（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第14講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案 理 新人教A版.docx

第14講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)到單調(diào)性單調(diào)遞增在區(qū)間(a,b)上,若f(x)>0,則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)單調(diào)遞減在區(qū)間(a,b)上,若f(x)<0,則f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)單調(diào)性到導(dǎo)數(shù)單調(diào)遞增若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增,則f(x)單調(diào)遞減若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減,則f(x)“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)數(shù)大(小)于0”是“其單調(diào)遞增(減)”的條件題組一常識題1.教材改編 函數(shù)f(x)=ex-x的單調(diào)遞增區(qū)間是.2.教材改編 比較大小:xln x(x(1,+).3.教材改編 函數(shù)y=ax3-1在(-,+)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4.教材改編 已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),函數(shù)y=ef(x)的圖像如圖2-14-1所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.圖2-14-1題組二常錯題索引:可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)時導(dǎo)數(shù)滿足的條件;利用單調(diào)性求解不等式時不能忽視原函數(shù)的定義域;求單調(diào)區(qū)間時忽略定義域;討論函數(shù)單調(diào)性時分類標(biāo)準(zhǔn)有誤.5.若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+)上為增函數(shù),則k的取值范圍是.6.若函數(shù)f(x)=ln x-1x,則不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集為.7.函數(shù)f(x)=x+ln(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.8.討論函數(shù)y=ax3-x在R上的單調(diào)性時,a應(yīng)分、三種情況討論.探究點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明例1 2018商丘二模 已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中m為常數(shù),且m>-e2.討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 總結(jié)反思 用導(dǎo)數(shù)法判斷和證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的一般步驟:(1)求f(x).(2)確認(rèn)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的符號(如果含有參數(shù),則依據(jù)參數(shù)的取值討論符號).(3)得出結(jié)論:f(x)>0時,函數(shù)f(x)為增函數(shù);f(x)<0時,函數(shù)f(x)為減函數(shù).變式題 已知函數(shù)f(x)=x+axex,aR.(1)求f(x)的零點(diǎn);(2)當(dāng)a-5時,求證:f(x)在區(qū)間(1,+)上為增函數(shù).探究點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2 2018北京朝陽區(qū)一模 已知函數(shù)f(x)=lnx-1x-ax(aR). (1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程;(2)若a<-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. 總結(jié)反思 (1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是確定導(dǎo)數(shù)的符號.不含參數(shù)的問題直接解導(dǎo)數(shù)大于(或小于)零的不等式,其解集即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;含參數(shù)的問題,應(yīng)就參數(shù)范圍討論導(dǎo)數(shù)大于(或小于)零的不等式的解,其解集即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)所有求解和討論都必須在函數(shù)的定義域內(nèi),不要超出定義域的范圍.變式題 (1)函數(shù)f(x)=3ln x-4x+12x2的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(0,1),(3,+)B.(1,3)C.(-,1),(3,+)D.(3,+)(2)函數(shù)f(x)=x+3x+2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是.探究點(diǎn)三已知函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)的取值范圍例3 已知函數(shù)f(x)=x2+ln x-ax.(1)當(dāng)a=3時,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若f(x)在(0,1)上是增函數(shù),求a的取值范圍.總結(jié)反思 (1)f(x)在D上單調(diào)遞增(減),只要滿足f(x)0(0)在D上恒成立即可.如果能夠分離參數(shù),則可分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系.(2)二次函數(shù)在區(qū)間D上大于零恒成立,討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次函數(shù)的圖像的對稱軸與區(qū)間D的相對位置,一般分對稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論.變式題 (1)2018哈爾濱師大附中三模 若函數(shù)f(x)=2x+sin xcos x+acos x在(-,+)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是()A.