新版高中數(shù)學(xué)北師大選修11同課異構(gòu)練習(xí) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義高考題集錦 Word版含答案

新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料1.(2008全國,2,5分)汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數(shù),其圖象可能是()2.(2011湖北, 10, 5分) 放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素, 其含量不斷減少, 這種現(xiàn)象稱為衰變. 假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中, 其含量M(單位:太貝克) 與時間t(單位:年) 滿足函數(shù)關(guān)系:M(t) =M0, 其中M0為t=0時銫137的含量. 已知t=30時, 銫137含量的變化率是-10ln 2(太貝克/年) , 則M(60) =() A. 5太貝克B. 75ln 2太貝克C. 150ln 2太貝克D. 150太貝克3.(2010課標全國, 3, 5分) 曲線y=在點(-1, -1) 處的切線方程為()A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-24.(2010全國, 10, 5分) 若曲線y=在點(a, ) 處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18, 則a=() A. 64B. 32C. 16D. 85.(2010遼寧, 10, 5分) 已知點P在曲線y=上, 為曲線在點P處的切線的傾斜角, 則的取值范圍是() A. B. C. D. 6.(2009全國, 4, 5分) 曲線y=在點(1, 1) 處的切線方程為() A. x-y-2=0B. x+y-2=0C. x+4y-5=0D. x-4y-5=07.(2009遼寧, 7, 5分) 曲線y=在點(1, -1) 處的切線方程為() A. y=x-2B. y=-3x+2C. y=2x-3D. y=-2x+18.(2009全國, 9, 5分) 已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a) 相切, 則a的值為() A. 1B. 2C. -1D. -29.(2009江西, 5, 5分) 設(shè)函數(shù)f(x) =g(x) +x2, 曲線y=g(x) 在點(1, g(1) ) 處的切線方程為y=2x+1, 則曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處切線的斜率為() A. 4B. -C. 2D. -10.(2009安徽, 9, 5分) 已知函數(shù)f(x) 在R上滿足f(x) =2f(2-x) -x2+8x-8, 則曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處的切線方程是() A. y=2x-1B. y=xC. y=3x-2D. y=-2x+311.(2008遼寧, 6, 5分) 設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點, 且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為, 則點P橫坐標的取值范圍為() A. B. -1, 0C. 0, 1D. 12.(2008全國, 7, 5分) 設(shè)曲線y=在點(3, 2) 處的切線與直線ax+y+1=0垂直, 則a=() A. 2B. C. -D. -213.(2007全國, 8, 5分) 已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為, 則切點的橫坐標為()A. 3B. 2C. 1D. 14.(2007江西, 11, 5分) 設(shè)函數(shù)f(x) 是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù), 則曲線y=f(x) 在x=5處的切線的斜率為() A. -B. 0C. D. 515.(2007寧夏, 10, 5分) 曲線y=在點(4, e2) 處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為() A. e2B. 4e2C. 2e2D. e216.(2011全國, 8, 5分) 曲線y=e-2x+1在點(0, 2) 處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為() A. B. C. D. 117.(2008福建, 12, 5分)已知函數(shù)y=f(x), y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖, 那么y=f(x), y=g(x)的圖象可能是()18.(2007四川, 12, 5分) 已知一組拋物線y=ax2+bx+1, 其中a為2, 4, 6, 8中任取的一個數(shù), b為1, 3, 5, 7中任取的一個數(shù), 從這些拋物線中任意抽取兩條, 它們在與直線x=1交點處的切線相互平行的概率是() A. B. C. D. 19.(2012陜西,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則()A. x=1為f(x)的極大值點B. x=1為f(x)的極小值點C. x=-1為f(x)的極大值點D. x=-1為f(x)的極小值點20.(2012課標全國,12,5分)設(shè)點P在曲線y=ex上,點Q在曲線y=ln(2x)上,則|PQ|的最小值為()A. 1-ln 2B. (1-ln 2)C. 1+ln 2D. (1+ln 2)21.(2012大綱全國,10,5分)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則c=()A. -2或2B. -9或3C. -1或1D. -3或122.