【大綱版數(shù)學(xué)】步步高大一輪復(fù)習(xí)課件：1.2 簡易邏輯及充要條件

星火益佰精品課件 1.21.2 簡易邏輯及充要條件簡易邏輯及充要條件 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 要點梳理要點梳理 1邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的命題中的“ ”、 “ ”、“ ”叫做邏叫做邏 輯聯(lián)結(jié)詞輯聯(lián)結(jié)詞 或 且 非 (2)用來判斷復(fù)合命題的真假的真值表： p q 綈 p 綈 q P或q P且q 綈(p或q) 綈(p 且 q) 綈 p 或綈 q 綈 p 且綈 q 真 真 假 假 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 假 假 假 真 真 假 真 真 真真 假假 假假 假假 假假 假假 真真 真真 假假 真真 真真 真真 真真 2四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題 命題 表述形式 原命題 若 p，則 q 逆命題 否命題 逆否命題 若 q，則 p 若綈 p，則綈 q 若綈 q，則綈 p (2)四種命題間的逆否關(guān)系四種命題間的逆否關(guān)系 (3)四種命題的真假關(guān)系四種命題的真假關(guān)系 兩個命題互為逆否命題，它們有兩個命題互為逆否命題，它們有 的真假性；的真假性； 兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性 . 沒有關(guān)系沒有關(guān)系 相同相同 (2)四種命題間的逆否關(guān)系四種命題間的逆否關(guān)系 逆命題逆命題 逆否命題逆否命題 否命題否命題 3充分條件與必要條件充分條件與必要條件 (1)如果如果 pq，則，則 p 是是 q 的的 ，q 是是 p 的的 ； (2)如果如果 pq，qp，則，則 p 是是 q 的的 . 充分條件 必要條件 充要條件 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 1用集合的觀點，看充要條件用集合的觀點，看充要條件 設(shè)集合設(shè)集合 Ax|x 滿足條件滿足條件 p，Bx|x 滿足條件滿足條件 q， 則有：則有： (1)若若 AB，則，則 p 是是 q 的充分條件，若的充分條件，若 AB，則，則 p是是 q 的充分不必要條件；的充分不必要條件； (2)若若 BA，則，則 p 是是 q 的必要條件，若的必要條件，若 BA，則，則 p 是是 q 的必要不充分條件；的必要不充分條件； (3)若若 AB，則，則 p 是是 q 的充要條件；的充要條件； (4)若若 AB，且，且 BA，則，則 p 是是 q 的既不充分也不的既不充分也不必要條件必要條件 2從逆否命題，談等價轉(zhuǎn)換從逆否命題，談等價轉(zhuǎn)換 由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，由于互為逆否命題的兩個命題具有相同的真假性，因而，當(dāng)判斷原命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為因而，當(dāng)判斷原命題的真假比較困難時，可轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假這就是常說的判斷它的逆否命題的真假這就是常說的“正難則正難則反反” 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測 1下列命題中，所有真命題的序號是下列命題中，所有真命題的序號是_ 52 且且 74；34 或或 43； 2不是無理數(shù)不是無理數(shù) 解析解析 52 和和 74 都真，都真，52 且且 74 也真也真 34 假，假，43 真，真，34 或或 43 真真 2是無理數(shù)，是無理數(shù)， 2不是無理數(shù)假不是無理數(shù)假 點評點評 對含有對含有“或或”、“且且”、“非非”的復(fù)合命題的判的復(fù)合命題的判斷，先判斷簡單命題，再根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題斷，先判斷簡單命題，再根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題 2下列命題：下列命題： “全等三角形的面積相等全等三角形的面積相等”的逆命題；的逆命題； “若若 ab0，則，則 a0”的否命題；的否命題； “正三角形的三個角均為正三角形的三個角均為 60 ”的逆否命題，的逆否命題， 其中真命題的序號是其中真命題的序號是_ 解析解析 “全等三角形的面積相等全等三角形的面積相等”的逆命題為的逆命題為“面面積相等的三角形全等積相等的三角形全等”，顯然該命題為假命題；，顯然該命題為假命題； “若若 ab0，則，則 a0”的否命題為的否命題為“若若 ab0，則，則a0”，而由，而由 ab0 可得可得 a，b 都不為零，故都不為零，故 a0，所，所以該命題是真命題；以該命題是真命題； 由于原命題由于原命題“正三角形的三個角均為正三角形的三個角均為 60 ”是一個真是一個真命題，故其逆否命題也是真命題故填命題，故其逆否命題也是真命題故填. 3已知已知 a，b 是實數(shù)，則是實數(shù)，則“a0 且且 b0”是是“ab0 且且 ab0”的的_條件條件 解析解析 對于對于“a0 且且 b0”可以推出可以推出“ab0 且且ab0”，反之也是成立的，反之也是成立的 充分必要充分必要 4(2010 福建福建)若向量若向量 a(x,3)(xR)，則，則“x4”是是 “|a|5”的的 ( ) A充分而不必要條件充分而不必要條件 B必要而不充分條件必要而不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 由由 x4 知知|a| 42325； 反之，由反之，由|a| x2325，得，得 x4 或或 x4. 