-1,1B.-1,3C.-3,3D.-3,-1 (2)若函數(shù)f(x)=x+aln x不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.0,+)B.(-,0C.(-,0)D.(0,+)探究點(diǎn)四函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用例4 (1)定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足f(x)<f(x),f(0)=2,則不等式f(x)<2ex的解集為()A.(-,0)B.(-,2)C.(0,+)D.(2,+)(2)已知函數(shù)g(x)是偶函數(shù),f(x)=g(x-2),且當(dāng)x2時,導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足(x-2)f(x)>0,若1<a<3,則()A.f(4a)<f(3)<f(log3a)B.f(3)<f(log3a)<f(4a)C.f(log3a)<f(3)<f(4a)D.f(log3a)<f(4a)<f(3)總結(jié)反思 用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式,常常要構(gòu)造新函數(shù),把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題,再由單調(diào)性比較大小或解不等式.常見構(gòu)造的輔助函數(shù)有:g(x)=xf(x),g(x)=f(x)x,g(x)=exf(x),g(x)=f(x)ex,g(x)=f(x)ln x,g(x)=f(x)lnx等.變式題 (1)已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log2.22.1,則()A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b(2)已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(2)=7,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)<3,則不等式f(ln x)>3ln x+1的解集為.第14講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考試說明 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;3.會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).【課前雙基鞏固】知識聚焦遞增遞減00充分對點(diǎn)演練1.(0,+)解析 由f(x)=ex-1>0,解得x>0,故其單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+).2.>解析 設(shè)f(x)=x-ln x,x(1,+),則f(x)=1-1x>0,所以函數(shù)f(x)在(1,+)上是增函數(shù),所以f(x)=x-ln x>1>0,所以x>ln x.3.(-,0)解析 y=3ax2,函數(shù)在區(qū)間(-,+)上是減函數(shù),y0在(-,+)上恒成立,即3ax20恒成立,a0.當(dāng)a=0時,y=-1,不是減函數(shù),a<0,即a(-,0).4.(-,2解析 因?yàn)楫?dāng)x2時,ef(x)1,所以當(dāng)x2時,f(x)0,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,2.5.1,+)解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+)上為增函數(shù),所以f(x)=k-1x0在(1,+)上恒成立,即k1x在(1,+)上恒成立,可得k1.6.12,23解析 因?yàn)閤(0,+),f(x)=1x+1x2>0,所以函數(shù)f(x)=ln x-1x在(0,+)上為增函數(shù),所以只需滿足1-x>2x-1>0,解得12<x<23.7.(-,1)解析 由2-x>0,得x<2,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-,2).易知f(x)=1-12-x,令f(x)>0,可得12-x<1,結(jié)合2-x>0,得2-x>1,解得x<1,即函數(shù)f(x)=x+ln(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,1).8.a>0a=0a<0解析 y=3ax2-1,所以對a分a>0,a=0,a<0三種情況討論比較合理.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 先對m進(jìn)行分類討論,再結(jié)合f(x)的符號討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解:易知x(-,+),f(x)=ex+1+(x-1)ex+1+2mx=x(ex+1+2m).當(dāng)m0時,ex+1>0,ex+1+2m>0.當(dāng)x>0時,f(x)>0;當(dāng)x<0時,f(x)<0. 故f(x)在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞增.當(dāng)-e2<m<0時,f(x)=0有兩個實(shí)數(shù)根,即x1=0,x2=ln(-2m)-1,且x1>x2.則當(dāng)x>0時,f(x)>0;當(dāng)ln(-2m)-1<x<0時,f(x)<0;當(dāng)x<ln(-2m)-1時,f(x)>0.故f(x)在區(qū)間(-,ln(-2m)-1),(0,+)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(ln(-2m)-1,0)上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)m0時,f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)-e2<m<0時,f(x)在(-,ln(-2m)-1),(0,+)上單調(diào)遞增,在(ln(-2m)-1,0)上單調(diào)遞減.變式題解:(1)f(x)的定義域?yàn)?-,0)(0,+).令f(x)=0,得x2+a=0,即x2=-a.當(dāng)a0時,方程無解,f(x)沒有零點(diǎn);當(dāng)a<0時,得x=-a.綜上,當(dāng)a0時,f(x)無零點(diǎn);當(dāng)a<0時,f(x)的零點(diǎn)為-a.(2)證明:f(x)=1-ax2ex+x+axex=(x3+x2+ax-a)exx2.令g(x)=x3+x2+ax-a(x>1),則g(x)=3x2+2x+a,其圖像的對稱軸為直線x=-13,所以g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,所以g(x)>312+21+a=5+a.