高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學(xué)案 文 北師大版

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第三節(jié)圓的方程 考綱傳真1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想(對應(yīng)學(xué)生用書第114頁) 基礎(chǔ)知識填充1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圓心，半徑2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.知識拓展1二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是2以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF>0.()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F>0.()解析由圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知(1)(3)(4)正確(2)中，當(dāng)t0時，表示圓心為(a，b)，半徑為|t|的圓，不正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是()Aa2或aBa0C2a0D2aD由題意知a24a24(2a2a1)0，解得2a.3(20xx全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()AB CD2A圓x2y22x8y130，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線axy10的距離d1，解得a.4(20xx西安質(zhì)檢)若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線yx對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_x2(y1)21兩圓關(guān)于直線對稱則圓心關(guān)于直線對稱，半徑相等，則圓C的圓心為(0,1)，半徑為1，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21.5圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090274】(x2)2y210設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)在圓C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圓心為C(2,0)，半徑|CA|，圓C的方程為(x2)2y210.(對應(yīng)學(xué)生用書第115頁)求圓的方程(1)(20xx全國卷)已知三點(diǎn)A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()ABCD(2)(20xx天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_(1)B(2)(x2)2y29(1)法一：在坐標(biāo)系中畫出ABC(如圖)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|AB|AC|BC|2(也可以借助圖形直接觀察得出)，所以ABC為等邊三角形設(shè)BC的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E為外心，同時也是重心所以|AE|AD|，從而|OE|，故選B法二：設(shè)圓的一般方程為x2y2DxEyF0，則解得所以ABC外接圓的圓心為.因此圓心到原點(diǎn)的距離d.(2)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a>0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.規(guī)律方法1.直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程2待定系數(shù)法求圓的方程：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值溫馨提醒：解答圓的方程問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)變式訓(xùn)練1(1)(20xx鄭州模擬)經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3，2)，且圓心在直線2xy30上的圓的方程為_. 【導(dǎo)學(xué)號：00090275】(2)(20xx青島模擬)圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x2)2(y1)24(1)法一：圓過A(5,2)，B(3，2)兩點(diǎn)，圓心一定在線段AB的垂直平分線上易知線段AB的垂直平分線方程為y(x4)設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，則有解得a2，且b1.因此圓心坐標(biāo)C(2,1)，半徑r|AC|.故所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F0)，則解得D4，E2，F(xiàn)5，所求圓的方程為x2y24x2y50.(2)設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b0)，由題意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)24.與圓有關(guān)的最值問題已知M(x，y)為圓C：x2y24x14y450上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圓C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以2，可得2k2，的最大值為2，最小值為2.母題探究1(變化結(jié)論)在本例的條件下，求yx的最大值和最小值解設(shè)yxb，則xyb0.當(dāng)直線yxb與圓C相切時，截距b取到最值，2，b9或b1.因此yx的最大值為9，最小值為1.母題探究2(變換條件)若本例中條件“點(diǎn)Q(2,3)”改為“點(diǎn)Q是直線3x4y10上的動點(diǎn)”，其它條件不變，試求|MQ|的最小值解圓心C(2,7)到直線3x4y10上動點(diǎn)Q的最小值為點(diǎn)C到直線3x4y10的距離，|QC|mind7.又圓C的半徑r2，|MQ|的最小值為72.規(guī)律方法1.處理與圓有關(guān)的最值問題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解2某些與圓相關(guān)的最值可利用函數(shù)關(guān)系求解根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求最值是比較常用的變式訓(xùn)練2已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓(1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時，解得k(如圖1)所以的最大值為，最小值為.圖1圖2圖3(2)yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，當(dāng)直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2(如圖2)所以yx的最大值為2，最小值為2.(3)x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3)又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.與圓有關(guān)的軌跡問題(20xx煙臺模擬)已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解變式訓(xùn)練3(20xx武威模擬)設(shè)定點(diǎn)M(3,4)，動點(diǎn)N在圓x2y24上運(yùn)動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡解如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對角線互相平分，故，.從而又N(x3，y4)在圓上，故(x3)2(y4)24.因此所求軌跡為圓：(x3)2(y4)24，但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上的情況)