人教版 高中數(shù)學(xué)選修23 教學(xué)案2.2.1　條件概率

人教版高中數(shù)學(xué)精品資料221條件概率預(yù)習(xí)課本P5153，思考并完成以下問題1條件概率的定義是什么？它的計(jì)算公式有哪些？2條件概率的特點(diǎn)是什么？它具有哪些性質(zhì)？1條件概率(1)概念設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率(2)計(jì)算公式縮小樣本空間法：P(B|A)；公式法：P(B|A)點(diǎn)睛(1)P(B|A)與P(A|B)意義不同，由條件概率的定義可知P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率；而P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率(2)P(B|A)與P(B)：在事件A發(fā)生的前提下，事件B發(fā)生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)與P(B)不一定相等2條件概率的性質(zhì)(1)有界性：0P(B|A)1(2)可加性：如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)點(diǎn)睛對條件概率性質(zhì)的兩點(diǎn)說明(1)前提條件：P(A)>0(2)P(BC|A)P(B|A)P(C|A)，必須B與C互斥，并且都是在同一個條件A下1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)1()(2)事件A發(fā)生的條件下， 事件B發(fā)生，相當(dāng)于A, B同時發(fā)生()答案：(1)(2)2已知P(AB)，P(A)，則P(B|A)為()ABC D答案：B3下列式子成立的是()AP(A|B)P(B|A) B0<P(B|A)<1CP(AB)P(B|A)P(A) DP(AB|A)P(B)答案：C4把一枚硬幣任意擲兩次，事件A第一次出現(xiàn)正面，事件B第二次出現(xiàn)正面，則P(B|A)_答案：條件概率的計(jì)算典例拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，求：(1)事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率(2)事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率解法一定義法拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件總數(shù)為6636，事件A的基本事件數(shù)為6212，所以P(A)由于36634554>8,466455>8,5665>8,66>8，所以事件B的基本事件數(shù)為432110，所以P(B)在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，即事件AB的基本事件數(shù)為6故P(AB)由條件概率公式，得(1)P(B|A)，(2)P(A|B)法二縮減基本事件總數(shù)法n(A)6212由36634554>8,466455>8,5665>8,66>8知，n(B)10，其中n(AB)6所以(1)P(B|A)，(2)P(A|B)計(jì)算條件概率的兩種方法提醒：(1)對定義法，要注意P(AB)的求法(2)對第二種方法，要注意n(AB)與n(A)的求法活學(xué)活用1已知某產(chǎn)品的次品率為4%，其合格品中75%為一級品，則任選一件為一級品的概率為()A75%B96%C72% D78125%解析：選C記“任選一件產(chǎn)品是合格品”為事件A，則P(A)1P()14%96% 記“任選一件產(chǎn)品是一級品”為事件B由于一級品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)P(B)由合格品中75%為一級品知P(B|A)75%; 故P(B)P(AB)P(A)P(B|A)96%75%72%2一個盒子中有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不放回若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率解：令A(yù)第1只是好的，B第2只是好的，法一：n(A)CC，n(AB)CC，故P(B|A)法二：因事件A已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件B發(fā)生便可，在A發(fā)生的條件下，盒中僅剩9只晶體管，其中5只好的，所以P(B|A)條件概率的應(yīng)用典例在一個袋子中裝有10個球，設(shè)有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率解法一：設(shè)“摸出第一個球?yàn)榧t球”為事件A，“摸出第二個球?yàn)辄S球”為事件B，“摸出第二個球?yàn)楹谇颉睘槭录﨏，則P(A)，P(AB)，P(AC)P(B|A)，P(C|A)P(BC|A)P(B|A)P(C|A)所求的條件概率為法二：n(A)1C9，n(BC|A)CC5，P(BC|A)所求的條件概率為利用條件概率性質(zhì)的解題策略(1)分析條件，選擇公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，則選擇公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A) (2)分解計(jì)算，代入求值：為了求比較復(fù)雜事件的概率，一般先把它分解成兩個(或若干個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率活學(xué)活用在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，若考生至少能答對其中4道題即可通過，至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀已知某考生能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，求他獲得優(yōu)秀成績的概率解：記事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另一道答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道題答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且DABC，EAB，可知P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)，P(AD)P(A)，P(BD)P(B)，P(E|D)P(A|D)P(B|D)故所求的概率為層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1已知P(B|A)，P(A)，則P(AB)等于()ABC D解析：選CP(AB)P(B|A)P(A)24張獎券中只有1張能中獎，現(xiàn)分別由4名同學(xué)無放回地抽取若已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎券，則最后一名同學(xué)抽到中獎券的概率是()A BC D1解析：選B因?yàn)榈谝幻瑢W(xué)沒有抽到中獎券，所以問題變?yōu)?