(2009江蘇, 9, 5分) 在平面直角坐標系xOy中, 點P在曲線C:y=x3-10x+3上, 且在第二象限內(nèi), 已知曲線C在點P處的切線的斜率為2, 則點P的坐標為. 23.(2009福建, 14, 4分) 若曲線f(x) =ax3+ln x存在垂直于y軸的切線, 則實數(shù)a的取值范圍是. 24.(2009北京, 11, 5分) 設(shè)f(x) 是偶函數(shù). 若曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處的切線的斜率為1, 則該曲線在點(-1, f(-1) ) 處的切線的斜率為. 25.(2009陜西, 16, 4分) 設(shè)曲線y=xn+1(nN*) 在點(1, 1) 處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn, 令an=lg xn, 則a1+a2+a99的值為. 26.(2008北京, 12, 5分) 如圖, 函數(shù)f(x) 的圖象是折線段ABC, 其中A, B, C的坐標分別為(0, 4) , (2, 0) , (6, 4) , 則ff(0) =;=(用數(shù)字作答) . 27.(2008全國, 14, 5分) 設(shè)曲線y=eax在點(0, 1) 處的切線與直線x+2y+1=0垂直, 則a=. 28.(2008江蘇, 8, 5分) 設(shè)直線y=x+b是曲線y=ln x(x>0) 的一條切線, 則實數(shù)b的值為. 29.(2011江蘇, 12, 5分) 在平面直角坐標系xOy中, 已知P是函數(shù)f(x) =ex(x>0) 的圖象上的動點, 該圖象在點P處的切線l交y軸于點M. 過點P作l的垂線交y軸于點N. 設(shè)線段MN的中點的縱坐標為t, 則t的最大值是. 30.(2010江蘇, 8, 5分) 函數(shù)y=x2(x>0) 的圖象在點(ak, ) 處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1, 其中kN*. 若a1=16, 則a1+a3+a5的值是. 31.(2012廣東,12,5分)曲線y=x3-x+3在點(1,3)處的切線方程為. 32. (2012遼寧,15,5分)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點,點P,Q的橫坐標分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的縱坐標為. 33.（2013廣東，10,5分）若曲線y=kx+ln x在點(1, k) 處的切線平行于x軸, 則k=.34.（2013江蘇，9,5分）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部與邊界). 若點P(x, y) 是區(qū)域D內(nèi)的任意一點, 則x+2y的取值范圍是.35.(2009廣東, 20, 14分) 已知二次函數(shù)y=g(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行, 且y=g(x) 在x=-1處取得極小值m-1(m0) . 設(shè)f(x) =. () 若曲線y=f(x) 上的點P到點Q(0, 2) 的距離的最小值為, 求m的值;() k(kR) 如何取值時, 函數(shù)y=f(x) -kx存在零點, 并求出零點. 36.(2010重慶, 18, 13分) 已知函數(shù)f(x) =+ln(x+1) , 其中實數(shù)a-1. () 若a=2, 求曲線y=f(x) 在點(0, f(0) ) 處的切線方程;() 若f(x) 在x=1處取得極值, 試討論f(x) 的單調(diào)性. 37.(2010陜西, 21, 14分) 已知函數(shù)f(x) =, g(x) =aln x, aR. () 若曲線y=f(x) 與曲線y=g(x) 相交, 且在交點處有共同的切線, 求a的值和該切線方程;() 設(shè)函數(shù)h(x) =f(x) -g(x) , 當h(x) 存在最小值時, 求其最小值(a) 的解析式;() 對() 中的(a) 和任意的a>0, b>0, 證明:. 38.(2010福建, 20, 14分) () 已知函數(shù)f(x) =x3-x, 其圖象記為曲線C. (i) 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間;(ii) 證明:若對于任意非零實數(shù)x1, 曲線C與其在點P1(x1, f(x1) ) 處的切線交于另一點P2(x2, f(x2) ) , 曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3, f(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值;() 對于一般的三次函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) , 請給出類似于() (ii) 的正確命題, 并予以證明. 39. (2009天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ex(xR) , 其中aR. () 當a=0時, 求曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處的切線的斜率;() 當a時, 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 40.(2009重慶, 18, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+k(k>0) 在x=0處取得極值, 且曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處的切線垂直于直線x+2y+1=0. () 求a, b的值;() 若函數(shù)g(x) =, 討論g(x) 的單調(diào)性. 41.