【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修二：全冊(cè)作業(yè)與測(cè)評(píng) 課時(shí)提升作業(yè)(二十八)4.2.3

（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料課時(shí)提升作業(yè)(二十八)直線與圓的方程的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.圓x2+y2-4x+2y+c=0,與直線3x-4y=0相交于A,B兩點(diǎn),圓心為P,若APB=90,則c的值為()A.8B.23C.-3D.3【解析】選C.由題意得C<5,圓心P(2,-1),r=5-c,圓心到直線的距離d=32+1432+42=2,由于APB=90,所以r=2d=22,從而5-c=22,c=-3.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若P(2,-1)為圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點(diǎn),則直線AB的方程是()A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【解析】選A.已知圓心為O(1,0),根據(jù)題意:又kABkOP=-1,所以kAB=1,故直線AB的方程是x-y-3=0.2.如果實(shí)數(shù)x,y滿足等式(x-1)2+y2=34,那么yx的最大值是()A.12B.33C.32D.3【解析】選D.yx的幾何意義是圓上的點(diǎn)P(x,y)與原點(diǎn)連線的斜率,結(jié)合圖形得,斜率的最大值為3,所以yxmax=3.3.臺(tái)風(fēng)中心從A地以20千米/時(shí)的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)域,城市B在A的正東40千米處,B城市處在危險(xiǎn)區(qū)域的時(shí)間為()A.0.5小時(shí)B.1小時(shí)C.3.6小時(shí)D.4.5小時(shí)【解析】選B.受影響的區(qū)域長(zhǎng)度=2302-(202)2=20千米,故影響時(shí)間是1小時(shí).4.點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2內(nèi),則直線x0x+y0y=r2和已知圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.無(wú)法確定【解析】選A.因?yàn)閤02+y02<r2,圓心到直線x0x+y0y=r2的距離d=-r2x02+y02>r,故直線與圓相離.【延伸探究】若將本題改為“點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2外”,其余條件不變,又如何求解?【解析】選C.因?yàn)閤02+y02>r2,圓心到直線x0x+y0y=r2的距離d =-r2x02+y02< r,故直線與圓相交,所以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為兩個(gè).5.已知集合M=(x,y)|y=9-x2,y0,n=(x,y)|y=x+b,若MN,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A.-32,32B.-3,3C.(-3,32D.-32,3)【解題指南】解得本題的關(guān)鍵是注意到y(tǒng)=9-x2,即x2+y2=9(y>0),圖形是半圓.【解析】選C.由于MN,說(shuō)明直線y=x+b與半圓x2+y2=9(y>0)相交,畫(huà)圖探索可知-3<b32.【方法技巧】數(shù)形結(jié)合在求解直線與圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)中的應(yīng)用直線與圓的一部分有交點(diǎn)時(shí),如果采用代數(shù)法去研究,則消元以后轉(zhuǎn)化成了給定區(qū)間的二次方程根的分布問(wèn)題,求解過(guò)程相對(duì)復(fù)雜,而如果采用數(shù)形結(jié)合及直線與圓的幾何法求解,先找出邊界,然后結(jié)合直線或圓的變化特征求解,相對(duì)來(lái)說(shuō)就簡(jiǎn)單多了.二、填空題(每小題5分,共15分)6.過(guò)點(diǎn)A(11,2)作圓x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有條.【解析】方程化為(x+1)2+(y-2)2=132,圓心為(-1,2),到點(diǎn)A(11,2)的距離為12,最短弦長(zhǎng)為10,最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為26,所以所求弦長(zhǎng)為整數(shù)的條數(shù)為2+2(25-11+1)=32.答案:32【補(bǔ)償訓(xùn)練】過(guò)直線x+y-22=0上點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線,若兩條切線的夾角是60,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【解析】設(shè)P(x,y),則由已知可得PO(O為原點(diǎn))與切線的夾角為30,則|PO|=2,由x2+y2=4,x+y=22,可得x=2,y=2.答案:(2,2)7.設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,則從村莊外圍到小路的最短距離為.【解析】因?yàn)閳A心到直線的距離為722,從村莊外圍到小路的最短距離為722-2.答案:722-2【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015保定高一檢測(cè))已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值為()A.5B.10C.25D.210【解析】選A.x2+y2表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)的距離,所以其最小值為原點(diǎn)到2x+y+5=0的距離,故d=522+12=5.8.