【選修1-11-24-5】:專題六 不等式選講 Word版含解析
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【選修1-11-24-5】:專題六 不等式選講 Word版含解析
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5一、題之源:課本基礎(chǔ)知識(shí)1絕對(duì)值三角不等式定理1:如果a,b是實(shí)數(shù),則|ab|a|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|ac|ab|bc|,當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí),等號(hào)成立2絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集:不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a或x<ax|xR且x0R(2)|axb|c(c>0)和|axb|c(c>0)型不等式的解法:|axb|ccaxbc;|axb|caxbc或axbc3基本不等式定理1:設(shè)a,bR,則a2b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立定理2:如果a、b為正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立定理3:如果a、b、c為正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號(hào)成立定理4:(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1,a2,an為n個(gè)正數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時(shí),等號(hào)成立4柯西不等式(1)設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則(a2b2)(c2d2)(acbd)2,當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立(2)若ai,bi(i1,2,n)為實(shí)數(shù),則(a)(b)(aibi)2,當(dāng)且僅當(dāng)(當(dāng)ai0時(shí),約定bi0,i1,2,n)時(shí)等號(hào)成立(3)柯西不等式的向量形式:設(shè),為平面上的兩個(gè)向量,則|,當(dāng)且僅當(dāng),共線時(shí)等號(hào)成立5不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等二、題之本:思想方法技巧1解絕對(duì)值不等式要掌握去絕對(duì)值符號(hào)的方法,必要時(shí)運(yùn)用分類討論的思想,有時(shí)也可利用絕對(duì)值的幾何意義解題去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法主要有:公式法、分段討論法、平方法、幾何法等這幾種方法應(yīng)用時(shí)各有側(cè)重,在解只含有一個(gè)絕對(duì)值的不等式時(shí),用公式法較為簡(jiǎn)便;但是若不等式含有多個(gè)絕對(duì)值時(shí),則應(yīng)采用分段討論法;應(yīng)用平方法時(shí),要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運(yùn)用因此,在去絕對(duì)值符號(hào)時(shí),用何種方法須視具體情況而定2在對(duì)不等式證明題進(jìn)行分析,尋找解(證)題的途徑時(shí),要提倡綜合法和分析法同時(shí)使用,如同打山洞一樣,由兩頭向中間掘進(jìn),這樣可以縮短條件與結(jié)論的距離,是數(shù)學(xué)解題分析中最有效的方法之一3作差比較法一般適用于式子為多項(xiàng)式、對(duì)數(shù)式、三角式結(jié)構(gòu);作商比較法一般適用于式子為乘積、冪結(jié)構(gòu)4運(yùn)用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解決恒成立問題中的參數(shù)范圍問題5用放縮法證不等式,將所證不等式中的某些項(xiàng)的質(zhì)適當(dāng)放大或縮小(主要方法是拆分、配湊、增減項(xiàng)等),可使有關(guān)項(xiàng)之間的不等關(guān)系更加明晰,更加強(qiáng)化,且有利于式子的代數(shù)變形、化簡(jiǎn),從而達(dá)到證明的目的這種方法靈活性較大,技巧性較強(qiáng)6.注意下面幾個(gè)絕對(duì)值的函數(shù)最值的求法:,。三、題之變:課本典例改編1. 原題(選修4-5第十頁習(xí)題1.1第十一題)改編1 已知.求的最小值.【解析】由于,當(dāng)=時(shí)有最小值.改編2 已知求的最小值.【解析】故ax=by=cz時(shí),有最小值.改編3 已知,求的最大值.【解析】由于,當(dāng)a=b=c時(shí)有最大值3. 2.原題(選修4-5第十頁習(xí)題1.1第十五題)改編 已知若H=max,求H的最小值【解析】H>0,H>0.H>0,.3.原題(選修4-5第十六頁例3)改編1 不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍 .改編2 已知函數(shù)(1)若不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的值。(2)在(1)的條件下,令()若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。()若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍?!窘馕觥浚?)由得:,所以 ,即 .(2)由(1)可得:,則() ,則的最小值是15,故,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.()由題意得:, ,即解不等式得:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.4.原題(選修4-5第十頁習(xí)題1.1第十一題)改編 設(shè),且, 若不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。