(2009北京, 18, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =xekx(k0) . () 求曲線y=f(x) 在點(0, f(0) ) 處的切線方程;() 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間;() 若函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增, 求k的取值范圍. 42. (2009湖北, 21, 14分) 在R上定義運算:pq=-(p-c) (q-b) +4bc(b、c為實常數(shù)) . 記f1(x) =x2-2c, f2(x) =x-2b, xR. 令f(x) =f1(x) f2(x) . () 如果函數(shù)f(x) 在x=1處有極值-, 試確定b、c的值;() 求曲線y=f(x) 上斜率為c的切線與該曲線的公共點;() 記g(x) =|f (x) |(-1x1) 的最大值為M. 若Mk對任意的b、c恒成立, 試求k的最大值. 43. (2009重慶, 20, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(a0) , 曲線y=f(x) 通過點(0, 2a+3) , 且在點(-1, f(-1) ) 處的切線垂直于y軸. () 用a分別表示b和c;() 當bc取得最小值時, 求函數(shù)g(x) =-f(x) e-x的單調(diào)區(qū)間. 44. (2008天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x+b(x0) , 其中a, bR. () 若曲線y=f(x) 在點P(2, f(2) ) 處的切線方程為y=3x+1, 求函數(shù)f(x) 的解析式;() 討論函數(shù)f(x) 的單調(diào)性;() 若對于任意的a, 不等式f(x) 10在上恒成立, 求b的取值范圍. 45. (2008寧夏、海南, 21, 12分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax+(a, bZ) , 曲線y=f(x) 在點(2, f(2) ) 處的切線方程為y=3. () 求f(x) 的解析式;() 證明:函數(shù)y=f(x) 的圖象是一個中心對稱圖形, 并求其對稱中心;() 證明:曲線y=f(x) 上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值, 并求出此定值. 46. (2007全國, 22, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x3-x. () 求曲線y=f(x) 在點M(t, f(t) ) 處的切線方程;() 設(shè)a>0, 如果過點(a, b) 時作曲線y=f(x) 的三條切線, 證明:-a<b<f(a) . 47.(2007天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =(xR) , 其中aR. () 當a=1時, 求曲線y=f(x) 在點(2, f(2) ) 處的切線方程;() 當a0時, 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 48.(2007湖北, 20, 13分) 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x) =x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中a>0. 設(shè)兩曲線y=f(x) , y=g(x) 有公共點, 且在該點處的切線相同. () 用a表示b, 并求b的最大值;() 求證:f(x) g(x) (x>0) . 49. (2011重慶, 18, 13分) 設(shè)f(x) =x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f (x) 滿足f (1) =2a, f (2) =-b, 其中常數(shù)a, bR. () 求曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處的切線方程;() 設(shè)g(x) =f (x) e-x, 求函數(shù)g(x) 的極值. 50.(2011課標, 21, 12分) 已知函數(shù)f(x) =+, 曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處的切線方程為x+2y-3=0. () 求a, b的值;() 如果當x>0, 且x1時, f(x) >+, 求k的取值范圍. 51.(2011陜西, 19, 12分) 如圖, 從點P1(0, 0) 作x軸的垂線交曲線y=ex于點Q1(0, 1) , 曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2, 再從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2, 依次重復(fù)上述過程得到一系列點:P1, Q1;P2, Q2;Pn, Qn, 記Pk點的坐標為(xk, 0) (k=1, 2, , n) . () 試求xk與xk-1的關(guān)系(2kn) ;() 求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|. 52.(2007四川, 21, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x2-4, 設(shè)曲線y=f(x) 在點(xn, f(xn) ) 處的切線與x軸的交點為(xn+1, 0) (nN*) , 其中x1為正實數(shù). () 用xn表示xn+1;() 求證:對一切正整數(shù)n, xn+1xn的充要條件是x12;() 若x1=4, 記an=lg, 證明數(shù)列an成等比數(shù)列, 并求數(shù)列xn的通項公式. 53.(2007廣東, 21, 14分) 已知函數(shù)f(x) =x2+x-1, 、是方程f(x) =0的兩個根(>) , f (x) 是f(x) 的導(dǎo)數(shù). 