人教版 高中數(shù)學選修23 教學案1.2.2　第二課時　組合的綜合應(yīng)用

2019人教版精品教學資料·高中選修數(shù)學第二課時組合的綜合應(yīng)用有限制條件的組合問題典例課外活動小組共13人， 其中男生8人， 女生5人， 并且男、女各指定一名隊長， 現(xiàn)從中選5人主持某種活動， 依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選解(1)一名女生，四名男生，故共有C·C350(種)選法(2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有C·C165(種)選法(3)至少有一名隊長當選含有兩類：有一名隊長當選和兩名隊長都當選故共有C·CC·C825(種)選法或采用間接法：CC825(種)(4)至多有兩名女生含有三類：有兩名女生，只有一名女生，沒有女生故共有C·CC·CC966(種)選法有限制條件的組合問題分類及解題策略有限制條件的抽(選)取問題， 主要有兩類：一是“含”與“不含”問題， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取， 分步計數(shù)；二是“至多”“至少”問題， 其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法， 但要注意分類要不重不漏；二是間接法， 注意找準對立面， 確保不重不漏活學活用有4個不同的球， 4個不同的盒子， 把球全部放入盒內(nèi)(1)恰有1個空盒，有幾種放法？(2)恰有2個盒子不放球，有幾種放法？解：(1)先從4個小球中取2個放在一起，有C種不同的取法，再把取出的2個小球與另外2個小球看成三堆，并分別放入4個盒子中的3個盒子里，有A種放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CA144(種)不同的放法(2)恰有2個盒子不放球，也就是把4個不同的小球只放入2個盒子中有兩類放法：第一類，1個盒子放3個小球，1個盒子放1個小球，先把小球分組，有C種，再放到2個盒子中有A種放法，共有CA種放法；第二類，2個盒子中各放2個小球有CC種放法故恰有2個盒子不放球的方法有CACC84(種)幾何中的組合問題典例平面內(nèi)有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線以這些點為頂點，可構(gòu)成多少個不同的三角形？解法一：以從共線的4個點中取點的多少作為分類的標準第一類：共線的4個點中有2個點為三角形的頂點，共有CC48個不同的三角形；第二類：共線的4個點中有1個點為三角形的頂點，共有CC112個不同的三角形；第三類：共線的4個點中沒有點為三角形的頂點，共有C56個不同的三角形由分類加法計數(shù)原理知，不同的三角形共有4811256216個法二：(間接法)：從12個點中任意取3個點，有C220種取法，而在共線的4個點中任意取3個均不能構(gòu)成三角形，即不能構(gòu)成三角形的情況有C4種故這12個點構(gòu)成三角形的個數(shù)為CC216個解答幾何組合問題的策略(1)幾何組合問題，主要考查組合的知識和空間想象能力，題目多以立體幾何中的點、線、面的位置關(guān)系為背景的排列、組合這類問題情境新穎，多個知識點交匯在一起，綜合性強 (2)解答幾何組合問題的思考方法與一般的組合問題基本一樣，只要把圖形的限制條件視為組合問題的限制條件即可(3)計算時可用直接法，也可用間接法，要注意在限制條件較多的情況下，需要分類計算符合題意的組合數(shù)活學活用正六邊形的頂點和中心共7個點，可組成_個三角形解析：不共線的三個點可組成一個三角形，7個點中共線的是過中心的3條對角線，即共有3種情況，故組成三角形的個數(shù)為C332答案：32排列與組合的綜合問題典例用0到9這10個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中含3個奇數(shù)與2個偶數(shù)的五位數(shù)有多少個？解法一直接法把從5個偶數(shù)中任取2個分為兩類：(1)不含0的：由3個奇數(shù)和2個偶數(shù)組成的五位數(shù)，可分兩步進行：第1步，選出3奇2偶的數(shù)字，方法有CC種；第2步，對選出的5個數(shù)字全排列有A種方法故所有適合條件的五位數(shù)有CCA個(2)含有0的：這時0只能排在除首位(萬位)以外的四個位置中的一個，有A種排法；再從2,4,6,8中任取一個，有C種取法，從5個奇數(shù)數(shù)字中任取3個，有C種取法，再把取出的4個數(shù)全排列有A種方法，故有ACCA種排法根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有CCAACCA11 040個符合要求的數(shù)法二間接法如果對0不限制，共有CCA種，其中0居首位的有CCA種故共有CCACCA11 