故故“x4”是是“|a|5”的充分而不必要條件，故選的充分而不必要條件，故選 A. A 5 若集合 若集合 A1， m2， B2,4， 則， 則“m2”是是“AB 4”的的 ( ) A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條件必要不充分條件 C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 由由“m2”可知可知 A1,4，B2,4，所以可以，所以可以推得推得 AB4，反之，若，反之，若“AB4”可以推得可以推得 m24， 解得， 解得 m2 或或2， 不能推得， 不能推得 m2， 所以， 所以“m2”是是“AB4”的充分不必要條件的充分不必要條件 A 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 題型一題型一 四種命題及其關(guān)系四種命題及其關(guān)系 例例 1 設(shè)原命題是設(shè)原命題是“當(dāng)當(dāng) c0 時，若時，若 ab，則，則 acbc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假們的真假 思維啟迪思維啟迪 先分清原命題的大前提，命題的條件和結(jié)先分清原命題的大前提，命題的條件和結(jié)論；再寫其他命題論；再寫其他命題 解解 “當(dāng)當(dāng) c0 時時”是大前提，寫其他命題時應(yīng)該保留，是大前提，寫其他命題時應(yīng)該保留，原命題的條件是原命題的條件是 ab，結(jié)論是，結(jié)論是 acbc. 因此它的逆命題：因此它的逆命題： 當(dāng)當(dāng) c0 時，若時，若 acbc，則，則 ab.它是真命題；它是真命題； 否命題：當(dāng)否命題：當(dāng) c0 時，若時，若 ab，則，則 acbc.它是真命題；它是真命題； 逆否命題：當(dāng)逆否命題：當(dāng) c0 時，若時，若 acbc，則，則 ab.它是真命題它是真命題 探究提高探究提高 在判斷四個命題之間的關(guān)系時， 首先要分清在判斷四個命題之間的關(guān)系時， 首先要分清命題的條件與結(jié)論， 再比較每個命題的條件與結(jié)論之間命題的條件與結(jié)論， 再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)的有了它的定為原命題，也就相應(yīng)的有了它的“逆命題逆命題”、“否命否命題題”、“逆否命題逆否命題”；要判定命題為假命題時只需舉反；要判定命題為假命題時只需舉反例；對涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手例；對涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 若若 a、b、cR，寫出命題，寫出命題“若若 ac0，則，則ax2bxc0 有兩個不相等的實數(shù)根有兩個不相等的實數(shù)根”的逆命題、的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假否命題、逆否命題，并判斷這三個命題的真假 解解 逆命題逆命題“若若 ax2bxc0 (a、b、cR)有兩個不有兩個不相等的實數(shù)根，則相等的實數(shù)根，則 ac0. 否命題否命題“若若 ac0，則方程，則方程 ax2bxc0 (a、b、cR)沒有兩個不相等的實數(shù)根沒有兩個不相等的實數(shù)根”是假命題這是因為它和逆是假命題這是因為它和逆命題互為逆否命題，而逆命題是假命題命題互為逆否命題，而逆命題是假命題 逆否命題逆否命題“若若 ax2bxc0 (a、b、cR)沒有兩個不沒有兩個不相等的實數(shù)根，則相等的實數(shù)根，則 ac0”是真命題因為原命題是真是真命題因為原命題是真命題，它與原命題等價命題，它與原命題等價 題型二題型二 充分、必要、充要條件的概念與判斷充分、必要、充要條件的概念與判斷 例例 2 指出下列命題中，指出下列命題中，p 是是 q 的什么條件的什么條件(在在“充分不充分不必要條件必要條件”、“必要不充分條件必要不充分條件”、“充要條件充要條件”、“既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件”中選出一種作答中選出一種作答) (1)在在ABC 中，中，p：AB，q：sin Asin B； (2)對于實數(shù)對于實數(shù) x、y，p：xy8，q：x2 或或 y6； (3)非空集合非空集合 A、B 中，中，p：xAB，q：xB； (4)已知已知 x、yR，p：(x1)2(y2)20， q：(x1)(y2)0. 思維啟迪思維啟迪 首先分清條件和結(jié)論，然后根據(jù)充要條件首先分清條件和結(jié)論，然后根據(jù)充要條件的定義進行判斷的定義進行判斷 解解 (1)在在ABC 中，中，ABsin Asin B，反之，反之，若若 sin Asin B， 因為， 因為 A 與與 B 不可能互補不可能互補(因為三角形三因為三角形三個內(nèi)角和為個內(nèi)角和為 180 )，所以只有，所以只有 AB.故故 p 是是 q 的充要條的充要條件件 (2)易知，易知，綈綈 p：xy8，綈綈 q：x2 且且 y6，顯然，顯然 綈綈 q綈綈 p，但，但綈綈 p綈綈 q，即，即綈綈 q 是是綈綈 p 的充分不必要的充分不必要條件，根據(jù)原命題和逆否命題的等價性知，條件，根據(jù)原命題和逆否命題的等價性知，p 是是 q 的充的充分不必要條件分不必要條件 (3)顯然顯然 xAB 不一定有不一定有 xB，但，但 xB 一定有一定有xAB，所以，所以 p 是是 q 的必要不充分條件的必要不充分條件 (4)條件條件 p：x1 且且 y2，條件，條件 q：x1 或或 y2， 所以所以 pq 但但 qp，故，故 p 是是 q 的充分不必要條件的充分不必要條件 探究提高探究提高 判斷判斷p p是是q q的什么條件， 需要從兩方面分析：的什么條件， 需要從兩方面分析：一是由條件一是由條件p p能否推得條件能否推得條件q q；二是由條件；二是由條件q q能否推得能否推得條件條件p p. .