因?yàn)閍-5,所以g(x)>0在(1,+)上恒成立,所以g(x)在(1,+)上為增函數(shù),可得g(x)>g(1)=2>0,即f(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(1,+)上為增函數(shù).例2思路點(diǎn)撥 (1)求出f(1)及f(1)的值,利用點(diǎn)斜式可得曲線的切線方程.(2)在定義域內(nèi),令f(x)>0,求得x的取值范圍,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;令f(x)<0,求得x的取值范圍,可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.解:(1)若a=0,則f(1)=-1,f(x)=2-lnxx2,所以f(1)=2,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為2x-y-3=0.(2)易知x(0,+),f(x)=2-ax2-lnxx2.令g(x)=2-ax2-ln x,則g(x)=-2ax2-1x.令g(x)=0,得x=-12a或x=-12a(舍去). 由g(x)>0,得x>-12a;由g(x)<0,得0<x<-12a.所以g(x)在區(qū)間0,-12a上單調(diào)遞減,在區(qū)間-12a,+上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g-12a=52-ln-12a.因?yàn)閍<-1,所以0<-12a<12,所以ln-12a<0,所以g(x)>0,即f(x)>0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+).變式題(1)A(2)(0,1)解析 (1)f(x)=3x-4+x=(x-1)(x-3)x,由f(x)>0,得0<x<1或x>3,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(3,+).(2)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+),f(x)=1-3x2+2x=(x+3)(x-1)x2.令f(x)<0,可得0<x<1,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).例3思路點(diǎn)撥 (1)當(dāng)a=3時,求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),然后由f(x)>0可得單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將原問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0,1)上大于等于零恒成立問題求解即可.解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+),當(dāng)a=3時,f(x)=x2+ln x-3x,f(x)=2x+1x-3=2x2-3x+1x,由f(x)>0,得0<x<12或x>1,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,12,(1,+).(2)由題意得f(x)=2x+1x-a.f(x)在(0,1)上是增函數(shù),f(x)=2x+1x-a0在(0,1)上恒成立,即a2x+1x在(0,1)上恒成立.2x+1x22,當(dāng)且僅當(dāng)2x=1x,即x=22時,等號成立,a22,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-,22.變式題(1)A(2)C解析 (1)f(x)=2x+sin xcos x+acos x,f(x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3.設(shè)t=sin x,-1t1,則g(t)=-2t2-at+3, f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增,g(t)0在-1,1上恒成立.二次函數(shù)g(t)的圖像開口向下,g(1)0,g(-1)0,可得-1a1,即a的取值范圍是-1,1,故選A.(2)函數(shù)f(x)=x+aln x的定義域?yàn)?0,+),f(x)=1+ax.當(dāng)a0時,f(x)>0,函數(shù)f(x)=x+aln x是增函數(shù).當(dāng)a<0時,由f(x)<0,得0<x<-a,由f(x)>0,得x>-a,所以函數(shù)f(x)=x+aln x在(0,-a)上單調(diào)遞減,在(-a,+)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(x)=x+aln x不是單調(diào)函數(shù),所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,0),故選C.例4思路點(diǎn)撥 (1)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)ex,通過g(x)的符號判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性,利用單調(diào)性得出x的取值范圍;(2)先根據(jù)函數(shù)圖像的平移得到函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱,再通過討論導(dǎo)數(shù)的符號得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性,最后將4a,log3a,3轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上比較其對應(yīng)函數(shù)值的大小.(1)A(2)B解析 (1)設(shè)g(x)=f(x)ex,則g(x)=f(x)-f(x)ex,f(x)<f(x),g(x)>0,即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.f(0)=2,g(0)=f(0)=2,則不等式f(x)<2ex等價于g(x)<g(0).函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,x<0,即不等式的解集為(-,0).(2)g(x)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱,f(x)=g(x-2)的圖像關(guān)于直線x=2對稱.(x-2)f(x)>0,當(dāng)x>2時,f(x)>0,即函數(shù)f(x)在(2,+)上為增函數(shù).1<a<3,4<4a<64,0<log3a<1,又f(log3a)=f(4-log3a),3<4-log3a<4,3<4-log3a<4a,f(3)<f(4-log3a)<f(4a),即f(3)<f(log3a)<f(4a).變式題(1)B(2)(0,e2)解析 (1)設(shè)f(x)=lnxx(x>0),則f(x)=1-lnxx2,可得函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,所以f(2.1)<f(2.2),即ln2.12.1<ln2.22.2,可化為2.12.2<2.22.1,即1<a<b,又c=log2.22.1<1,所以c<a<b,故選B.