設(shè)a1=1, an+1=an-(n=1, 2, ) . () 求、的值;() 證明:對任意的正整數(shù)n, 都有an>() 記bn=ln(n=1, 2, ) , 求數(shù)列bn的前n項和Sn. 54.(2012北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當a2=4b時,求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-,-1上的最大值. 55.(2012江蘇,18,16分)若函數(shù)y=f (x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f (x)的極值點. 已知a,b是實數(shù),1和-1是函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx的兩個極值點. (1)求a和b的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)=f (x)+2,求g(x)的極值點;(3)設(shè)h(x)=f (f (x)-c,其中c-2,2,求函數(shù)y=h(x)的零點個數(shù). 56.（2013重慶，17,13分）設(shè)f(x) =a(x-5) 2+6ln x, 其中aR, 曲線y=f(x) 在點(1, f(1) 處的切線與y軸相交于點(0,6).() 確定a的值;() 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值.57.（2013四川，21,14分）已知函數(shù)f(x) =其中a是實數(shù). 設(shè)A(x1, f(x1), B(x2, f(x2) 為該函數(shù)圖象上的兩點, 且x1< x2.() 指出函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間;() 若函數(shù)f(x) 的圖象在點A, B處的切線互相垂直, 且x2< 0, 求x2-x1的最小值;() 若函數(shù)f(x) 的圖象在點A, B處的切線重合, 求a的取值范圍.58.（2013廣東，20,14分）已知拋物線C的頂點為原點, 其焦點F(0, c) (c> 0) 到直線l: x-y-2=0的距離為. 設(shè)P為直線l上的點, 過點P作拋物線C的兩條切線PA, PB, 其中A, B為切點.(1) 求拋物線C的方程;(2) 當點P(x0, y0) 為直線l上的定點時, 求直線AB的方程;(3) 當點P在直線l上移動時, 求|AF|BF|的最小值.59.（2013福建，17,13分）已知函數(shù)f(x) =x-aln x(aR).() 當a=2時, 求曲線y=f(x) 在點A(1, f(1) 處的切線方程;() 求函數(shù)f(x) 的極值.60.(2013湖南，22,13分)已知a> 0, 函數(shù)f(x) =.() 記f(x) 在區(qū)間0,4上的最大值為g(a), 求g(a) 的表達式;() 是否存在a, 使函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間(0,4) 內(nèi)的圖象上存在兩點, 在該兩點處的切線互相垂直? 若存在, 求a的取值范圍; 若不存在, 請說明理由.61.（2013陜西，21,14分）已知函數(shù)f(x) =ex, xR.() 若直線y=kx+1與f(x) 的反函數(shù)的圖象相切, 求實數(shù)k的值;() 設(shè)x> 0, 討論曲線y=f(x) 與曲線y=mx2(m> 0) 公共點的個數(shù);() 設(shè)a< b, 比較 與 的大小, 并說明理由.62.（2013浙江，22,14分）已知aR, 函數(shù)f(x) =x3-3x2+3ax-3a+3.() 求曲線y=f(x) 在點(1, f(1) 處的切線方程;() 當x0,2時, 求|f(x) |的最大值.63.（2013遼寧，20,12分）如圖, 拋物線C1: x2=4y, C2: x2=-2py(p> 0). 點M(x0, y0) 在拋物線C2上, 過M作C1的切線, 切點為A, B(M為原點O時, A, B重合于O). 當x0=1-時, 切線MA的斜率為-.() 求p的值;() 當M在C2上運動時, 求線段AB中點N的軌跡方程(A, B重合于O時, 中點為O).64.（2013北京, 18,13分）設(shè)L為曲線C: y=在點(1,0) 處的切線.() 求L的方程;() 證明: 除切點(1,0) 之外, 曲線C在直線L的下方.65.(2013課標, 21,12分)設(shè)函數(shù)f(x) =x2+ax+b, g(x) =ex(cx+d). 若曲線y=f(x) 和曲線y=g(x) 都過點P(0,2), 且在點P處有相同的切線y=4x+2.() 求a, b, c, d的值;() 若x-2時, f(x) kg(x), 求k的取值范圍.答案理數(shù)1. A2. D3.A4.A5.D6.B7. D8. B9. A10.A11.A12. D13. A14. B15. D16. A17. D18. B19.D20.B21.A22.(-2, 15) 23.(-, 0) 24.-125.-226.2;-227.228.ln 2-129.+30.2131.2x-y+1=032.-4 33.-134.35.設(shè)二次函數(shù)為g(x) =ax2+bx+c, a0. g(x) =2ax+b的圖象與直線y=2x平行, a=1. 又 y=g(x) 在x=-1處取得極小值m-1, -=-1, g(-1) =a(-1) 2+b(-1) +c=m-1, b=2, c=m, f(x) =+x+2. () 已知m0, 設(shè)曲線y=f(x) 上點P的坐標為P(x, y) , 則點P到點Q(0, 2) 的距離為|PQ|=, 當且僅當2x2=x=時等號成立. |PQ|的最小值為, =|m|+m=1. 當m>0時, 解得m=-1. 當m<0時, 解得m=-1. 故m=-1或m=-1. () y=f(x) -kx的零點即方程+(1-k) x+2=0的解, m0, +(1-k) x+2=0與(k-1) x2-2x-m=0有相同的解. 若k=1, (k-1) x2-2x-m=0x=-0, 函數(shù)y=f(x) -kx有零點x=-. 