對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題， 除對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題， 除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 給出以下四個條件：給出以下四個條件： ab0； a0或或b0；ab2； a0 且且 b0.其中可以作為其中可以作為“若若 a， bR，則則 ab0”的一個充分而不必要條件的是的一個充分而不必要條件的是_ 解析解析 不是題中結(jié)論的充分條件， 如不是題中結(jié)論的充分條件， 如 a1， b2；不是題中結(jié)論的充分條件，如不是題中結(jié)論的充分條件，如 a1，b2；是是題中結(jié)論的充分而不必要條件，題中結(jié)論的充分而不必要條件，ab2ab0，但反，但反之不成立；之不成立；a0 且且 b0ab0，但反之不成立故填，但反之不成立故填. 題型三題型三 用用“或或”、“且且”、“非非”聯(lián)結(jié)簡單命題并判聯(lián)結(jié)簡單命題并判 斷真假斷真假 例例 3 寫出由下列各組命題構(gòu)成的寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p 或或 q”、“p 且且 q”、“綈綈 p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假形式的復(fù)合命題，并判斷真假 (1)p：1 是質(zhì)數(shù)；是質(zhì)數(shù)；q：1 是方程是方程 x22x30 的根；的根； (2)p：平行四邊形的對角線相等；：平行四邊形的對角線相等；q：平行四邊形的：平行四邊形的對角線互相垂直；對角線互相垂直； (3)p：55；q：27 不是質(zhì)數(shù)不是質(zhì)數(shù) 思維啟迪思維啟迪 (1)利用利用“或或”、 “且且”、“非非”把兩個命題把兩個命題聯(lián)結(jié)成新命題；聯(lián)結(jié)成新命題； (2)根據(jù)命題根據(jù)命題 p 和命題和命題 q 的真假判斷復(fù)合命題的真假的真假判斷復(fù)合命題的真假 解解 (1)p 為假命題，為假命題，q 為真命題為真命題 p 或或 q：1 是質(zhì)數(shù)或是方程是質(zhì)數(shù)或是方程 x22x30 的根，真命題的根，真命題 p 且且 q：1 既是質(zhì)數(shù)又是方程既是質(zhì)數(shù)又是方程 x22x30 的根，假命題的根，假命題 綈綈 p：1 不是質(zhì)數(shù)，真命題不是質(zhì)數(shù)，真命題 (2)p 為假命題，為假命題，q 為假命題為假命題 p 或或 q：平行四邊形的對角線相等或互相垂直，假命題：平行四邊形的對角線相等或互相垂直，假命題 p 且且 q：平行四邊形的對角線相等且互相垂直，假命題：平行四邊形的對角線相等且互相垂直，假命題 綈綈 p：有些平行四邊形的對角線不相等，真命題：有些平行四邊形的對角線不相等，真命題 (3)p 為真命題，為真命題，q 為真命題，為真命題， p 或或 q：55 或或 27 不是質(zhì)數(shù)，真命題不是質(zhì)數(shù)，真命題 p 且且 q：55 且且 27 不是質(zhì)數(shù)，真命題不是質(zhì)數(shù)，真命題 綈綈 p：55，假命題，假命題 探究提高探究提高 “ “p p或或q q”、“p p且且q q”、“ 綈綈p p”形式命形式命 題真假的判斷步驟：題真假的判斷步驟： (1)(1)確定命題的構(gòu)成形式；確定命題的構(gòu)成形式； (2)(2)判斷其中命題判斷其中命題p p、q q的真假；的真假； (3)(3)確定確定“p p或或q q”、“p p且且q q”、“ 綈綈p p”形式命題的形式命題的真假真假 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 3 指出下列命題的真假：指出下列命題的真假： (1)命題命題“不等式不等式|x2|0 沒有實數(shù)解沒有實數(shù)解”； (2)命題命題“1 是偶數(shù)或奇數(shù)是偶數(shù)或奇數(shù)”； (3)命題命題“ 2屬于集合屬于集合 Q，也屬于集合，也屬于集合 R”； (4)命題命題“A AB” 解解 (1)此命題是此命題是“綈綈 p”的形式，其中的形式，其中 p：“不等式不等式 |x2|0 有實數(shù)解有實數(shù)解”，因為，因為 x2 是該不等式的一是該不等式的一 個解，所以個解，所以 p 是真命題，即是真命題，即綈綈 p 是假命題，所以此命是假命題，所以此命 題是假命題題是假命題 (2)此命題是此命題是“p 或或 q”的形式， 其中的形式， 其中 p： “1 是偶數(shù)是偶數(shù)”，q：“1 是奇數(shù)是奇數(shù)”，因為，因為 p 為假命題，為假命題，q 為真命題，所為真命題，所以以 p 或或 q 是真命題，故此命題是真命題是真命題，故此命題是真命題 (3)此命題是此命題是“p 且且 q”的形式，其中的形式，其中 p：“ 2屬于集合屬于集合Q”，q：“ 2屬于集合屬于集合 R”，因為，因為 p 為假命題，為假命題，q 為真為真命題，所以命題，所以 p 且且 q 是假命題，故此命題是假命題是假命題，故此命題是假命題 (4)此命題是此命題是“綈綈 p”的形式，其中的形式，其中 p：“AAB”，因為因為 p 為真命題，所以為真命題，所以綈綈 p 為假命題，故此命題是假命為假命題，故此命題是假命題題 題型四題型四 根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假， 求參數(shù)的根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假， 求參數(shù)的 取值范圍取值范圍 例例 4 已知命題已知命題 p： 方程： 方程 x2mx10 有兩個不等的負有兩個不等的負實數(shù)根；命題實數(shù)根；命題 q：方程：方程 4x24(m2)x10 無實數(shù)無實數(shù)根若根若“p 或或 q”為真命題，為真命題，“p 且且 q”為假命題，求為假命題，求m 的取值范圍的取值范圍 思維啟迪思維啟迪 先解不等式將命題先解不等式將命題 p 與命題與命題 q 具體化，然后具體化，然后根據(jù)根據(jù)“p 或或 q”與與“p 且且 q”的條件可以知道命題的條件可以知道命題 p 與命與命題題 q 一真一假，從而求出一真一假，從而求出 m 的取值范圍的取值范圍 解解 由由 p 得：得： 1m240m2. 