第八章第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第八章 立體幾何第五節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)題型97 證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系2013年1. （2013四川文19）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上異于端點(diǎn)的點(diǎn).（1）在平面內(nèi)，試作出過點(diǎn)與平面平行的直線，說明理由，并證明直線平面；（2）設(shè)（1）中的直線交于點(diǎn)，求三棱錐的體積.（錐體體積公式：，其中為底面面積，為高）.2. （2013山東文19） 如圖，四棱錐中，分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面平面3. (2013重慶文19）如圖，四棱錐中，底面，.（1）求證：平面；（2）若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足，求三棱錐的體積.2014年1.（2014遼寧文4）已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（ ）A若則 B若，則C若，則 D若，則2.（2014浙江文6）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面（ ）. A若，則 B若，則 C若，則 D若，則 3.（2014廣東文9）若空間中四條兩兩不同的直線，滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）.A B. C. 既不垂直也不平行 D. 的位置關(guān)系不確定4.（2014北京文17）（本小題滿分14分）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.5.（2014新課標(biāo)文19） 如圖所示，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面. （1）求證：； （2）若，求三棱柱的高. 6.（2014遼寧文19）如圖所示，和所在平面互相垂直，且，分別為，的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）求三棱錐的體積.附：錐體的體積公式，其中為底面面積，為高.7. （2014廣東文18）如圖1所示，四邊形為矩形，平面，作如圖2所示的折疊：折痕.其中點(diǎn)分別在線段上，沿折疊后點(diǎn)在線段上的點(diǎn)記為，并且.（1） 求證：平面;（2） 求三棱錐的體積. 8.（2014江蘇16）如圖所示，在三棱錐中，分別為棱，的中點(diǎn)已知，求證：（1）直線平面；（2）平面平面9.（2014重慶文20）如圖所示，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，為上一點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.10（2014湖北文20）如圖所示，在正方體中， 分別是棱， ，的中點(diǎn). 求證：（1）直線平面；（2）直線平面. 2015年1.（2015湖南文18）如圖所示，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積.1. 解析 （1）如圖所示，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，又是正三角形的邊的中點(diǎn)，所以，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié).因?yàn)槭钦切危?又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面.所以為直線與平面所成的角.由題設(shè)，所以，在中，所以.故三棱錐的體積.2.（2015天津文17）如圖所示，已知平面， ， ， 點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).（1）求證： 平面 ；（2）求證：平面平面.（3）求直線與平面所成角的大小.2.分析 （1）要證明平面，只需證明且平面；（2）要證明平面平面，可證明，；（3）取 中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) ，則就是直線 與平面所成角，中，由，得直線與平面所成角為.解析 （1）如圖所示，聯(lián)結(jié)，在中，因?yàn)楹头謩e是，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?所以平面.（2）因?yàn)椋?為中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，所以平面，從?又 ，所以平面 .又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（3）取中點(diǎn)和中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，因?yàn)楹头謩e為，中點(diǎn)，所以， ，故，所以.又因?yàn)槠矫妫云矫?，從而就是直線與平面所成角.在中，可得，所以.因?yàn)?，所以，又由，有，在中，可得?在中，因此.所以直線與平面所成角為.3.（2015全國1文18）如圖所示，四邊形為菱形，G為與的交點(diǎn)，平面.（1）求證：平面平面；（2）若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.3. 解析 （1）因?yàn)槠矫?，所?又為菱形，所以.又因?yàn)?，平面，所以平?又平面，所以平面平面.（2）在菱形中，取，又，所以，.在中，所以，所以在中，所以，解得.在中，可得.所以.4（2015山東文18）如圖所示，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求證：平面平面.4. 解析 （1）證法一：聯(lián)結(jié).設(shè)，聯(lián)結(jié)，如圖所示.在三棱臺(tái)中，為的中點(diǎn)，可得，所以四邊形是平行四邊形，則為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.證法二：在三棱臺(tái)中，由，為的中點(diǎn)，可得，所以為平行四邊形，可得.在中，分別為，的中點(diǎn)，所以.又，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）證明：聯(lián)結(jié)，如圖所示.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.由，得.又為的中點(diǎn)，所以，因此四邊形是平行四邊形，所以.又，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.5. (2015浙江文18) 如圖所示，在三棱柱中， ，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明：平面； （2）求直線和平面所成的角的正弦值.此題無答案26.(2015重慶文20) 如題（20）圖，三棱錐中，平面平面，點(diǎn)，在線段上，且，點(diǎn)在線段上，且.