若k1, (k-1) x2-2x-m=0的判別式=41+m(k-1) . 若=0k=1-, 此時函數(shù)y=f(x) -kx有一個零點x=-m. 若>01+m(k-1) >0, 當m>0, k>1-或m<0, k<1-時, 方程(k-1) x2-2x-m=0有兩個解x1=和x2=. 此時函數(shù)y=f(x) -kx有兩個零點x1和x2. 若<01+m(k-1) <0, 當m>0, k<1-或m<0, k>1-時, 方程(k-1) x2-2x-m=0無實數(shù)解, 此時函數(shù)y=f(x) -kx沒有零點. 36.() f (x) =+=+. 當a=2時, f (0) =+=, 而f(0) =-, 因此曲線y=f(x) 在點(0, f(0) ) 處的切線方程為y-=(x-0) , 即7x-4y-2=0. () 因a-1, 由() 知f (1) =+=+, 又因f(x) 在x=1處取得極值, 所以f (1) =0, 即+=0, 解得a=-3. 此時f(x) =+ln(x+1) , 其定義域為(-1, 3) (3, +) , 且f (x) =+=, 由f (x) =0得x1=1, x2=7. 當-1<x<1或x>7時, f (x) >0;當1<x<7且x3時, f (x) <0. 由以上討論知, f(x) 在區(qū)間(-1, 1, 7, +) 上是增函數(shù), 在區(qū)間1, 3) , (3, 7上是減函數(shù). 37.() f (x) =, g(x) =(x>0) , 由已知得解得a=, x=e2, 兩條曲線交點的坐標為(e2, e) . 切線的斜率為k=f (e2) =, 切線的方程為y-e=(x-e2) . () 由條件知h(x) =-aln x(x>0) , h(x) =-=, (i) 當a>0時, 令h(x) =0, 解得x=4a2, 當0<x<4a2時, h(x) <0, h(x) 在(0, 4a2) 上遞減;當x>4a2時, h(x) >0, h(x) 在(4a2, +) 上遞增. x=4a2是h(x) 在(0, +) 上的唯一極值點, 且是極小值點, 從而也是h(x) 的最小值點. 最小值(a) =h(4a2) =2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a) . (ii) 當a0時, h(x) =>0, h(x) 在(0, +) 上遞增, 無最小值. 故h(x) 的最小值(a) 的解析式為(a) =2a(1-ln 2a) (a>0) . () 證明:由() 知(a) =-2ln 2a, 對任意的a>0, b>0, =-=-ln 4ab, =-2ln=-ln(a+b) 2-ln 4ab, =-2ln-2ln=-ln 4ab, 故由得. 38.解法一:() (i) 由f(x) =x3-x得f (x) =3x2-1=3. 當x和時, f (x) >0;當x時, f (x) <0. 因此, f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和, 單調(diào)遞減區(qū)間為. (ii) 曲線C在點P1處的切線方程為y=(3-1) (x-x1) +-x1, 即y=(3-1) x-2. 由得x3-x=(3-1) x-2, 即(x-x1) 2(x+2x1) =0, 解得x=x1或x=-2x1, 故x2=-2x1. 進而有S1=. 用x2代替x1, 重復(fù)上述計算過程, 可得x3=-2x2和S2=. 又x2=-2x10, 所以S2=0, 因此有=. () 記函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) 的圖象為曲線C, 類似于() (ii) 的正確命題為:若對任意不等于-的實數(shù)x1, 曲線C與其在點P1(x1, g(x1) ) 處的切線交于另一點P2(x2, g(x2) ) , 曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3, g(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值. 證明如下:因為平移變換不改變面積的大小, 故可將曲線y=g(x) 的對稱中心平移至坐標原點, 因而不妨設(shè)g(x) =ax3+hx, 且x10. 類似() (ii) 的計算可得S1=a, S2=a0. 故=. 解法二:() 同解法一. () 記函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) 的圖象為曲線C, 類似于() (ii) 的正確命題為:若對任意不等于-的實數(shù)x1, 曲線C與其在點P1(x1, g(x1) ) 處的切線交于另一點P2(x2, g(x2) ) , 曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(x3, g(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值. 證明如下:由g(x) =ax3+bx2+cx+d(a0) 得g(x) =3ax2+2bx+c, 所以曲線C在點(x1, g(x1) ) 處的切線方程為y=(3a+2bx1+c) x-2a-b+d. 由得(x-x1) 2a(x+2x1) +b=0, 所以x=x1或x=-2x1, 即x2=-2x1, 故S1=ax3+bx2-(3a+2bx1) x+2a+bdx=, 用x2代替x1, 重復(fù)上述計算過程, 可得x3=-2x2和S2=. 又x2=-2x1且x1-, 所以S2=0, 故=. 39.() 當a=0時, f(x) =x2ex, f (x) =(x2+2x) ex, 故f (1) =3e. 所以曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處的切線的斜率為3e. () f (x) =x2+(a+2) x-2a2+4aex. 令f (x) =0, 解得x=-2a或x=a-2. 由a知, -2aa-2. 以下分兩種情況討論. 