由由 q 得：得：216(m2)21616(m24m3)0， 則則 1m2m1或或m3或或 m21m3， 解得解得 m3 或或 10，設(shè)命題，設(shè)命題 p：函數(shù)：函數(shù) yax在在 R 上單調(diào)上單調(diào)遞增；命題遞增；命題 q：不等式：不等式 ax2ax10 對任意對任意 xR 恒成恒成立若立若 p 且且 q 為假，為假，p 或或 q 為真，求為真，求 a 的取值范圍的取值范圍 解解 函數(shù)函數(shù) yax在在 R 上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，p：a1. 不等式不等式 ax2ax10 對任意對任意 xR 恒成立，恒成立， a0 且且 a24a0，解得解得 0a4，q：0a1a4，得，得 a4. 當(dāng)當(dāng) p 假，假，q 真時，真時， 0a10a4，得，得 00，且，且 c1，設(shè)，設(shè) p：函數(shù)：函數(shù) ycx在在 R 上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減；q：函數(shù)：函數(shù) f(x)x22cx1 在在 12， 上為增函數(shù)， 若上為增函數(shù)， 若“p 且且 q”為假，為假， “p 或或 q”為真，求實數(shù)為真，求實數(shù) c 的取值范圍的取值范圍 審題視角審題視角 (1)p、q 真時，分別求出相應(yīng)的真時，分別求出相應(yīng)的 a 的范圍；的范圍； (2)用補集的思想，求出用補集的思想，求出綈綈 p、綈綈 q 分別對應(yīng)的分別對應(yīng)的 a 的范圍；的范圍；(3)根據(jù)根據(jù)“p 且且 q”為假、為假、“p 或或 q”為真，確定為真，確定 p、q 的的真假真假 規(guī)范解答規(guī)范解答 解解 函數(shù)函數(shù) ycx在在 R 上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減， 0c1. 2 分分 即即 p：0c0 且且 c1，綈綈 p：c1. 3 分分 又又f(x)x22cx1 在在 12， 上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，c12. 即即 q：00 且且 c1，綈綈 q：c12且且 c1. 5 分分 又又“p 或或 q”為真，為真，“p 且且 q”為假，為假，p 真真 q 假或假或 p 假假 q 真真 6 分分 當(dāng)當(dāng) p 真，真，q 假時，假時，c|0c12且且c1 c|12c1 c|0c12 . 10 分分 綜上所述，實數(shù)綜上所述，實數(shù) c 的取值范圍是的取值范圍是 c|12c) 小于小于() 是是 都是都是 否定否定 詞語詞語 不等于不等于() 不大于不大于() 不小于不小于() 不是不是 不都是不都是 正面正面 詞語詞語 至多有一個至多有一個 至少有一個至少有一個 有一個有一個 所有的所有的 否定否定 詞語詞語 至少有一個至少有一個 一個也沒有一個也沒有 某個某個 某些某些 失誤與防范失誤與防范 1否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論，而命否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論要注意區(qū)別題的否定是只否定命題的結(jié)論要注意區(qū)別 2判斷判斷 p 與與 q 之間的關(guān)系時，要注意之間的關(guān)系時，要注意 p 與與 q 之間關(guān)系的方之間關(guān)系的方向性，充分條件與必要條件方向正好相反，不要混淆向性，充分條件與必要條件方向正好相反，不要混淆 3p 或或 q 為真命題，只需為真命題，只需 p、q 有一個為真即可，有一個為真即可，p 且且 q 為為真命題，必須真命題，必須 p、q 同時為真同時為真 返回返回 星火益佰精品課件 第二章 函 數(shù) 2.12.1 映射與函數(shù)映射與函數(shù) 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 要點梳理要點梳理 1映射映射 （1）定義：設(shè)）定義：設(shè) A A，B B 是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān) 系系 f f ，對于集合，對于集合 A A 中的中的 ，在集合，在集合 B 中都有中都有 的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合 A A，B B，以及集合，以及集合 A A 到集合到集合 B B 的對應(yīng)關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系 f f ）叫做）叫做 的映射，記作的映射，記作 f f ：A AB B. （2）象和原象：給定一個集合）象和原象：給定一個集合 A A 到集合到集合 B B 的映射，且的映射，且 a a A A，b bB B，如果元素如果元素 a a 和元素和元素 b b 對應(yīng)，那么，我們把對應(yīng)，那么，我們把元素元素 b b 叫做元素叫做元素 a a 的的 ,元素元素 a a 叫做元素叫做元素 b b 的的 . 任何一個元素任何一個元素 唯一唯一 集合集合A A到集到集 合合B B 象象 原象原象 2一一映射一一映射 映射映射 f f ：A AB B 為一一映射，需具備以下兩個條件：為一一映射，需具備以下兩個條件： (1)在映射在映射f下，下， A中不同的元素在中不同的元素在B中有不同的象；中有不同的象； (2)B 中每一個元素都有原象中每一個元素都有原象 3函數(shù)函數(shù) （1）函數(shù)的定義）函數(shù)的定義 設(shè)設(shè) A A，B B 是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系系 f f ，使對于集合，使對于集合 A A 中的中的 ，在集合，在集合 B B中中 ，稱稱 f f ：A AB B 為為從集合從集合 A A 到集合到集合 B B 的一個函數(shù)的一個函數(shù).