(2)設(shè)t=ln x,則不等式f(ln x)>3ln x+1等價于f(t)>3t+1.設(shè)g(x)=f(x)-3x-1,則g(x)=f(x)-3,f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)<3,g(x)=f(x)-3<0,函數(shù)g(x)=f(x)-3x-1在R上單調(diào)遞減.f(2)=7,g(2)=f(2)-32-1=0,則由g(t)=f(t)-3t-1>0=g(2),解得t<2,ln x<2,解得0<x<e2, 即不等式f(ln x)>3ln x+1的解集為(0,e2).【備選理由】 例1討論函數(shù)的單調(diào)性;例2可以進(jìn)一步明確不等式f(x)>0的解集對應(yīng)的區(qū)間是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,不等式f(x)<0的解集對應(yīng)的區(qū)間是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;例3為含參函數(shù)單調(diào)性的討論及利用單調(diào)性求參的綜合問題,旨在使學(xué)生加深對導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的理解,并強(qiáng)化處理參數(shù)問題的原則和方法.例1配合例1使用 已知函數(shù)f(x)=(x-a)ex-12ax2+a(a-1)x(xR).(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線為l,l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),求a的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性.解:(1)f(x)=(x-a)ex+ex-ax+a(a-1),f(0)=(a-1)2,又f(0)=-a,切線方程為y+a=(a-1)2(x-0).令y=0,得x=a(a-1)2=2,2a2-5a+2=0,a=2或a=12.(2)f(x)=(x-a)ex+ex-ax+a(a-1)=x-(a-1)(ex-a).當(dāng)a0時,ex-a>0,若x(-,a-1),則f(x)<0,f(x)為減函數(shù);若x(a-1,+),則f(x)>0,f(x)為增函數(shù).當(dāng)a>0時,令f(x)=0,得x1=a-1,x2=ln a.令g(a)=a-1-ln a,則g(a)=1-1a=a-1a,當(dāng)a(0,1)時,g(a)<0,g(a)為減函數(shù),當(dāng)a(1,+)時,g(a)>0,g(a)為增函數(shù),g(a)min=g(1)=0,a-1ln a(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取“=”).當(dāng)0<a<1或a>1時,若x(-,ln a),則f(x)>0,f(x)為增函數(shù);若x(ln a,a-1),則f(x)<0,f(x)為減函數(shù);若x(a-1,+),則f(x)>0,f(x)為增函數(shù).當(dāng)a=1時,f(x)=x(ex-1)0,f(x)在(-,+)上為增函數(shù).綜上所述:當(dāng)a0時,f(x)在(-,a-1)上為減函數(shù),在(a-1,+)上為增函數(shù);當(dāng)0<a<1或a>1時,f(x)在(ln a,a-1)上為減函數(shù),在(-,ln a)和(a-1,+)上為增函數(shù);當(dāng)a=1時,f(x)在(-,+)上為增函數(shù).例2配合例2使用 2018東莞模擬 已知函數(shù)f(x)=ax2e-x(a0),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:對f(x)求導(dǎo),得f(x)=a2xex-x2ex(ex)2=ax(2-x)ex.若a>0,則當(dāng)x(0,2)時,f(x)>0,當(dāng)x(-,0)或x(2,+)時,f(x)<0,所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(-,0),(2,+)上單調(diào)遞減.若a<0,則當(dāng)x(0,2)時,f(x)<0,當(dāng)x(-,0)或x(2,+)時,f(x)>0,所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(-,0),(2,+)上單調(diào)遞增.例3配合例3使用 2018重慶七校期末 已知函數(shù)f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n為常數(shù)).(1)當(dāng)n=1時,討論函數(shù)g(x)=exf(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)n=2時,若函數(shù)h(x)=x+f(x)ex在0,+)上單調(diào)遞增,求m的取值范圍.解:(1)當(dāng)n=1時,g(x)=exx2+(m+2)x+1,g(x)=exx2+(m+4)x+(m+3)=ex(x+1)x+(m+3).令g(x)=0,解得x=-1或x=-(m+3).當(dāng)-1<-(m+3),即m<-2時,函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(-m-3,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,-m-3);當(dāng)-1=-(m+3),即m=-2時,函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+),無單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)-1>-(m+3),即m>-2時,函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-m-3),(-1,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(-m-3,-1).(2)當(dāng)n=2時,h(x)=x+x2+(m+2)x+2ex,h(x)=1+-x2-mx+mex.由題意知,h(x)0在0,+)上恒成立,即ex-x2m(x-1)在0,+)上恒成立.當(dāng)x=1時,不等式成立.當(dāng)x1時,令k(x)=ex-x2x-1,則k(x)=(x-2)(ex-x)(x-1)2. 當(dāng)x>1時,只需k(x)m恒成立.ex-x>0恒成立(可求導(dǎo)證明),當(dāng)1<x<2時,k(x)<0,k(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>2時,k(x)>0,k(x)單調(diào)遞增.k(x)k(2)=e2-4,me2-4.當(dāng)0x<1時,只需k(x)m恒成立.0x<1,k(x)<0,k(x)單調(diào)遞減,k(x)k(0)=-1,m-1.綜上所述,-1me2-4.