若a>, 則-2a<a-2, 當x變化時, f (x) 、f(x) 的變化情況如下表x(-, -2a) -2a(-2a, a-2) a-2(a-2, +) f (x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, -2a) , (a-2, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(-2a, a-2) 內(nèi)是減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x=-2a處取得極大值f(-2a) , 且f(-2a) =3ae-2a. 函數(shù)f(x) 在x=a-2處取得極小值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. 若a<, 則-2a>a-2. 當x變化時, f (x) 、f(x) 的變化情況如下表x(-, a-2) a-2(a-2, -2a) -2a(-2a, +) f (x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, a-2) , (-2a, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(a-2, -2a) 內(nèi)是減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x=a-2處取得極大值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. 函數(shù)f(x) 在x=-2a處取得極小值f(-2a) , 且f(-2a) =3ae-2a. 40.() 因f(x) =ax2+bx+k(k>0) , 故f (x) =2ax+b, 又f(x) 在x=0處取得極值, 故f (0) =0, 從而b=0. 由曲線y=f(x) 在(1, f(1) ) 處的切線與直線x+2y+1=0相互垂直可知該切線斜率為2, 即f (1) =2, 有2a=2, 從而a=1. () 由() 知, g(x) =(k>0) , g(x) =(k>0) , 令g(x) =0, 有x2-2x+k=0(k>0) . 當=4-4k<0, 即當k>1時, g(x) >0在R上恒成立, 故函數(shù)g(x) 在R上為增函數(shù). 當=4-4k=0, 即當k=1時, 有g(shù)(x) =>0(x1) , 從而當k=1時, g(x) 在R上為增函數(shù). 當=4-4k>0, 即當0<k<1時, 方程x2-2x+k=0有兩不相等實根x1=1-, x2=1+. 當x(-, 1-) 時, g(x) >0, 故g(x) 在(-, 1-) 上為增函數(shù);當x(1-, 1+) 時, g(x) <0, 故g(x) 在(1-, 1+) 上為減函數(shù);當x(1+, +) 時, g(x) >0, 故g(x) 在(1+, +) 上為增函數(shù). 41.() f (x) =(1+kx) ekx, f (0) =1, f(0) =0, 曲線y=f(x) 在點(0, f(0) ) 處的切線方程為y=x. () 由f (x) =(1+kx) ekx=0得x=-(k0) . 若k>0, 則當x時, f (x) <0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減;當x時, f (x) >0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 若k<0, 則當x時, f (x) >0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增;當x時, f (x) <0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減. () 由() 知, 若k>0, 則當且僅當-1, 即k1時, 函數(shù)f(x) 在(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增;若k<0, 則當且僅當-1, 即k-1時, 函數(shù)f(x) 在(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增. 綜上可知, 函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增時, k的取值范圍是-1, 0) (0, 1. 42. f(x) =f1(x) f2(x) =-(x2-3c) (x-3b) +4bc=-x3+bx2+cx+bc, f (x) =-x2+2bx+c. () 由f(x) 在x=1處有極值-, 可得解得或若b=1, c=-1, 則f (x) =-x2+2x-1=-(x-1) 20, 此時f(x) 沒有極值;若b=-1, c=3, 則f (x) =-x2-2x+3=-(x+3) (x-1) . 當x變化時, f(x) 、f (x) 的變化情況如下表:x(-, -3) -3(-3, 1) 1(1, +) f (x) -0+0-f(x) 極小值-12極大值-當x=1時, f(x) 有極大值-, 故b=-1, c=3即為所求. () 設(shè)曲線y=f(x) 在x=t處的切線的斜率為c, f (x) =-x2+2bx+c, -t2+2bt+c=c, 即t2-2bt=0, 解得t=0或t=2b. 若t=0, 則f(0) =bc, 得切點為(0, bc) , 切線方程為y=cx+bc;若t=2b, 則f(2b) =b3+3bc, 得切點為, 切線方程為y=cx+bc+b3. 若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc x3-3bx2=0, 解得x1=x2=0, x3=3b, 則此時切線y=cx+bc與曲線y=f(x) 的公共點為(0, bc) , (3b, 4bc) ;若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc+b3 x3-3bx2+4b3=0, 解得x1=x2=2b, x3=-b, 此時切線y=cx+bc+b3與曲線y=f(x) 的公共點為. 綜合可知, 當b=0時, 斜率為c的切線與曲線y=f(x) 有且僅有一個公共點(0, 0) ;當b0時, 斜率為c的切線與曲線y=f(x) 有兩個不同的公共點, 分別為(0, bc) 和(3b, 4bc) 或和. () g(x) =|f (x) |=|-(x-b) 2+b2+c|. 