記作記作 y y=f f (x x),x xA A.x x的的取值范圍取值范圍 A A 叫做函數(shù)的叫做函數(shù)的 ， 叫做函數(shù)的值域叫做函數(shù)的值域. (2)函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素 、 和和 . (3)函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法：表示函數(shù)的常用方法： 、 、 . 任意一個數(shù)任意一個數(shù)x x 都有唯一確定的數(shù)都有唯一確定的數(shù)f f(x x)和它對和它對應(yīng)應(yīng) 定義域定義域 函數(shù)值的集合函數(shù)值的集合 f f( (x x )|)| x xA A 定義域定義域 值域值域 對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系 解析法解析法 列表法列表法 圖象法圖象法 4反函數(shù)反函數(shù) (1)定義定義 函數(shù)函數(shù) yf(x) (xA)中，設(shè)它的值域為中，設(shè)它的值域為 C，根據(jù)這個函，根據(jù)這個函數(shù)中數(shù)中 x， y 的關(guān)系， 用的關(guān)系， 用 y 把把 x 表示出來， 得到表示出來， 得到 x(y) 如 如果對于果對于 y 在在 C 中的中的 ，通過，通過 x(y)，x 在在 A中都有中都有 和它對應(yīng)，那么，和它對應(yīng)，那么，x(y)就表示就表示 y 是是自變量，自變量， x是自變量是自變量y的函數(shù)， 這樣的函數(shù)的函數(shù)， 這樣的函數(shù)x(y) (yC)叫做函數(shù)叫做函數(shù) yf(x) (xA)的的 ，記作，記作 ，習(xí)慣上用習(xí)慣上用 x 表示自變量，用表示自變量，用 y 表示函數(shù)，把它改寫成表示函數(shù)，把它改寫成 . (2)互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的關(guān)系互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的關(guān)系 函數(shù)函數(shù) yf(x)的圖象和它的反函數(shù)的圖象和它的反函數(shù) yf1(x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 直線直線 對稱對稱 任何一個值任何一個值 唯一的值唯一的值 反函數(shù)反函數(shù) x xf f1 1( (y y) ) y yf f1 1( (x x) ) y y x x 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 1映射的特征映射的特征 映射是特殊的對應(yīng)，其映射是特殊的對應(yīng)，其“特殊性特殊性”在于，它只能是在于，它只能是“一對一一對一”或或“多對一多對一”的對應(yīng)，不能是的對應(yīng)，不能是“一對一對多多”的對應(yīng) 故判斷一個對應(yīng)是否為映射的方法是：的對應(yīng) 故判斷一個對應(yīng)是否為映射的方法是：首先檢驗集合首先檢驗集合A中的每個元素是否在集合中的每個元素是否在集合B中都有中都有象；然后看集合象；然后看集合 A 中每個元素的象是否唯一另外中每個元素的象是否唯一另外還要注意，映射是有方向性的，即還要注意，映射是有方向性的，即 A 到到 B 的映射與的映射與B 到到 A 的映射是不同的的映射是不同的 對映射定義搞清如下幾點：對映射定義搞清如下幾點： (1)“對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系”重在效果，未必要寫出，可以重在效果，未必要寫出，可以“盡在盡在不言中不言中”；對應(yīng)關(guān)系未必都能用解析式表達；對應(yīng)關(guān)系未必都能用解析式表達 (2)A 中的每一個元素都有象， 且唯一；中的每一個元素都有象， 且唯一； B 中的元素未必中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一有原象，即使有，也未必唯一 (3)若對應(yīng)關(guān)系若對應(yīng)關(guān)系為為 f，則，則 a 的象記為的象記為 f(a) 2函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系 (1)函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于，集合函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于，集合 A 與集與集合合 B 只能是非空數(shù)集， 即函數(shù)是非空數(shù)集只能是非空數(shù)集， 即函數(shù)是非空數(shù)集 A 到非空到非空數(shù)集數(shù)集 B 的映射的映射 (2)映射不一定是函數(shù)，從映射不一定是函數(shù)，從 A 到到 B 的一個映射，的一個映射，A、B 若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù)若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù) 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測 1設(shè)一個函數(shù)的解析式為設(shè)一個函數(shù)的解析式為 f(x)2x3，它的值域為，它的值域為 1,2,5,8，則此函數(shù)的定義域為，則此函數(shù)的定義域為_ 解析解析 由函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的解析式可求由函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的解析式可求 2，12，1，52 2函數(shù)函數(shù) f(x)3x5，x0,1的反函數(shù)的反函數(shù) f1(x) _. 