（1）證明：平面.（2）若四棱錐的體積為7，求線段的長. 26. 解析 （1）由，知點(diǎn)為等腰中底邊的中點(diǎn)，故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，從而因?yàn)?，?從而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直，所以平面（2）設(shè)，則在中，從而.由，知，得，故，即由，從而四邊形的面積為 由（1）知，平面，所以為四棱錐的高在中，體積，故得，解得或由于，可得或，所以或2016年1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面，交于直線.若直線，滿足，則（ ）.A. B. C. D. 1.C 解析 對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以與平行或異面.故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B和D，因?yàn)?，所以?又因?yàn)?，所以與的關(guān)系平行、相交或異面都有可能.故選項(xiàng)B和D不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗裕蔬x項(xiàng)C正確，故選C.2.（2016全國甲文19）如圖所示，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上， ，交于點(diǎn).將沿折到的位置. （1）證明：；（2）若 ，求五棱錐的體積.2.解析 （1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，所以，所以，所?又因?yàn)椋?，所?所以.（2）由得，由得 所以 于是故由（1）知，又，所以平面，于是又由，所以平面.又由得，五邊形的面積.3.（2016北京文18）如圖所示，在四棱錐中，平面，.（1）求證：平面； （2）求證：平面平面；（3）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?說明理由.3.解析 （1）因?yàn)槠矫?，所?又因?yàn)椋?所以平面.（2）由（1）知，平面，又，所以平面. 又平面，所以平面平面（3）棱上存在點(diǎn)，使得平面.證明如下.取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，所以平?4.（2016山東文18）在如圖所示的幾何體中，是的中點(diǎn)，.（1）已知，. 求證：；（2）已知分別是和的中點(diǎn).求證：平面.4.解析 （1）證明：因?yàn)椋耘c確定一個(gè)平面，連接，如圖1所示. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以；同理可得. 又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如圖2所示. 在中，是的中點(diǎn)，所以.又，所以；在中，是的中點(diǎn)，所以.又，所以平面平面.因?yàn)槠矫?，所以平? 5（2016江蘇16）如圖所示，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，且，.求證：（1）直線平面；（2）平面平面.5.解析 （1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以.又因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?，故，所?又因?yàn)槠矫妫?，故平?（2）三棱柱為直棱柱，所以平面.又平面，故.又，且，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，且平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?6.（2016全國乙文18）如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn).聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn).（1）求證：是的中點(diǎn)；（2）在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說明作法及理由），并求四面體的體積.6.解析 （1）由題意可得為正三角形，故.因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面.又平面，所以.因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面.又平面，所以.因?yàn)椋矫?，所以平?又平面，所以.因?yàn)?，所以是的中點(diǎn).（2）如圖所示，過作交于，則即為所要尋找的正投影.理由如下，因?yàn)?，?同理，又，平面，所以平面，故即為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影.所以.在中，故由等面積法知.由勾股定理知，由為等腰直角三角形知，故.7.（2016四川文17）如圖所示，在四棱錐中，.（1）在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使得直線平面，并說明理由； （2）證明：平面平面 7.解析（1）取棱的中點(diǎn)平面，點(diǎn)即為所求的一個(gè)點(diǎn).證明如下：因?yàn)?，所以，且所以四邊形是平行四邊形，從而又平面，平面，所以平?(說明：取棱的中點(diǎn)，則所找的點(diǎn)可以是直線上任意一點(diǎn)). （2）由已知，因?yàn)椋灾本€與相交，所以平面從而因?yàn)?，所以，?所以四邊形是平行四邊形.所以，所以又，所以平面又平面，所以平面平面2017年1.（2017全國3文10）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則（ ）.A BC D解析 因?yàn)?，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?所以.故選C.評(píng)注 本題屬于線面關(guān)系定理的實(shí)際應(yīng)用問題，有一定難度，需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和公式定理的實(shí)際應(yīng)用能力，問題的重點(diǎn)與難點(diǎn)在于找到與包含的平面垂直的直線！2.（2017全國1文18）如圖所示，在四棱錐中，且.(1)證明：平面平面；(2)若，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積.解析 （1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以又，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）由（1）知平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫嫒鐖D所示，取中點(diǎn).因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面由，得四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫妫?