人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：55 數(shù)列的綜合應(yīng)用

精品資料A組基礎(chǔ)演練·能力提升一、選擇題1已知數(shù)列an，bn滿足a11，且an，an1是函數(shù)f(x)x2bnx2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則b8a9()A24B32C48 D64解析：依題意有，anan1bn，an·an12n，又a11，故a22，a32，a422，a522，a623，a723，a824，a924，故b8a9(a8a9)a9a82a93×2448.答案：C2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比q1，若a4b4，a12b12，則()Aa8b8 Ba8>b8Ca8<b8 Da8>b8或a8<b8解析：bn為等比數(shù)列，其公比q1，b4b12，a4a12，a8 > b8.答案：B3已知正項(xiàng)等差數(shù)列an滿足：an1an1a(n2)，等比數(shù)列bn滿足：bn1bn12bn(n2)，則log2(a2b2)()A1或2 B0或2C2 D1解析：由題意可知，an1an12ana，解得an2(n2)(由于數(shù)列an每項(xiàng)都是正數(shù))，又bn1bn1b2bn(n2)，所以bn2(n2)，log2(a2b2)log242.答案：C4(2013年高考遼寧卷)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列an的四個(gè)命題：P1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；P2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；P3：數(shù)列是遞增數(shù)列；P4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列其中的真命題為()Ap1，p2 Bp3，p4Cp2，p3 Dp1，p4解析：設(shè)ana1(n1)ddna1d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an3n12，則滿足已知，但nan3n212n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若ann1，則滿足已知，但1是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；設(shè)an3nd4dna1d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題答案：D來源:數(shù)理化網(wǎng)5(2014年保定調(diào)研)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差數(shù)列，若b，則ac的最大值為()A. B3C2 D9來源:解析：acos C，bcos B，ccos A成等差數(shù)列，2bcos Bacos Cccos A，cos B，b2a2c22accos B(ac)23ac(ac)23·2，即3，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立，ac2.答案：C6若關(guān)于x的方程x2xa0與x2xb0(ab)的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則ab的值是()A. B.C. D.解析：設(shè)兩個(gè)方程的根分別為x1、x4和x2、x3.因?yàn)閤1x4x2x31，所以x1，x4，從而x2，x3.則ax1x4，bx2x3，或a，b，ab.答案：D二、填空題7(2013年高考重慶卷)已知an是等差數(shù)列，a11，公差d0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8_.解析：因?yàn)閍n為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a14d)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.答案：648九章算術(shù)之后，人們進(jìn)一步用等差數(shù)列求和公式來解決更多的問題，張丘建算經(jīng)卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第一天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))，共織390尺布”，則每天比前一天多織_尺布(不作近似計(jì)算)解析：由題意知，a15，n30，Sn39030×5dd.答案：9(2014年合肥模擬)已知數(shù)列an滿足anan1an2an324，且a11，a22，a33，則a1a2a3a2 013_.來源:解析：由anan1an2an324可知，an1an2an3·an424，得an4an，所以數(shù)列an是周期為4的數(shù)列，再令n1，求得a44，每四個(gè)一組可得(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)a2 01310×50315 031.答案：5 031三、解答題10(2014年大同模擬)已知公比為q的等比數(shù)列an的前6項(xiàng)和S621，且4a1，a2，a2成等差數(shù)列(1)求an；(2)設(shè)bn是首項(xiàng)為2，公差為a1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Tn，求不等式Tnbn>0的解集解析：(1)4a1，a2，a2成等差數(shù)列，4a1a23a2，即4a12a2，q2.則S621，解得a1，an.(2)由(1)得a1，bn2(n1)，Tn2n(n1)·，Tnbn>0，即>0，解得1<n<14(nN*)，故不等式Tnbn>0的解集為nN*|1<n<1411已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn·2n1>50成立的正整數(shù)n的最小值解析：(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，依題意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38，a2a420，解得或.又?jǐn)?shù)列an單調(diào)遞增，q2，a12，an2n.(2)由題意知bn2n·log2nn·2n，Sn1×22×223×23n×2n，2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1，得Sn222232nn·2n1n·2n12n1n·2n12，Snn·2n1>50，2n12>50，2n1>52，又當(dāng)n4時(shí)，2n12532<52，當(dāng)n5時(shí)，2n12664>52.故使Snn·2n1>50成立的正整數(shù)n的最小值為5.12(能力提升)(2013年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有<.解析：(1)依題意，2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)當(dāng)n2時(shí)，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，來源:所以1(n1)×1n，所以ann2.(3)證明：當(dāng)n1時(shí)，1<；當(dāng)n2時(shí)，1<；當(dāng)n3時(shí)，<，此時(shí)1<11<.綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有<.B組因材施教·備選練習(xí)1各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an的公比q1，且a2，a3，a1成等差數(shù)列，則q的值為()A. B.C. D.或解析：a2，a3，a1成等差數(shù)列，a3a1a2，q21q，q或q，等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，q不滿足題意，舍去，q.答案：C來源:數(shù)理化網(wǎng)2(2014年成都模擬)已知數(shù)列an滿足an2an1an1an，nN*，且a5.若函數(shù)f(x)sin 2x2cos2，記ynf(an)，則數(shù)列yn的前9項(xiàng)和為()A0 B9C9 D1解析：由數(shù)列an滿足an2an1an1an，nN*可知該數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)題意可知只要該數(shù)列中a5，數(shù)列yn的前9項(xiàng)和就能計(jì)算得到一個(gè)定值，又因?yàn)閒(x)sin 2x1cos x，則可令數(shù)列an的公差為0，則數(shù)列yn的前9項(xiàng)和為S9(sin 2a1sin 2a2sin 2a9)(cos a1cos a2cos a9)99sin 2a59cos a599sin9cos 99.答案：C3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)在函數(shù)f(x)x2x的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，不等式Tn>loga(1a)對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：(1)點(diǎn)(n，Sn)在函數(shù)f(x)x2x的圖象上，Snn2n，當(dāng)n2時(shí)，Sn1(n1)2(n1)，得ann.當(dāng)n1時(shí)，a1S11，符合上式，ann.(2)由(1)得，Tn.Tn1Tn>0，數(shù)列Tn單調(diào)遞增(Tn)minT1.要使不等式Tn>loga(1a)對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，只要>loga(1a)即可1a>0，0<a<1，1a>a，即0<a<，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.