03 sin xdx=-cos x03=2. 3.8解析 12 f(x)dx+24 f(x)dx=14 f(x)dx=8.4.403解析 畫出圖形(圖略)可知,所求的面積S=04 2xdx+48 2xdx-48 (x-4)dx=223x3204+223x3248-12(x-4)248=403.5.3t2+3解析 -12 (t2+1)dx=(t2+1)x-12=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.6.23解析 所求面積S=-11 (-x2)dx=201 x2dx=23.7.-ln 2解析 根據(jù)-2-1 1xdx的幾何意義,可得-2-1 1xdx=-12 1xdx=-ln x12=-ln 2.本題若做成-2-1 1xdx=ln x-2-1則是錯誤的.8.S=02 |sin x-cos x|dx【課堂考點探究】例1思路點撥 (1)根據(jù)定積分的幾何意義、定積分的性質(zhì)、微積分基本定理求解;(2)a是常量,確定原函數(shù),建立關(guān)于a的方程求解.(1)D(2)-1解析 (1)-1 f(x)dx=-0 sin xdx+01 1-x2dx,又-0 sin xdx=-cos x-0=-2,01 1-x2dx的幾何意義是以原點為圓心,1為半徑的圓的面積的14,故01 1-x2dx=14,-1 f(x)dx=4-2,故選D.(2)01 (ex-2ax)dx=(ex-ax2)01=e-a-1=e,-a-1=0,a=-1.變式題(1)B(2)3+ln 2解析 (1)根據(jù)微積分基本定理,得02 sin(x-)dx=-cos(x-)02,即-cos2-+cos(-)=cos -sin =74,兩邊平方,得1-sin 2=716,所以sin 2=1-716=916,故選B.(2)12 2x+1xdx=(x2+ln x)12=4+ln 2-1-0=3+ln 2.例2思路點撥 (1)由圖像求出函數(shù)解析式,然后利用定積分求得圖中陰影部分的面積;(2)先作出草圖(可略),確定被積函數(shù)與積分區(qū)間,再利用定積分求面積.(1)C(2)76解析 (1)由圖像可知,A=1,T2=3-6=2,即T=,所以=2,所以f(x)=sin2x-6.所以圖中陰影部分的面積S=-012 sin2x-6dx=12cos2x-6012=12cos6-6-cos-6=121-32=2-34,故選C.(2)由題意得,曲線y=x,y=2-x與x軸所圍成的封閉圖形的面積S=01 xdx+12 (2-x)dx=23x3201+2x-12x212=23+2-32=76.變式題(1)B(2)C解析 (1)根據(jù)定積分的幾何意義可得,陰影部分的面積S=454 (sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x)454=22,故選B. (2)由題意得,直線l的方程為x=2,將y2=8x化為y=22x.由定積分的幾何意義得,所求面積S=202 (22x)dx=4202 x12dx=4223x3202=422322=323.例3思路點撥 第(1)(2)問只要根據(jù)定積分的物理意義求解即可,第(3)問先求函數(shù)v=t+1在0,x上的定積分,再求使得這個定積分等于112時的x值,x的值即為質(zhì)點的運動時間.解:(1)該質(zhì)點在前10 s所走的路程S1=010 (t+1)dt=12t2010+t010=60(m).(2)該質(zhì)點在第5 s到第10 s所經(jīng)過的路程S2=510 (t+1)dt=12t2510+t510=42.5(m).(3)設(shè)質(zhì)點到達另一點所需要的時間為x,顯然x>0,則根據(jù)題意有0x (t+1)dt=112,即12t2+t0x=112,即12x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,則該質(zhì)點到達另一點所需要的時間是14 s,整個運動過程中的平均速度是11214=8(m/s).變式題解:由題意得,變力F(x)在這一過程中所做的功為F(x)在8,18上的定積分,即818 F(x)dx=-36x-1818=(-3618-1)-(-368-1)=(-2)-92=52.從而可得變力F(x)在這一過程中所做的功為52 J.【備選理由】 例1考查定積分的計算,特別是需要結(jié)合函數(shù)的奇偶性與定積分的幾何意義進行分析,有一定的綜合性;例2考查根據(jù)圖像求解函數(shù)解析式的能力以及分段計算定積分的方法;例3在知識點的交匯處命題,將利用定積分求面積與幾何概型結(jié)合起來考查.例1配合例1使用 2019深圳外國語學(xué)校月考 給出下列函數(shù):f(x)=xsin x;f(x)=ex+x;f(x)=ln(1+x2-x).存在a>0,使得-aa f(x)dx=0的函數(shù)是()A.B.C.D.解析 B對于,f(x)=xsin x是偶函數(shù),當x(0,)時,f(x)>0,當x(,2)時,f(x)<0,作出f(x)=xsin x在0,2上的圖像,如圖所示,設(shè)曲線y=xsin x(x0,)與x軸圍成的圖形的面積為S1,曲線y=xsin x(x,2)與x軸圍成的圖形的面積為S2,由圖可知S1<S2,則由定積分的幾何意義知,存在a,2,使得-aa xsin xdx=20a xsin xdx=0;對于,f(x)=ex+x,則-aa f(x)dx=-aa (ex+x)dx=ex+12x2-aa=ea-e-a>0(a>0),即不存在滿足題意的a;對于,f(x)=ln(1+x2-x)是奇函數(shù),所以對于任意a>0,-aa f(x)dx=0都成立.綜上可知,中的函數(shù)滿足題意.故選B.例2配合例1使用 已知函數(shù)y=f(x)的圖像為如圖所示的折線ABC,則-11 (x+1)f(x)dx=()A.2B.-2C.1D.-1解析 D由圖易知f(x)=-x-1,-1x0,x-1,0<x1,所以-11 (x+1)f(x)dx=-10 (x+1)(-x-1)dx+01 (x+1)(x-1)dx=-10 (-x2-2x-1)dx+01 (x2-1)dx=-13x3-x2-x-10+13x3-x01=-13-23=-1,故選D.例3配合例2使用 在直線x=0,x=1,y=0,y=e+1圍成的區(qū)域內(nèi)撒一粒豆子,則豆子落入曲線x=0,y=e+1,y=ex+1圍成的區(qū)域內(nèi)的概率為.答案 1e+1解析 由題意,直線x=0,x=1,y=0,y=e+1所圍成的區(qū)域是一個長為e+1,寬為1的矩形,所以其面積S=1(e+1)=e+1.由y=e+1,y=ex+1,解得x=1,y=e+1,所以由曲線x=0,y=e+1,y=ex+1所圍成的區(qū)域的面積S1=01 (e+1-ex-1)dx=01 (e-ex)dx=(ex-ex)01=1,故所求概率P=S1S=1e+1.