，即四邊形是矩?不妨設(shè)，則，所以，且因此四棱錐的體積為，解得所以3.（2017全國3文19）如圖所示，四面體中，是正三角形，（1）證明：；（2）已知是直角三角形，若為棱上與不重合的點(diǎn)，且，求四面體與四面體的體積比解析 （1）設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，. 由，得，由，得.又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?(2)設(shè)，則.由，得，故.又因?yàn)?，所?所以，所以，可得. 即點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，所以，所以體積比為.評(píng)注 本題第一問考查線線垂直的證明，屬于常規(guī)題型；第二問用相似或解三角形的方法求解直線長度，特別是用相似在高中階段比較少見，但16年全國卷選擇題的壓軸題也有類似考法.這說明，雖然幾何證明在高中階段已經(jīng)不再作為一個(gè)固定的選作題出現(xiàn)，但其主要知識(shí)點(diǎn)仍然可以作為考點(diǎn)，在高考中進(jìn)行考查，筆者提醒各位老師在今后的教學(xué)中要特別注意到這一點(diǎn).4.（2017北京文18）如圖所示，在三棱錐中，為線段的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）當(dāng)平面時(shí)，求三棱錐的體積解析 （1）因?yàn)椋?，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?（2）因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以在等腰中，.又由（1）可知，所以平面.由為線段上一點(diǎn)，則平面，所以又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（3）當(dāng)平面時(shí)，平面,且平面平面,可得.由是邊的中點(diǎn)知，為邊的中點(diǎn).故而，因?yàn)槠矫?，所以平?由，為邊中點(diǎn)知，又，有，即因此，.5.（2017山東文18）由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，四邊形為正方形，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面.（1）證明：平面；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面平面.解析（1）如圖所示，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱，所以，因此四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，分別為和的中點(diǎn)，所以.又 面，平面，所以.因?yàn)?，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.解析（1）如圖所示，取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，由于為四棱柱，所以，因此四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，分別為和的中點(diǎn)，所以.又 面，平面，所以.因?yàn)?，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.6.（2017浙江19）如圖所示，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解析 （1）如圖所示，設(shè)DE的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，.因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平?（2）分別取，的中點(diǎn)為，.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié).因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，在平行四邊形中，.由為等腰直角三角形，得.由，是的中點(diǎn)，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又,所以平面，由，得平面，又平面，所以平面平面.過點(diǎn)作的垂線，垂足為，聯(lián)結(jié).是在平面上的射影，所以是直線與平面所成的角.設(shè).在中，由，由余弦定理得，又平面，平面，所以.在中，由，,為的中點(diǎn)，得.在中，所以，所以直線與平面所成角的正弦值是.7.（2017江蘇15）如圖所示，在三棱錐中， 平面平面， 點(diǎn)（與不重合）分別在棱上，且求證：（1）平面； （2）解析 （1）在平面內(nèi)，因?yàn)?，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又，平面，平面，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所?題型98 與垂直有關(guān)的開放性、探究性問題2015年1.(2015安徽文19) 如圖所示，在三棱錐中，平面，.（1）求三棱錐的體積；（2）求證：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值.1.分析 （1）在中，由三角形的面積公式，求出三角形面積.又因?yàn)槊?，所以是三棱錐的高，根據(jù)錐體的體積公式即可求出結(jié)果；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可知此點(diǎn)即為所求，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)果.解析 （1）在中，所以.又因?yàn)槊?，所以是三棱錐的高，所以.（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如圖所示.因?yàn)槊?，所以?又面，得.又，所以面.又面，所以.此時(shí)點(diǎn)即為所找點(diǎn)，在中，由題意可得，所以.由，可得，所以，所以.2.（2015北京文18） 如圖所示，在三棱錐中，平面平面，三角形為等邊三角形，且，分別為，的中點(diǎn).（1） 求證：平面.（2） 求證：平面平面 .（3） 求三棱錐的體積. 2.解析 （1）依題意，分別為，的中點(diǎn)，則是的中位線，所以，平面，平面，故平面.（2）因?yàn)樵谥?，且為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面.（3）由（2）知，平面，所以3（2015福建文20）如圖所示，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且（1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求三棱錐體積的最大值；（3）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值3.分析 （1）要證明平面，只需證明垂直于面內(nèi)的兩條相交直線首先由垂直于圓所在的平面，可證明.