高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科： 第6章 不等式、推理與證明 第4節(jié) 歸納與類比學(xué)案 文 北師大版

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第四節(jié)歸納與類比考綱傳真1.了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理，體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異；掌握演繹推理的“三段論”，能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的演繹推理(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第87頁(yè)) 基礎(chǔ)知識(shí)填充1歸納推理：根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)都有這種屬性我們將這種推理方式稱為歸納推理簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理2類比推理：由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過(guò)程稱為類比推理簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理3歸納推理和類比推理是最常見(jiàn)的合情推理，合情推理的結(jié)果不一定正確4演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理()(2)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()(3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的()(4)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確()答案(1)(2)(3)(4)2由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推出“半徑為R的球的內(nèi)接長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大”是()A歸納推理B類比推理C演繹推理D以上都不是B類比推理的一般步驟是：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)所以，由“半徑為R的圓內(nèi)接矩形中，正方形的面積最大”，推理出“半徑為R的球的內(nèi)接長(zhǎng)方體中，正方體的體積最大”是類比推理，選B3(教材改編)已知數(shù)列an中，a11，n2時(shí)，anan12n1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是()Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1Ca11，a24，a39，a416，猜想ann2.4“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)yax是增函數(shù)(大前提)，而yx是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)yx是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯(cuò)誤在于()A大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤B小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤D大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤A“指數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)”是本推理的大前提，它是錯(cuò)誤的因?yàn)閷?shí)數(shù)a的取值范圍沒(méi)有確定，所以導(dǎo)致結(jié)論是錯(cuò)誤的5(20xx開(kāi)封模擬)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090211】A由題意可推斷：甲沒(méi)去過(guò)B城市，但比乙去的城市多，而丙說(shuō)“三人去過(guò)同一城市”，說(shuō)明甲去過(guò)A，C城市，而乙“沒(méi)去過(guò)C城市”，說(shuō)明乙去過(guò)城市A，由此可知，乙去過(guò)的城市為A(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第88頁(yè))歸納推理(1)數(shù)列，的第20項(xiàng)是()ABCD(2)(20xx山東高考)觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.(1)C(2)n(n1)(1)數(shù)列在數(shù)列中是第123m項(xiàng)，當(dāng)m5時(shí)，即是數(shù)列中第15項(xiàng)，則第20項(xiàng)是，故選C(2)通過(guò)觀察已給出等式的特點(diǎn)，可知等式右邊的是個(gè)固定數(shù)，后面第一個(gè)數(shù)是等式左邊最后一個(gè)數(shù)括號(hào)內(nèi)角度值分子中的系數(shù)的一半，后面第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為n(n1)，即n(n1)規(guī)律方法1.常見(jiàn)的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納，解決此類問(wèn)題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納，合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題變式訓(xùn)練1(1)已知x(0，)，觀察下列各式：x2，x3，x4，類比得xn1(nN*)，則a_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090212】(2)下面圖形由小正方形組成，請(qǐng)觀察圖641(1)至圖(4)的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是_圖641(1)nn(nN*)(2)(nN*)(1)第一個(gè)式子是n1的情況，此時(shí)a111；第二個(gè)式子是n2的情況，此時(shí)a224；第三個(gè)式子是n3的情況，此時(shí)a3327，歸納可知ann.(2)由題圖知第n個(gè)圖形的小正方形個(gè)數(shù)為123n.所以總個(gè)數(shù)為(nN*)類比推理(1)(20xx陜西師大附中模擬)若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn也是等差數(shù)列，類比這一性質(zhì)可知，若正項(xiàng)數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()AdnBdnCdnDdn(2)在平面幾何中，ABC的C的平分線CE分AB所成線段的比為.把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖642)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是_圖642(1)D(2)(1)法一：從商類比開(kāi)方，從和類比到積，則算術(shù)平均數(shù)可以類比幾何平均數(shù)，故dn的表達(dá)式為dn.法二：若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn為等比數(shù)列，故選D(2)由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得.規(guī)律方法1.進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比，提出猜想，其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵2類比推理常見(jiàn)的情形有：平面與空間類比；低維與高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；運(yùn)算類比(和與積、乘與乘方，差與除，除與開(kāi)方)數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等變式訓(xùn)練2(20xx江淮十校聯(lián)考)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”其體現(xiàn)的是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在中“”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x，這可以通過(guò)方程x確定出來(lái)x2，類似地不難得到1() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090213】A BCDC1x，即1x，即x2x10，解得x，故1，故選C演繹推理數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a11，an1Sn(nN*)證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2分2，又10，(小前提)故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)5分(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)8分又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結(jié)論)(第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件)12分規(guī)律方法演繹推理的一般模式為三段論，三段論推理的依據(jù)是：如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是大前提，小前提，然后再找結(jié)論變式訓(xùn)練3(20xx全國(guó)卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)根據(jù)以上信息，則()A乙可以知道四人的成績(jī)B丁可以知道四人的成績(jī)C乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D乙、丁可以知道自己的成績(jī)D由甲說(shuō)：“我還是不知道我的成績(jī)”可推知甲看到乙、丙的成績(jī)?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀、1個(gè)良好”乙看丙的成績(jī)，結(jié)合甲的說(shuō)法，丙為“優(yōu)秀”時(shí)，乙為“良好”；丙為“良好”時(shí)，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績(jī)丁看甲的成績(jī)，結(jié)合甲的說(shuō)法，甲為“優(yōu)秀”時(shí)，丁為“良好”；甲為“良好”時(shí)，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績(jī)故選D