當|b|>1時, 函數(shù)y=f (x) 的對稱軸x=b位于區(qū)間-1, 1之外, f (x) 在-1, 1上的最值在兩端點處取得. 故M應(yīng)是g(-1) 和g(1) 中較大的一個. 2Mg(1) +g(-1) =|-1+2b+c|+|-1-2b+c|4b|>4, 即M>2. 當|b|1時, 函數(shù)y=f (x) 的對稱軸x=b位于區(qū)間-1, 1內(nèi), 此時M=maxg(-1) , g(1) , g(b) . 由f (1) -f (-1) =4b, 有f (b) -f (1) =(b1) 20. (i) 若-1b0, f (1) f (-1) f (b) , g(-1) maxg(1) , g(b) , 于是M=max|f (1) |, |f (b) |(|f (1) |+|f (b) |) |f (1) -f (b) |=(b-1) 2. (ii) 若0<b1, 則f (-1) f (1) f (b) , g(1) maxg(-1) , g(b) , 于是M=max|f (-1) |, |f (b) |(|f (-1) |+|f (b) |) |f (-1) -f (b) |=(b+1) 2>. 綜上, 對任意的b、c都有M. 而當b=0, c=時, g(x) =在區(qū)間-1, 1上的最大值M=, 故Mk對任意的b、c恒成立的k的最大值為. 43.() 因為f(x) =ax2+bx+c, 所以f (x) =2ax+b. 又因為曲線y=f(x) 通過點(0, 2a+3) , 故f(0) =2a+3, 而f(0) =c, 從而c=2a+3. 又曲線y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 處的切線垂直于y軸, 故f (-1) =0, 即-2a+b=0, 因此b=2a. () 由() 得bc=2a(2a+3) =4-, 故當a=-時, bc取得最小值-. 此時有b=-, c=. 從而f(x) =-x2-x+, f (x) =-x-. g(x) =-f(x) e-x=e-x, 所以g(x) =f(x) -f (x) e-x=-(x2-4) e-x. 令g(x) =0, 解得x1=-2, x2=2. 當x(-, -2) 時, g(x) <0, 故g(x) 在x(-, -2) 上為減函數(shù);當x(-2, 2) 時, g(x) >0, 故g(x) 在x(-2, 2) 上為增函數(shù);當x(2, +) 時, g(x) <0, 故g(x) 在x(2, +) 上為減函數(shù). 由此可見, 函數(shù)g(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(-, -2) 和(2, +) ;單調(diào)遞增區(qū)間為(-2, 2) . 44.() f (x) =1-, 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f (2) =3, 于是a=-8. 由切點P(2, f(2) ) 在直線y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9. 所以函數(shù)f(x) 的解析式為f(x) =x-+9. () f (x) =1-. 當a0時, 顯然f (x) >0(x0) . 這時f(x) 在(-, 0) 、(0, +) 內(nèi)是增函數(shù);當a>0時, 令f (x) =0, 解得x=. 當x變化時, f (x) 、f(x) 的變化情況如下表:x(-, -) -(-, 0) (0, ) (, +) f (x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在(-, -) 、(, +) 內(nèi)是增函數(shù), 在(-, 0) 、(0, ) 內(nèi)是減函數(shù). () 由() 知, f(x) 在上的最大值為f與f(1) 中的較大者, 對于任意的a, 不等式f(x) 10在上恒成立, 當且僅當即對任意的a成立. 從而得b, 所以滿足條件的b的取值范圍是. 45.() f (x) =a-, 于是解得或因a, bZ, 故f(x) =x+. () 證明:已知函數(shù)y1=x, y2=都是奇函數(shù), 所以函數(shù)g(x) =x+也是奇函數(shù), 其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形. 而f(x) =x-1+1. 可知, 函數(shù)g(x) 的圖象按向量a=(1, 1) 平移, 即得到函數(shù)f(x) 的圖象, 故函數(shù)f(x) 的圖象是以點(1, 1) 為中心的中心對稱圖形. () 證明:在曲線上任取一點. 由f (x0) =1-知, 過此點的切線方程為y-=(x-x0) . 令x=1得y=, 切線與直線x=1交點為. 令y=x得y=2x0-1, 切線與直線y=x交點為(2x0-1, 2x0-1) . 直線x=1與直線y=x的交點為(1, 1) . 從而所圍三角形的面積為|2x0-1-1|=|2x0-2|=2. 所以, 所圍三角形的面積為定值2. 46.() 求函數(shù)f(x) 的導(dǎo)數(shù): f (x) =3x2-1. 曲線y=f(x) , 在點M(t, f(t) ) 處的切線方程為:y-f(t) =f (t) (x-t) , 即y=(3t2-1) x-2t3. () 證明:如果有一條切線過點(a, b) , 則存在t, 使b=(3t2-1) a-2t3. 于是, 若過點(a, b) 可作曲線y=f(x) 的三條切線, 則方程2t3-3at2+a+b=0. 有三個相異的實數(shù)根. 記g(t) =2t3-3at2+a+b, 則g(t) =6t2-6at=6t(t-a) 當t變化時, g(t) , g(t) 變化情況如下表:t(-, 0) 0(0, a) a(a, +) g(t) +0-0+g(t) 極大值a+b極小值b-f(a) 由g(t) 的單調(diào)性, 當極大值a+b<0或極小值b-f(a) >0時, 方程g(t) =0最多有一個實數(shù)根;當a+b=0時, 解方程g(t) =0得t=0, t=, 即方程g(t) =0只有兩個相異的實數(shù)根;當b-f(a) =0時, 解方程g(t) =0, 得t=-, t=a, 即方程g(t) =0, 只有兩個相異的實數(shù)根. 