解析解析 y3x5，xy53，對換，對換 x、y 得得 yx53. 又又 0 x1，5y8， f(x)的反函數(shù)為的反函數(shù)為 f1(x)x53，5x8. x53，x5,8 3若函數(shù)若函數(shù) f(x2) tan x， (x0)，lg(x)， (x0).則則 f 42 f(98)_. 解析解析 f 42 tan 41， f(98)f(1002)lg 1002， 故故 f 42 f(98)122. 點評點評 運用運用“分段函數(shù)分段處理分段函數(shù)分段處理”的思想求解的思想求解 2 2 4設(shè)集合設(shè)集合 Mx|0 x2，Ny|0y2，那么下，那么下 面的面的 4 個圖形中， 能表示集合個圖形中， 能表示集合 M 到集合到集合 N 的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān)系的有系的有 ( ) A B C D 解析解析 由函數(shù)的定義，要使函數(shù)在定義域上都有圖象，由函數(shù)的定義，要使函數(shù)在定義域上都有圖象，并且一個并且一個 x 對應(yīng)著一個對應(yīng)著一個 y，據(jù)此排除，據(jù)此排除，中值域為中值域為y|0y3不合題意不合題意 D 5給出四個命題：給出四個命題： 函數(shù)是其定義域到值域的映射；函數(shù)是其定義域到值域的映射； f(x) x3 2x是函數(shù)；是函數(shù)； 函數(shù)函數(shù) y2x (xN)的圖象是一條直線；的圖象是一條直線； f(x)x2x與與 g(x)x 是同一個函數(shù)是同一個函數(shù) 其中正確的有其中正確的有 ( ) A1 個個 B2 個個 C3 個個 D4 個個 解析解析 由函數(shù)的定義知由函數(shù)的定義知正確正確 滿足滿足 f(x) x3 2x的的 x 不存在，不存在，不正確不正確 又又y2x (xN)的圖象是一條直線上的一群孤立的的圖象是一條直線上的一群孤立的點，點，不正確不正確. 又又f(x)與與 g(x)的定義域不同，的定義域不同，也不正確也不正確 A 題型分類題型分類 深度剖析深度剖析 題型一題型一 對函數(shù)概念的準(zhǔn)確理解對函數(shù)概念的準(zhǔn)確理解 例例 1 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)： (1)y1，yx0； (2)y x2 x2，y x24； (3)yx，y3t3； (4)y|x|，y( x)2. 思維啟迪思維啟迪 從函數(shù)的三要素的角度來判斷是否為同一從函數(shù)的三要素的角度來判斷是否為同一函數(shù)只有定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的函數(shù)才是同一函函數(shù)只有定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的函數(shù)才是同一函數(shù)數(shù). 解解 (1)y1 的定義域為的定義域為 R，yx0的定義域為的定義域為x|xR且且 x0，它們不它們不是同一函數(shù)是同一函數(shù) (2)y x2 x2的定義域為的定義域為x|x2 y x24的定義域為的定義域為x|x2 或或 x2， 它們不是同一函數(shù)它們不是同一函數(shù) (3)yx，y3t3t，它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同， 它們是同一函數(shù)它們是同一函數(shù) (4)y|x|的定義域為的定義域為 R，y( x)2的定義域為的定義域為x|x0，它們不是同一函數(shù)它們不是同一函數(shù) 探究提高探究提高 函數(shù)的三要素是：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)函數(shù)的三要素是：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系 這三要素不是獨立的， 值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系系 這三要素不是獨立的， 值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定； 因此當(dāng)唯一確定； 因此當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù) 特別值得說明的是， 對應(yīng)關(guān)系是就效數(shù)才是同一函數(shù) 特別值得說明的是， 對應(yīng)關(guān)系是就效果而言的果而言的(判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值， 按照對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值， 按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同)不是指形式上不是指形式上的即對應(yīng)關(guān)系是否相同，不能只看外形，要看本質(zhì)；的即對應(yīng)關(guān)系是否相同，不能只看外形，要看本質(zhì)；若是用解析式表示的，要看化簡后的形式才能正確判若是用解析式表示的，要看化簡后的形式才能正確判斷斷 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 1 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)： (1)f(x)|x|x，g(x) 1，x0，1，x0； (2)f(x) x x1，g(x) x2x； (3)f(x)x22x1，g(t)t22t1. 