高考數(shù)學(xué)江蘇專(zhuān)用理科專(zhuān)題復(fù)習(xí)：專(zhuān)題專(zhuān)題3 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第22練 Word版含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5訓(xùn)練目標(biāo)(1)利用導(dǎo)數(shù)處理與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的題型；(2)解題步驟的規(guī)范訓(xùn)練訓(xùn)練題型(1)利用導(dǎo)數(shù)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)利用導(dǎo)數(shù)證明零點(diǎn)的唯一性；(3)根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)借助導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍解題策略(1)注重?cái)?shù)形結(jié)合；(2)借助零點(diǎn)存在性定理處理零點(diǎn)的存在性問(wèn)題；結(jié)合單調(diào)性處理零點(diǎn)的唯一性問(wèn)題；(3)注意參變量分離.1(20xx廣東)設(shè)a1，函數(shù)f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)2函數(shù)f(x)x3kx，其中實(shí)數(shù)k為常數(shù)(1)當(dāng)k4時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線(xiàn)yf(x)與直線(xiàn)yk只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍3(20xx南京、鹽城、徐州二模)已知函數(shù)f(x)1lnx，其中k為常數(shù)(1)若k0，求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程；(2)若k5，求證：f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(3)若k為整數(shù)，且當(dāng)x2時(shí)，f(x)0恒成立，求k的最大值(參考數(shù)據(jù)ln82.08，ln92.20，ln102.30)4(20xx山東)設(shè)函數(shù)f(x)(xa)lnx，g(x).已知曲線(xiàn)yf(x) 在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然數(shù)k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由5已知函數(shù)f(x)(xa)ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時(shí)，試確定函數(shù)g(x)f(xa)x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由答案精析1(1)解f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex，xR，f(x)0恒成立f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)(2)證明f(0)1a，f(a)(1a2)eaa，a1，f(0)0，f(a)2aeaa2aaa0，f(0)f(a)0，f(x)在(0，a)上有一個(gè)零點(diǎn)，又f(x)在(，)上遞增，f(x)在(0，a)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，f(x)在(，)上僅有一個(gè)零點(diǎn)2解(1)因?yàn)閒(x)x2k，當(dāng)k4時(shí)，f(x)x24，令f(x)x240，所以x12，x22.f(x)、f(x)隨x的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，2)，(2，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(2,2)(2)令g(x)f(x)k，由題意知，g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)間(x)f(x)x2k.當(dāng)k0時(shí)，g(x)x3，所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)0.當(dāng)k0時(shí)，g(x)x2k0對(duì)xR恒成立，所以g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)k0時(shí)，令g(x)f(x)x2k0，解得x1或x2.g(x)，g(x)隨x的變化情況如下表：x(，)(，)(，)g(x)00g(x)極大值極小值g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于g()0，即kk0，解得0k.綜上所述，k的取值范圍是k.3(1)解當(dāng)k0時(shí)，f(x)1lnx.因?yàn)閒(x)，從而f(1)1.又f(1)1，所以曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程為y1x1，即xy0.(2)證明當(dāng)k5時(shí)，f(x)lnx4.因?yàn)閒(x)，所以當(dāng)x(0,10)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(10，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x10時(shí)，f(x)有極小值因?yàn)閒(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1,10)之間有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)閒(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之間有一個(gè)零點(diǎn)，從而f(x)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)(3)解方法一由題意知，1lnx0對(duì)x(2，)恒成立，即k對(duì)x(2，)恒成立令h(x)，則h(x).設(shè)v(x)x2lnx4，則v(x).當(dāng)x(2，)時(shí)，v(x)0，所以v(x)在(2，)上為增函數(shù)因?yàn)関(8)82ln8442ln80，v(9)52ln90，所以存在x0(8,9)，v(x0)0，即x02lnx040.當(dāng)x(2，x0)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xx0時(shí)，h(x)的最小值為h(x0).因?yàn)閘nx0，所以h(x0)(4,4.5)，故所求的整數(shù)k的最大值為4.方法二由題意知，1lnx0對(duì)x(2，)恒成立f(x)1lnx，f(x).當(dāng)2k2，即k1時(shí)，f(x)0對(duì)x(2，)恒成立，所以f(x)在(2，)上單調(diào)遞增而f(2)1ln20成立，所以滿(mǎn)足要求當(dāng)2k2，即k1時(shí)，當(dāng)x(2,2k)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(2k，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x2k時(shí)，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk，從而f(x)0在x(2，)時(shí)恒成立，等價(jià)于2ln2kk0.令g(k)2ln2kk，則g(k)0，從而g(k)在(1，)上為減函數(shù)因?yàn)間(4)ln820，g(5)ln1030，所以使2ln2kk0成立的最大正整數(shù)k4.綜合知，所求的整數(shù)k的最大值為4.4解(1)由題意知，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)斜率為2，所以f(1)2，又f(x)lnx1，所以a1.(2)當(dāng)k1時(shí)，方程f(x)g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根設(shè)h(x)f(x)g(x)(x1)lnx，當(dāng)x(0,1時(shí)，h(x)0.又h(2)3ln2ln8110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0.因?yàn)閔(x)lnx1，所以當(dāng)x(1,2)時(shí)，h(x)10，當(dāng)x2，)時(shí)，h(x)0，所以當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)k1時(shí)，方程f(x)g(x)在(k，k1)內(nèi)存在唯一的根5解(1)因?yàn)閒(x)(xa)ex，xR，所以f(x)(xa1)ex.令f(x)0，得xa1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)和f(x)的變化情況如下：x(，a1)a1(a1，)f(x)0f(x)極小值故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，a1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(a1，)(2)結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)理由如下：由g(x)f(xa)x20，得方程xexax2，顯然x0為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以x0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x0時(shí)，方程可化簡(jiǎn)為exax.設(shè)函數(shù)F(x)exax，則F(x)exa1，令F(x)0，得xa.當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)(x)和F(x)的變化情況如下：x(，a)a(a，)F(x)0F(x)極小值即F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，a)所以F(x)的最小值F(x)minF(a)1a.因?yàn)閍1，所以F(x)minF(a)1a0，所以對(duì)于任意xR，F(xiàn)(x)0，因此方程exax無(wú)實(shí)數(shù)解所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn)綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)