綜上, 如果過(a, b) 可作曲線y=f(x) 三條切線, 即g(t) =0有三個相異的實數(shù)根, 則即-a<b<f(a) . 47.() 當a=1時, f(x) =, f(2) =, 又f (x) =, f (2) =-. 所以, 曲線y=f(x) 在點(2, f(2) ) 處的切線方程為y-=-(x-2) , 即6x+25y-32=0. () f (x) =. =. 由于a0, 以下分兩種情況討論. (1) 當a>0時, 令f (x) =0, 得到x1=-, x2=a. 當x變化時, f (x) , f(x) 的變化情況如下表:x-a(a, +) f (x) -0+0-f(x) 極小值極大值所以f(x) 在區(qū)間, (a, +) 內(nèi)為減函數(shù), 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x1=-處取得極小值f, 且f=-a2. 函數(shù)f(x) 在x2=a處取得極大值f(a) , 且f(a) =1. (2) 當a<0時, 令f (x) =0, 得到x1=a, x2=-. 當x變化時, f (x) , f(x) 的變化情況如下表:x(-, a) a-f (x) +0-0+f(x) 極大值極小值所以f(x) 在區(qū)間(-, a) , 內(nèi)為增函數(shù), 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x1=a處取得極大值f(a) , 且f(a) =1. 函數(shù)f(x) 在x2=-處取得極小值f, 且f=-a2. 48.() 設(shè)y=f(x) 與y=g(x) (x>0) 在公共點(x0, y0) 處的切線相同. f (x) =x+2a, g(x) =, 由題意f(x0) =g(x0) , f (x0) =g(x0) . 即由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(舍去) . 則有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a. 令h(t) =t2-3t2ln t(t>0) , 則h(t) =2t(1-3ln t) . 于是當t(1-3ln t) >0, 即0<t<時, h(t) >0;當t(1-3ln t) <0, 即t>時, h(t) <0. 故h(t) 在(0, -) 為增函數(shù), 在(, +) 為減函數(shù). 于是h(t) 在(0, +) 的最大值為h() =. () 證明:設(shè)F(x) =f(x) -g(x) =x2+2ax-3a2ln x-b(x>0) , 則F(x) =x+2a-=(x>0) . 故F(x) 在(0, a) 為減函數(shù), 在(a, +) 為增函數(shù), 于是函數(shù)F(x) 在(0, +) 上的最小值是F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0. 故當x>0時, 有f(x) -g(x) 0, 即當x>0時, f(x) g(x) . 49.() 因f(x) =x3+ax2+bx+1, 故f (x) =3x2+2ax+b. 令x=1, 得f (1) =3+2a+b, 由已知f (1) =2a, 因此3+2a+b=2a, 解得b=-3. 又令x=2, 得f (2) =12+4a+b, 由已知f (2) =-b, 因此12+4a+b=-b, 解得a=-. 因此f(x) =x3-x2-3x+1, 從而f(1) =-. 又因為f (1) =2=-3, 故曲線y=f(x) 在點(1, f(1) ) 處的切線方程為y-=-3(x-1) , 即6x+2y-1=0. () 由() 知g(x) =(3x2-3x-3) e-x, 從而有g(shù)(x) =(-3x2+9x) e-x. 令g(x) =0, 得-3x2+9x=0, 解得x1=0, x2=3. 當x(-, 0) 時, g(x) <0, 故g(x) 在(-, 0) 上為減函數(shù);當x(0, 3) 時, g(x) >0, 故g(x) 在(0, 3) 上為增函數(shù);當x(3, +) 時, g(x) <0, 故g(x) 在(3, +) 上為減函數(shù);從而函數(shù)g(x) 在x1=0處取得極小值g(0) =-3, 在x2=3處取得極大值g(3) =15e-3. 50.() f (x) =-. 由于直線x+2y-3=0的斜率為-, 且過點(1, 1) , 故即解得a=1, b=1. () 由() 知f(x) =+, 所以f(x) -=. 考慮函數(shù)h(x) =2ln x+(x>0) , 則h(x) =. (i) 設(shè)k0. 由h(x) =知, 當x1時, h(x) <0. 而h(1) =0, 故當x(0, 1) 時, h(x) >0, 可得h(x) >0;當x(1, +) 時, h(x) <0, 可得h(x) >0. 從而當x>0, 且x1時, f(x) ->0, 即f(x) >+. (ii) 設(shè)0<k<1. 由于當x時, (k-1) (x2+1) +2x>0, 故h(x) >0. 而h(1) =0, 故當x時, h(x) >0, 可得h(x) <0. 與題設(shè)矛盾. (iii) 設(shè)k1. 此時h(x) >0, 而h(1) =0, 故當x(1, +) 時, h(x) >0, 可得h(x) <0. 與題設(shè)矛盾. 綜合得, k的取值范圍為(-, 0. 51.() 設(shè)Pk-1(xk-1, 0) , 由y=ex得Qk-1(xk-1, ) 點處切線方程為y-=(x-xk-1) , 由y=0得xk=xk-1-1(2kn) . () 由x1=0, xk-xk-1=-1, 得xk=-(k-1) , 所以|PkQk|=e-(k-1) , 于是Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+|PnQn|=1+e-1+e-2+e-(n-1) =. 52.() 由題可得f (x