解解 (1)由于函數(shù)由于函數(shù) f(x)|x|x的定義域為的定義域為(，0)(0，)， 而而 g(x) 1，x0，1，x0的定義域為的定義域為 R，所以它們不是同一函數(shù)，所以它們不是同一函數(shù) (2)由于函數(shù)由于函數(shù) f(x) x x1的定義域為的定義域為x|x0，而，而 g(x)x2x的定義域為的定義域為x|x1 或或 x0，所以它們不是同一函數(shù)，所以它們不是同一函數(shù) (3)兩個函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同兩個函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù)一函數(shù) 題型二題型二 求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式 例例 2 (1)設(shè)二次函數(shù)設(shè)二次函數(shù) f(x)滿足滿足 f(x2)f(x2)，且，且圖象在圖象在 y 軸上的截距為軸上的截距為 1，被，被 x 軸截得的線段長為軸截得的線段長為2 2，求，求 f(x)的解析式；的解析式； (2)已知已知 f(x)滿足滿足 2f(x)f 1x3x，求，求 f(x) 思維啟迪思維啟迪 問題問題(1)由題設(shè)由題設(shè) f(x)為二次函數(shù)， 故可先設(shè)出為二次函數(shù)， 故可先設(shè)出f(x)的表達式，用待定系數(shù)法求解；問題的表達式，用待定系數(shù)法求解；問題(2)已知條件中已知條件中含含 x，1x，可用解方程組法求解，可用解方程組法求解 解解 (1)f(x)為二次函數(shù)，為二次函數(shù)， 設(shè)設(shè) f(x)ax2bxc (a0)，且，且 f(x)0 的兩根為的兩根為 x1，x2. 由由 f(x2)f(x2)，得，得 4ab0. 又又|x1x2|b24ac|a|2 2，b24ac8a2. 由已知得由已知得 c1. 由由、式解得式解得 b2，a12，c1， f(x)12x22x1. (2)把題目中的把題目中的 x 換成換成1x，得，得 2f 1xf(x)3x， 聯(lián)立方程聯(lián)立方程 2f(x)f 1x3x 2f 1xf(x)3x 2得得 3f(x)6x3x， 所以所以 f(x)2x1x (x0) 探究提高探究提高 求函數(shù)解析式的常用方法有：求函數(shù)解析式的常用方法有：(1)代入法，用代入法，用g(x)代入代入 f(x)中的中的 x，即得到，即得到 fg(x)的解析式；的解析式；(2)拼湊法，拼湊法，對對fg(x)的解析式進行拼湊變形， 使它能用的解析式進行拼湊變形， 使它能用g(x)表示出來，表示出來，再用再用 x 代替兩邊的所有代替兩邊的所有“g(x)”即可；即可；(3)換元法，設(shè)換元法，設(shè) tg(x)，解出，解出 x，代入，代入 fg(x)，得，得 f(t)的解析式即可；的解析式即可；(4)待定待定系數(shù)法， 若已知系數(shù)法， 若已知 f(x)的解析式的類型， 設(shè)出它的一般形式，的解析式的類型， 設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值，確定相關(guān)的系數(shù)即可；根據(jù)特殊值，確定相關(guān)的系數(shù)即可；(5)賦值法，給變量賦值法，給變量賦予某些特殊值，從而求出其解析式賦予某些特殊值，從而求出其解析式 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 2 (1)已知已知 f 2x1 lg x，求，求 f(x) (2)已知已知 f(x)是一次函數(shù)，且滿足是一次函數(shù)，且滿足 3f(x1)2f(x1) 2x17，求，求 f(x) 解解 (1)令令2x1t，則，則 x2t1， f(t)lg2t1，f(x)lg2x1，x(1，) (2)設(shè)設(shè) f(x)axb (a0)，則，則 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b axb5a2x17， a2，b7，故，故 f(x)2x7. 題型三題型三 分段函數(shù)分段函數(shù) 例例 3 已知已知 f(x) 1 (x0)1 (x0)， 求不等式， 求不等式 x(x2)f(x 2)5 的解集的解集 思維啟迪思維啟迪 分段函數(shù)問題，要把握好分段求解分段函數(shù)問題，要把握好分段求解 解解 由題意知：由題意知： x20 xx25或或 x20 xx25， 解之得解之得2x32或或 x2. 所以原不等式的解集為所以原不等式的解集為 ，32. 探究提高探究提高 分段函數(shù)是一個函數(shù)， 要注意每一分支中的分段函數(shù)是一個函數(shù)， 要注意每一分支中的自自變量的取值范圍，這些范圍的并集形成函數(shù)的定義變量的取值范圍，這些范圍的并集形成函數(shù)的定義域同樣它的值域應(yīng)是各階段相應(yīng)域同樣它的值域應(yīng)是各階段相應(yīng) y 的范圍的并集的范圍的并集 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練 3 (2010 湖北湖北)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x) log3x，x0，2x， x0， 則則 f f 19的值為的值為 ( ) A4 B.14 C4 D14 解析解析 f f 19f log319f(2)2214. B 題型四題型四 反函數(shù)反函數(shù) 例例 4 求下列各函數(shù)的反函數(shù)：求下列各函數(shù)的反函數(shù)： (1)ylog12(1x)1 (x1)； (2)y4 3x (x3) 思維啟迪思維啟迪 解關(guān)于解關(guān)于 x x 的方程的方程將將 x、y 兩個字母對換兩個字母對換確定定義域確定定義域 解解 (1)由由 ylog12(1x)1 (x1)， 得得 y1log12(1x) 1x 12y1，即，即 x1 12y1. 又當(dāng)又當(dāng) x0 且且 a1) 解解 (1)原函數(shù)原函數(shù) y x2的定義域是的定義域是x20， 即即 x2，值域為，值域為 y0， 由由 y x2，得，得x2y2. xy22. 