又，為的中點(diǎn)，可證明，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）三棱錐中，高，要使得體積最大，則底面面積最大，又是定值，故當(dāng)邊上的高最大，此時(shí)高為半徑，進(jìn)而求三棱錐體積的最大值；（3）將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，此時(shí)線段的長度即為的最小值解析 （1）在中，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以又垂直于圓所在的平面，所以.因?yàn)?，所以平面?）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且最大值為1又，所以面積的最大值為又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為（3）解法一：在中，所以同理，所以在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示當(dāng)共線時(shí)，取得最小值又因?yàn)?，所以垂直平分，即為中點(diǎn)從而，即的最小值為解法二：由解法一可知， ，所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，與同時(shí)取得最小值.故.所以的最小值為.4.（2015湖北文20）九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、.(1)證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由；(2)記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值.4.解析 (1)因?yàn)榈酌?，所? 由底面為長方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以. 而，所以平面.由平面，平面.可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是(2)由已知，是陽馬的高，所以.由(1)知，是鱉臑的高，所以.在中，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，于是 5.（2015江蘇文22）如圖所示，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，（1）求平面與平面所成二面角的余弦值；（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長5.解析 由平面，故，兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，（1）易知平面，故平面的一個(gè)法向量為又，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，.所以，取，則，故，因此.易知平面與平面所成二面角為銳二面角，故其余弦值為（2）因，設(shè)，所以，因此，設(shè)，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即有最大值，此時(shí)直線與所成的角最小，故評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決在求解的最大值時(shí)，也可以處理成：，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)，取最小值， 此時(shí)取最大值，此時(shí)直線與所成的角最小，即，解得，故6.（2015四川文18）一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.（1）請(qǐng)按字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處（不需要說明理由）；（2）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論；（3）求證：直線平面.6.解析 （1）點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示.（2）平面平面.證明如下：因?yàn)闉檎襟w，所以，.又，所以，.所以為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.同理平面.又，所以平面平面.（3）聯(lián)結(jié)，因?yàn)闉檎襟w，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又，所以平面.又平面，所以.同理，.又，所以平面.題型99 空間角與空間距離2013年1（2013江西文19）如圖，直四棱柱中， 為上一點(diǎn)，.（1）證明：平面;（2）求點(diǎn)到平面的距離2. (2013天津文17） 如圖， 三棱柱中， 側(cè)棱底面，且各棱長均相等.分別為棱的中點(diǎn). （1）證明：平面； （2）證明：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值. 3. (2013湖南文17） 如圖2.在直棱柱中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng).（1）證明：；（2）當(dāng)異面直線， 所成的角為時(shí)，求三棱錐的體積.4.(2013浙江文20）如圖，在在四棱錐中，面， ，為線段上的點(diǎn).（1）證明：平面; （2）若是的中點(diǎn)，求與所成的角的正切值；（3）若滿足 面，求的值.2014年1.（2014大綱文4）已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為（ ）.A B C D2.（2014天津文17）如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，,分別是棱的中點(diǎn).（1） 求證：平面；（2） 若二面角為， 求證：平面平面； 求直線與平面所成角的正弦值.3.（2014浙江文20）如圖所示，在四棱錐中，平面平面；，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正切值. 4.（2014大綱文19）如圖所示，三棱柱中，點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，.（1）求證：；（2）設(shè)直線與平面的距離為，求二面角的大小.5. （2014新課標(biāo)文18）如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面； （2）設(shè)，三棱錐的體積，求到平面的距離.5.（2014湖南文18）如圖所示，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點(diǎn)在棱上，是的中點(diǎn)，面，垂足為. （1）求證：平面； （2）求異面直線與所成角的余弦值. 2015年1.（2015江蘇文22）如圖所示，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，（1）求平面與平面所成二面角的余弦值；（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長1.