已知x+y+1=0,那么(x+2)2+(y+3)2的最小值是.【解析】(x+2)2+(y+3)2表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-2,-3)之間的距離,又點(diǎn)(x,y)在直線x+y+1=0上,故最小值為點(diǎn)(-2,-3)到直線x+y+1=0的距離,即d=-2-3+12=22.答案:22三、解答題(每小題10分,共20分)9.等邊ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上且BD=13BC,CE=13CA,AD,BE相交于點(diǎn)P.求證:APCP.【解題指南】要證APCP,可轉(zhuǎn)化為直線AP,CP的斜率之積等于-1即可,由此以B為原點(diǎn),BC邊所在直線為x軸,線段BC長(zhǎng)的16為單位長(zhǎng),建立平面直角坐標(biāo)系.【證明】以B為原點(diǎn),BC邊所在直線為x軸,線段BC長(zhǎng)的16為單位長(zhǎng),建立平面直角坐標(biāo)系.則A(3,33),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,3).直線AD的方程為y=33(x-2).直線BE的方程為y=35(x-5)+3.解以上兩方程聯(lián)立成的方程組,得x=157,y=337.所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是157,337.直線PC的斜率kPC=-39,因?yàn)閗APkPC=33-39=-1,所以,APCP.10.如圖所示是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個(gè)圓的圓拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱A2P2的高度(精確到0.01m).【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系,使圓心在y軸上,只要求出P2的縱坐標(biāo),就可得出支柱A2P2的高度.設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r,那么圓的方程是x2+(y-b)2=r2.因?yàn)镻,B都在圓上,所以它們的坐標(biāo)(0,4),(10,0)都滿足方程x2+(y-b)2=r2.于是得到方程組02+(4-b)2=r2,102+(0-b)2=r2,解得b=-10.5,r2=14.52,所以,圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,即y+10.5=14.52-(-2)2(P2的縱坐標(biāo)y>0,平方根取正值).所以y3.86,故支柱A2P2的高度約為3.86m.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)有半徑為3公里的圓形村落,A,B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā),A向東而B(niǎo)向北前進(jìn),A離開(kāi)村后不久,改變前進(jìn)方向,斜著沿切于村落周界的方向前進(jìn),后來(lái)恰好與B相遇.設(shè)A,B兩人的速度都一定,其比為31,問(wèn)A,B兩人在何處相遇?【解析】如圖所示,以村落中心為坐標(biāo)原點(diǎn),以東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系,又設(shè)A向東走到D轉(zhuǎn)向到C恰好與B相遇,設(shè)CD方程為xa+yb=1(a>3,b>3),設(shè)B的速度為v,則A的速度為3v,依題意有|ab|a2+b2=3,a2+b2+a3v=bv.解得a=5,b=154,所以B向北走3.75公里時(shí)相遇.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.直線2x-y=0與圓C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B兩點(diǎn),則ABC(C為圓心)的面積等于()A.25B.23C.43D.45【解析】選A.因?yàn)閳A心到直線的距離d=4+15=5,所以|AB|=29-d2=4,所以SABC=1245=25.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()A.106B.206C.306D.406【解析】選B.圓心坐標(biāo)是(3,4),半徑是5,圓心到點(diǎn)(3,5)的距離為1,根據(jù)題意最短弦BD和最長(zhǎng)弦(即圓的直徑)AC垂直,故最短弦的長(zhǎng)為252-12=46,所以四邊形ABCD的面積為12ACBD=121046=206.2.如圖所示,已知直線l的解析式是y=43x-4,并且與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn).一個(gè)半徑為1.5的圓C,圓心C從點(diǎn)(0,1.5)開(kāi)始以每秒0.5個(gè)單位的速度沿著y軸向下運(yùn)動(dòng),當(dāng)圓C與直線l相切時(shí),該圓運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為()A.6sB.6s或16sC.16sD.8s或16s【解析】選B.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts,則ts后圓心的坐標(biāo)為(0,1.5-0.5t).因?yàn)閳AC與直線l:y=43x-4相切,所以40-3(1.5-0.5t)-12(-3)2+42=1.5.解得t=6或16.即該圓運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為6s或16s.二、填空題(每小題5分,共10分)3.若點(diǎn)P(x,y)滿足x2+y2=25,則x+y的最大值是.【解析】令x+y=z,則|z|2=5,所以z=52,即-52x+y52,所以x+y的最大值是52.