故故 y x2的反函數(shù)是的反函數(shù)是 yx22 (x0) (2)設(shè)設(shè) y12(axax)，則，則 a2x2yax10. 解得解得 axy y21，由，由 ax0，知，知 axy y21， 即即 xloga(y y21) f1(x)loga(x x21) (xR) 易錯警示易錯警示 2求函數(shù)解析式忽略定義域致誤求函數(shù)解析式忽略定義域致誤 試題：試題：(12 分分)求函數(shù)解析式：求函數(shù)解析式： (1)已知已知 f x1xx31x3，求，求 f(x)； (2)已知已知 f( x1)x2 x，求，求 f(x) 學(xué)生解答展示學(xué)生解答展示 解解 33331111(1)()()3(),( )3 .f xxxxxxxxf xxx22222(2)1,(1)21,(1)2,( )21 2(1)1,( )1.xtxtttfxxxf tttttf xx 令即審題視角審題視角 解決此題目的關(guān)鍵是把解決此題目的關(guān)鍵是把 x1x， x1 作為一作為一個整體，然后將其用一個字母個整體，然后將其用一個字母 x 換下所以，可從右側(cè)換下所以，可從右側(cè)入手，如入手，如(1)將右端變成含將右端變成含“x1x”的表達式也可以從的表達式也可以從左端分析，用換元法解決，如左端分析，用換元法解決，如(2)，令，令 x1t，左端為，左端為f(t)然后化簡右端然后化簡右端 規(guī)范解答規(guī)范解答 解解 (1)f x1xx31x3 x1x33 x1x， 2 分分 f(x)x33x.又當(dāng)又當(dāng) x0 時，時，x1x2； 當(dāng)當(dāng) x0 時，時，x1x2. 4 分分 f(x)x33x (x2 或或 x2) 6 分分 (2)令令 x1t，則，則 t1.x(t1)2t22t1， f( x1)x2 x， f(t)t22t12(t1)t21. 即即 f(x)x21 (x1) 12分分 批閱筆記批閱筆記 求函數(shù)的解析式是一類重要的題目類型 換求函數(shù)的解析式是一類重要的題目類型 換元法是解決此類問題的基本方法，但根據(jù)題目特點，換元法是解決此類問題的基本方法，但根據(jù)題目特點，換元時略有不同一是先配湊，再換元，即通過觀察、分元時略有不同一是先配湊，再換元，即通過觀察、分析，將右端配湊成括號內(nèi)的表達式二是令括號內(nèi)的式析，將右端配湊成括號內(nèi)的表達式二是令括號內(nèi)的式子等于子等于 t，然后化簡，然后化簡 易錯點提醒易錯點提醒 求函數(shù)的解析式問題，一定要注意函數(shù)的求函數(shù)的解析式問題，一定要注意函數(shù)的定義域 這兩個小題最易忽略定義域， 從而致誤 換元，定義域 這兩個小題最易忽略定義域， 從而致誤 換元，首先要確定新元的取值范圍，這是防止漏掉定義域的好首先要確定新元的取值范圍，這是防止漏掉定義域的好辦法辦法 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法與技巧方法與技巧 1若兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系一致，并且定義域相同，則若兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系一致，并且定義域相同，則兩個函數(shù)為同一函數(shù)兩個函數(shù)為同一函數(shù) 2函數(shù)有三種表示方法：列表法、圖象法和解析法，函數(shù)有三種表示方法：列表法、圖象法和解析法，三者之間是可以互相轉(zhuǎn)化的；求函數(shù)解析式比較常三者之間是可以互相轉(zhuǎn)化的；求函數(shù)解析式比較常見的方法有代入法、換元法、待定系數(shù)法和解函數(shù)見的方法有代入法、換元法、待定系數(shù)法和解函數(shù)方程等，特別要注意將實際問題化歸為函數(shù)問題，方程等，特別要注意將實際問題化歸為函數(shù)問題，通過設(shè)自變量，寫出函數(shù)的解析式并明確定義域，通過設(shè)自變量，寫出函數(shù)的解析式并明確定義域，還應(yīng)注意使用待定系數(shù)法時函數(shù)解析式的設(shè)法，針還應(yīng)注意使用待定系數(shù)法時函數(shù)解析式的設(shè)法，針對近幾年的高考分段函數(shù)問題要引起足夠的重視對近幾年的高考分段函數(shù)問題要引起足夠的重視 3定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù)，對函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義域上進行，堅據(jù)，對函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義域上進行，堅持定義域優(yōu)先的原則，之所以要做到這一點，不僅持定義域優(yōu)先的原則，之所以要做到這一點，不僅是為了防止出現(xiàn)錯誤，有時還會為解題帶來很大的是為了防止出現(xiàn)錯誤，有時還會為解題帶來很大的方便方便 失誤與防范失誤與防范 1判斷對應(yīng)是否為映射，即看判斷對應(yīng)是否為映射，即看 A 中元素是否滿足中元素是否滿足“每每元有象元有象”和和“且象惟一且象惟一”但要注意：但要注意：(1)A 中不同中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多；多；(2)B 中元素可無原象，即中元素可無原象，即 B 中元素可有剩余中元素可有剩余 2求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題 在求分段函數(shù)的值在求分段函數(shù)的值 f(x0)時， 一定要首先判斷時， 一定要首先判斷 x0屬于屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分定義域的哪個子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集的取值范圍的并集 返回返回