張獎券，1張能中獎，最后一名同學(xué)抽到中獎券的概率顯然是3甲、乙、丙三人到三個景點(diǎn)旅游，每人只去一個景點(diǎn)，設(shè)事件A為“三個人去的景點(diǎn)不相同”，B為“甲獨(dú)自去一個景點(diǎn)”，則概率P(A|B)等于()A BC D解析：選C由題意可知，n(B)C2212，n(AB)A6P(A|B)4甲、乙兩市都位于長江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時下雨占12%，記P(A)02，P(B)018，P(AB)012，則P(A|B)和P(B|A)分別等于()A， B ，C， D ，解析：選CP(A|B)，P(B|A)5用“0”“1”“2”組成的三位數(shù)碼組中，若用A表示“第二位數(shù)字為0”的事件，用B表示“第一位數(shù)字為0”的事件，則P(A|B)()A BC D解析：選B法一：P(B)，P(AB)，P(A|B)，故選B法二：在B發(fā)生的條件下，問題轉(zhuǎn)化為：用“0”“1”“2”組成三位數(shù)碼，其中第二位數(shù)字為0，則P(A|B)為在上述條件下，第一位數(shù)字為0的概率，P(A|B)6投擲兩顆均勻的骰子，已知點(diǎn)數(shù)不同，設(shè)兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為，則6的概率為_解析：設(shè)A“投擲兩顆骰子，其點(diǎn)數(shù)不同”，B“6”，則P(A)，P(AB)，P(B|A)答案：7一個家庭中有兩個小孩假定生男、生女是等可能的，已知這個家庭有一個是女孩，則這時另一個小孩是男孩的概率是_解析：設(shè)A“其中一個是女孩”，B“其中一個是男孩”，則P(A)，P(AB)，P(B|A)答案：8盒中裝有6件產(chǎn)品，其中4件一等品，2件二等品，從中不放回地取產(chǎn)品，每次1件，取兩次，已知第二次取得一等品，則第一次取得的是二等品的概率是_解析：令第二次取得一等品為事件A，第一次取得二等品為事件B，則P(AB)，P(A)所以P(B|A)答案：9五個乒乓球，其中3個新的，2個舊的，每次取一個，不放回的取兩次，求：(1)第一次取到新球的概率；(2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的條件下，第二次取到新球的概率解：設(shè)第一次取到新球?yàn)槭录嗀，第二次取到新球?yàn)槭录﨎(1)P(A)(2)P(B)(3)法一：P(AB)，P(B|A)法二：n(A)3412，n(AB)326，P(B|A)10某校高三(1)班有學(xué)生40人，其中共青團(tuán)員15人全班平均分成4個小組，其中第一組有共青團(tuán)員4人從該班任選一人作學(xué)生代表(1)求選到的是第一組的學(xué)生的概率；(2)已知選到的是共青團(tuán)員，求他是第一組學(xué)生的概率解：設(shè)事件A表示“選到第一組學(xué)生”，事件B表示“選到共青團(tuán)員”(1)由題意，P(A)(2)法一：要求的是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)不難理解，在事件B發(fā)生的條件下(即以所選到的學(xué)生是共青團(tuán)員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇因此，P(A|B)法二：P(B)，P(AB)，P(A|B)層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1一個盒子里有20個大小形狀相同的小球，其中5個紅的，5個黃的，10個綠的，從盒子中任取一球，若它不是紅球，則它是綠球的概率是()ABC D解析：選C在已知取出的小球不是紅球的條件下，問題相當(dāng)于從5黃10綠共15個小球中任取一個，求它是綠球的概率，P2從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)()A BC D解析：選BP(A)，P(AB)，P(B|A)3根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為()A BC D解析：選D設(shè)事件A表示“該地區(qū)四月份下雨”，B表示“四月份吹東風(fēng)”，則P(A)，P(B)，P(AB)，從而在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為P(A|B)4從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽出2張，將其中1張放到驗(yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假鈔，則第2張也是假鈔的概率為()A BC D解析：選D設(shè)事件A表示“抽到2張都是假鈔”，事件B為“2張中至少有一張假鈔”，所以為P(A|B) 而P(AB)，P(B)P(A|B)5100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取兩次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為_解析：設(shè)“第一次抽到次品”為事件A，“第二次抽到正品”為事件B，則P(A)，P(AB)，所以P(B|A)答案：6從1100這100個整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的一數(shù)是不大于50的數(shù)，則它是2或3的倍數(shù)的概率為_解析：法一：根據(jù)題意可知取出的一個數(shù)是不大于50的數(shù)，則這樣的數(shù)共有50個，其中是2或3的倍數(shù)的數(shù)共有33個，故所求概率為法二：設(shè)A“取出的球不大于50”，B“取出的數(shù)是2或3的倍數(shù)”，則P(A)，P(AB)，P(B|A)答案：7現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率解：設(shè)“第1次抽到舞蹈節(jié)目”為事件A，“第2次抽到舞蹈節(jié)目”為事件B，則“第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目”為事件AB(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2次的事件數(shù)為n()A30，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理n(A)AA20，于是P(A)(2)因?yàn)閚(AB)A12，于是P(AB)(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)法二：因?yàn)閚(AB)12，n(A)20，所以P(B|A)8有外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個其中，第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中則有紅球8個，白球2個試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一個盒子中任取一個球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球如果第二次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)成功，求試驗(yàn)成功的概率解：設(shè)A從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球，B從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球，R第二次取出的球是紅球，則容易求得P(A)，P(B)，P(R|A)，P(R|B)事件“試驗(yàn)成功”表示為RARB，又事件RA與事件RB互斥，故由概率的加法公式，得P(RARB)P(RA)P(RB)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B)059