040個符合條件的數(shù)解答排列、組合綜合問題的思路及注意點(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列(2)解排列、組合綜合問題時要注意以下幾點：元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題對于有多個限制條件的復雜問題，應(yīng)認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合的綜合問題的一般方法活學活用有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文科代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔任數(shù)學科代表；(4)某女生一定要擔任語文科代表，某男生必須擔任科代表，但不擔任數(shù)學科代表解：(1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，先選有CCCC種，后排有A種，共(CCCC)·A5 400種(2)除去該女生后，先選后排有C·A840種(3)先選后排，但先安排該男生有C·C·A3 360種(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共C·C·A360種層級一學業(yè)水平達標1200件產(chǎn)品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()AC·CBCCCCCCC DCCC解析：選B至少2件次品包含兩類：(1)2件次品，3件正品，共CC種，(2)3件次品，2件正品，共CC種，由分類加法計數(shù)原理得抽法共有CCCC，故選B2某科技小組有6名學生，現(xiàn)從中選出3人去參觀展覽，至少有一名女生入選的不同選法有16種，則該小組中的女生人數(shù)為()A2 B3C4 D5解析：選A設(shè)男生人數(shù)為x，則女生有(6x)人依題意：CC16即x(x1)(x2)6×5×416×64×3×2x4，即女生有2人3從乒乓球運動員男5名、女6名中組織一場混合雙打比賽，不同的組合方法有()ACC種 BCA種CCACA種 DAA種解析：選B分兩步進行：第一步：選出兩名男選手，有C種方法；第2步，從6名女生中選出2名且與已選好的男生配對，有A種故有CA種4將5本不同的書分給4人，每人至少1本，不同的分法種數(shù)有()A120 B5C240 D180解析：選C先從5本中選出2本，有C種選法，再與其他三本一起分給4人，有A種分法，故共有C·A240種不同的分法5(四川高考)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40 000大的偶數(shù)共有()A144個 B120個C96個 D72個解析：選B當萬位數(shù)字為4時，個位數(shù)字從0,2中任選一個，共有2A個偶數(shù)；當萬位數(shù)字為5時，個位數(shù)字從0,2,4中任選一個，共有CA個偶數(shù)故符合條件的偶數(shù)共有2ACA120(個)62名醫(yī)生和4名護士被分配到2所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有_種解析：先分醫(yī)生有A種，再分護士有C種(因為只要一個學校選2人，剩下的2人一定去另一學校)，故共有AC2×12種答案：127北京市某中學要把9臺型號相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學，每所小學至少得到2臺，共有_種不同送法解析：每校先各得一臺，再將剩余6臺分成3份，用插板法解，共有C10種答案：108有兩條平行直線a和b，在直線a上取4個點，直線b上取5個點，以這些點為頂點作三角形，這樣的三角形共有_個解析：分兩類，第一類：從直線a上任取一個點，從直線b上任取兩個點，共有C·C種方法；第二類：從直線a上任取兩個點，從直線b上任取一個點共有C·C種方法滿足條件的三角形共有C·CC·C70個答案：709(1)以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四面體？(2)以正方體的頂點為頂點，可以確定多少個四棱錐？解：(1)正方體8個頂點可構(gòu)成C個四點組，其中共面的四點組有正方體的6個表面及正方體6組相對棱分別所在的6個平面的四個頂點故可以確定四面體C1258個(2)由(1)知，正方體共面的四點組有12個，以這每一個四點組構(gòu)成的四邊形為底面，以其余的四個點中任意一點為頂點都可以確定一個四棱錐，故可以確定四棱錐12C48個107名身高互不相等的學生，分別按下列要求排列，各有多少種不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在中間，并向左、右兩邊看，身高逐個遞減；(2)任取6名學生，排成二排三列，使每一列的前排學生比后排學生矮解：(1)第一步，將最高的安排在中間只有1種方法；第二步，從剩下的6人中選取3人安排在一側(cè)有C種選法，對于每一種選法只有一種安排方法，第三步，將剩下3人安排在另一側(cè)，只有一種安排方法，共有不同安排方案C20種(2)第一步從7人中選取6人，有C種選法；第二步從6人中選2人排一列有C種排法，第三步，從剩下的4人中選2人排第二列有C種排法，最后將剩下2人排在第三列，只有一種排法，故共有不同排法C·C·C630種層級二應(yīng)試能力達標112名同學合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是()ACABCACCA