解析 由平面，故，兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，（1）易知平面，故平面的一個(gè)法向量為又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，故，因此，易知平面與平面所成二面角為銳二面角，故其余弦值為（2）因，設(shè)，所以，因此，設(shè)，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即有最大值，此時(shí)直線與所成的角最小，故評(píng)注 也可以假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)解決在求解的最大值時(shí)，也可以處理成：，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)，取最小值， 此時(shí)取最大值，此時(shí)直線與所成的角最小，即，解得，故2016年1.（2016全國乙文11）平面過正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（ ）.A. B. C. D.1.A 解析 解法一：將圖形延伸出去，構(gòu)造一個(gè)正方體，如圖所示.通過尋找線線平行構(gòu)造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為.故選A.解法二（原理同解法一）：過平面外一點(diǎn)作平面，并使平面，不妨將點(diǎn)變換成，作使之滿足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面，如圖所示，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為.故選A.2.（2016浙江文14）如圖所示，已知平面四邊形，.沿直線將翻折成，直線與所成角的余弦的最大值是_.2. 解析 設(shè)直線與所成角為.設(shè)是中點(diǎn)由已知得，如圖所示，以為軸，為軸，過與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，有，.作于，翻折的過程中，始終與垂直，且的長度始終不變，則，因此可設(shè)，則，與平行的單位向量為.所以，所以時(shí)，取最大值.3.（2016上海文19）將邊長為的正方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖所示，長為，長為，其中與在平面的同側(cè).（1）求圓柱的體積與側(cè)面積；（2）求異面直線與所成的角的大小.3.解析 （1）由題意可知，圓柱的母線長，底面半徑.圓柱的體積，圓柱的側(cè)面積.（2）設(shè)過點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，則，所以或其補(bǔ)角為與所成的角.由長為，可知，由長為，可知，所以異面直線與所成的角的大小為.4.（2016浙江文18）如圖所示，在三棱臺(tái)中，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.4.解析 （1）因?yàn)榇藥缀误w三棱臺(tái)，延長可相交于一點(diǎn)，如圖所示.因?yàn)槠矫?，平面為，且，所以，因?又因?yàn)?，可以求得，所以為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則.因?yàn)?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，所以是直線與平面所成的角，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.在中，得.所以直線與平面所成的角的余弦值為.5.（2016天津文17）如圖所示，四邊形是平行四邊形，平面平面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.5.解析 （1）如圖所示，取的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，.在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且.又因?yàn)?，所以且，即四邊形是平行四邊形，所?又平面，平面，所以平面（2）證明：在中，.由余弦定理可得，進(jìn)而可得，即.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（3）因?yàn)?，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖所示.又因?yàn)槠矫嫫矫?，由?）知平面，所以直線與平面所成角即為.在中，.由余弦定理可得，所以.因此.在中，所以直線與平面所成角的正弦值為.2017年1.（2017天津文17）如圖所示，在四棱錐中，平面，.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.解析 （1）如圖所示，由已知，故或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角.因?yàn)槠矫?，平面，所?在中，由勾股定理，得，故.所以異面直線與所成角的余弦值為.（2）證明：因?yàn)槠矫?，直線平面，所以.又因?yàn)?，所?又，且，所以平面.（3）如圖所示，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，則與平面所成的角等于與平面所成的角.因?yàn)镻D平面，平面，所以PD，所以為在平面上的射影，所以為直線和平面所成的角.因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所?由，得.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，所?在中，由勾股定理得，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.2.（2017浙江19）如圖所示，已知四棱錐，是以為斜邊的等腰直角三角形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解析 （1）如圖所示，設(shè)DE的中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)，.因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以平?（2）分別取，的中點(diǎn)為，.聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié).因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，在平行四邊形中，.由為等腰直角三角形，得.由，是的中點(diǎn)，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.又,所以平面，由，得平面，又平面，所以平面平面.過點(diǎn)作的垂線，垂足為，聯(lián)結(jié).是在平面上的射影，所以是直線與平面所成的角.設(shè).在中，由，由余弦定理得，又平面，平面，所以.在中，由，,為的中點(diǎn)，得.在中，所以，所以直線與平面所成角的正弦值是.歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org