答案:52【拓展延伸】數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運(yùn)用利用數(shù)形結(jié)合求解問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是抓住“數(shù)”中的某些結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到解析幾何中的某些方程、公式,從而挖掘出“數(shù)”的幾何意義,實(shí)現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化,如本題由x+y聯(lián)想直線的截距.4.若點(diǎn)P在直線l1:x+y+3=0上,過(guò)點(diǎn)P的直線l2與曲線C:(x-5)2+y2=16相切于點(diǎn)M,則|PM|的最小值為.【解析】曲線C:(x-5)2+y2=16是圓心為C(5,0),半徑為4的圓,連接CP,CM,則在MPC中,CMPM,則|PM|=|CP|2-|CM|2=|CP|2-16,當(dāng)|PM|取最小值時(shí),|CP|取最小值,又點(diǎn)P在直線l1上,則|CP|的最小值是點(diǎn)C到直線l1的距離,即|CP|的最小值為d=|5+3|1+1=42,則|PM|的最小值為(42)2-16=4.答案:4【補(bǔ)償訓(xùn)練】圓(x-2)2+(y+3)2=4上的點(diǎn)到x-y+3=0的最遠(yuǎn)的距離為.【解析】圓心C(2,-3)到直線的距離d=2+3+32=42>2,所以直線與圓相離.過(guò)圓心C作直線x-y+3=0的垂線,垂足設(shè)為H,則圓上的點(diǎn)A到直線的距離最遠(yuǎn)為42+2.答案:42+2三、解答題(每小題10分,共20分)5.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4和直線l:x+2y+2=0,直線n經(jīng)過(guò)圓C外定點(diǎn)A(1,0).若直線n與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),與l交于N點(diǎn),且線段PQ的中點(diǎn)為M,求證:|AM|AN|為定值.【解析】方法一:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),又由題意知直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,可設(shè)直線n的方程為kx-y-k=0,由x+2y+2=0,kx-y-k=0得N2k-22k+1,-3k2k+1.再由y=kx-k,(x-3)2+(y-4)2=4得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以x1+x2=2k2+8k+61+k2得Mk2+4k+31+k2,4k2+2k1+k2.所以|AM|AN|=k2+4k+31+k2-12+4k2+2k1+k222k-22k+1-12+-3k2k+12=2|2k+1|1+k21+k231+k2|2k+1|=6為定值.方法二:由題意知直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,可設(shè)直線n的方程為kx-y-k=0,由x+2y+2=0,kx-y-k=0,得N2k-22k+1,-3k2k+1,又直線CM與n垂直,由y=kx-k,y-4=-1k(x-3)得Mk2+4k+31+k2,4k2+2k1+k2.所以|AM|AN|=|yM-0|1+1k2|yN-0|1+1k2=|yMyN|k2+1k2=4k2+2k1+k2-3k2k+1k2+1k2=6,為定值.6.已知圓C的方程為x2+(y-4)2=4,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).直線l:y=kx與圓C交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍.(2)設(shè)Q(m,n)是線段MN上的點(diǎn),且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2.請(qǐng)將n表示為m的函數(shù).【解題指南】(1)求解時(shí)要抓住直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn),所以在求解k的取值范圍時(shí)可以利用判別式進(jìn)行求解.(2)利用2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2找到m,n的關(guān)系.【解析】(1)將y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由=(-8k)2-4(1+k2)12>0,得k2>3.所以,k的取值范圍是(-,-3)(3,+).(2)因?yàn)镸,N在直線l上,可設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx1),(x2,kx2),則|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22,又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.由2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2,得2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22.由(*)式可知,x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+k2,所以m2=365k2-3.因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx上,所以k=nm,代入m2=365k2-3中并化簡(jiǎn),得5n2-3m2=36.由m2=365k2-3及k2>3,可知0<m2<3,即m(-3,0)(0,3).根據(jù)題意,點(diǎn)Q在圓C內(nèi),則n>0,所以n=36+3m25=15m2+1805.于是,n與m的函數(shù)關(guān)系為n=15m2+1805(m(-3,0)(0,3).關(guān)閉Word文檔返回原板塊