DCA解析：選C從后排8人中選2人安排到前排6個位置中的任意兩個位置即可，所以選法種數(shù)是CA，故選C2以圓x2y22x2y10內(nèi)橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點為頂點的三角形個數(shù)為()A76 B78C81 D84解析：選A如圖，首先求出圓內(nèi)的整數(shù)點個數(shù)，然后求組合數(shù)，圓的方程為(x1)2(y1)23，圓內(nèi)共有9個整數(shù)點，組成的三角形的個數(shù)為C876故選A3某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有()A140種 B120種C35種 D34種解析：選D若選1男3女有CC4種；若選2男2女有CC18種；若選3男1女有CC12種，所以共有4181234種不同的選法4編號為1,2,3,4,5的五個人，分別坐在編號為1,2,3,4,5的座位上，則至多有兩個號碼一致的坐法種數(shù)為()A120 B119C110 D109解析：選D5個人坐在5個座位上，共有不同坐法A種，其中3個號碼一致的坐法有C種，有4個號碼一致時必定5個號碼全一致，只有1種，故所求種數(shù)為AC11095將7支不同的筆全部放入兩個不同的筆筒中，每個筆筒中至少放兩支筆，有_種放法(用數(shù)字作答)解析：設(shè)有A，B兩個筆筒，放入A筆筒有四種情況，分別為2支，3支，4支，5支，一旦A筆筒的放法確定，B筆筒的放法隨之確定，且對同一筆筒內(nèi)的筆沒有順序要求，故為組合問題，總的放法為CCCC112答案：1126已知集合A4，B1,2，C1,3,5，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中的點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為_解析：不考慮限定條件確定的不同點的個數(shù)為CCCA36，但集合B，C中有相同元素1，由4,1,1三個數(shù)確定的不同點只有3個，故所求的個數(shù)為36333答案：337有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學，求在下列條件下，各有多少種不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本解：(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本，這件事分三步完成第一步：從9本不同的書中，任取4本分給甲，有C種方法；第二步：從余下的5本書中，任取3本分給乙，有C種方法；第三步：把剩下的2本書給丙，有C種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有不同的分法C·C·C1 260(種)所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1 260種(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，這件事分兩步完成第一步：按4本、3本、2本分成三組，有CCC種方法；第二步：將分成的三組書分給甲、乙、丙三個人，有A種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有不同的分法CCCA7 560(種)所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7 560種8有五張卡片，它們的正、反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？解：法一：(直接法)從0與1兩個特殊值著眼，可分三類：(1)取0不取1，可先從另四張卡片中選一張作百位，有C種方法；0可在后兩位，有C種方法；最后需從剩下的三張中任取一張，有C種方法；又除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，故此時可得不同的三位數(shù)有CCC·22個(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位數(shù)C·22·A個(3)0和1都不取，有不同的三位數(shù)C·23·A個綜上所述，共有不同的三位數(shù)：C·C·C·22C·22·AC·23·A432(個)法二：(間接法)任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)C·23·A個，其中0在百位的有C·22·A個，這是不合題意的，故共有不同的三位數(shù)：C·23·AC·22·A432(個)