2020數(shù)學理高考二輪專題復習與測試：第二部分 專題七 第1講 坐標系與參數(shù)方程選修44 Word版含解析

A 級級 基礎通關基礎通關 1(2018 江蘇卷江蘇卷)在極坐標系中，直線在極坐標系中，直線 l 的方程為的方程為 sin(6)2，曲線曲線 C 的方程為的方程為 4cos ，求直線，求直線 l 被曲線被曲線 C 截得的弦長截得的弦長 解：解：因為曲線因為曲線 C 的極坐標方程為的極坐標方程為 4cos ， 所以曲線所以曲線 C 是圓心為是圓心為(2，0)，直徑為，直徑為 4 的圓的圓 因為直線因為直線 l 的極坐標方程為的極坐標方程為 sin(6)2， 則直線則直線 l 過過 A(4，0)，傾斜角為，傾斜角為6， 所以所以 A 為直線為直線 l 與圓與圓 C 的一個交點的一個交點 設另一個交點為設另一個交點為 B，則，則OAB6. 如圖，連接如圖，連接 OB. 因為因為 OA 為直徑，從而為直徑，從而OBA2， 所以所以 AB4cos 62 3. 因此，直線因此，直線 l 被曲線被曲線 C 截得的弦長為截得的弦長為 2 3. 2(2018 全國卷全國卷)在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中，曲線中，曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x2cos ，y4sin ( 為參數(shù)為參數(shù))，直線，直線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x1tcos ，y2tsin (t 為參數(shù)為參數(shù)) (1)求求 C 和和 l 的直角坐標方程；的直角坐標方程； (2)若曲線若曲線 C 截直線截直線 l 所得線段的中點坐標為所得線段的中點坐標為(1，2)，求，求 l 的斜率的斜率 解：解：(1)曲線曲線 C 的直角坐標方程為的直角坐標方程為x24y2161. 當當 cos 0 時，時，l 的直角坐標方程為的直角坐標方程為 ytan x2tan ， 當當 cos 0 時，時，l 的直角坐標方程的直角坐標方程為為 x1. (2)將將 l 的參數(shù)方程代入的參數(shù)方程代入 C 的直角坐標方程， 整理得關于的直角坐標方程， 整理得關于 t 的方程的方程(13cos2 )t24(2cos sin )t80. 因為曲線因為曲線 C 截直線截直線 l 所得線段的中點所得線段的中點(1，2)在在 C 內，所以內，所以有兩有兩個解，設為個解，設為 t1，t2，則，則 t1t20. 又由又由得得 t1t24（2cos sin ）13cos2 ，故，故 2cos sin 0，于，于是直線是直線 l 的斜率的斜率 ktan 2. 3在平面直角坐標系中，以原點在平面直角坐標系中，以原點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線已知直線 l 的參數(shù)的參數(shù)方程為方程為 x 3t，y1 3t(t 為參數(shù)為參數(shù))，曲線，曲線 C 的極坐標方程為的極坐標方程為 4sin 3. (1)求直線求直線 l 的普通方程與曲線的普通方程與曲線 C 的直角坐標方程；的直角坐標方程； (2)若直線若直線 l 與曲線與曲線 C 交于交于 M，N 兩點，求兩點，求MON 的面積的面積 解：解：(1)由由 x 3t，y1 3t，消去參數(shù)消去參數(shù) t 得得 3xy4， 所以直線所以直線 l 的普通方程為的普通方程為 3xy40. 由由 4sin 32sin 2 3cos ， 得得 22sin 2 3cos ，即，即 x2y22 3x2y. 所以曲線所以曲線 C 的直角坐標方程是圓的直角坐標方程是圓(x 3)2(y1)24. (2)因為原點因為原點 O 到直線到直線 l 的距離的距離 d|4|（ 3）2122. 直線直線 l 過圓過圓 C 的圓心的圓心( 3，1)，所以，所以|MN|2r4， 所以所以MON 的面積的面積 S12|MN|d4. 4(2019 佛山檢測佛山檢測)在平面直角坐標系在平面直角坐標系 xOy 中，直線中，直線 l 的參數(shù)方程的參數(shù)方程為為 xm2t，y 2t(t 為參數(shù)為參數(shù))，以坐標原點為極點，以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線立極坐標系，曲線 C 的極坐標方程為的極坐標方程為 241sin2. (1)求直線求直線 l 的普通方程和曲線的普通方程和曲線 C 的直角坐標方程；的直角坐標方程； (2)設設 P 為曲線為曲線 C 上的點，上的點， PQl， 垂足為， 垂足為 Q， 若， 若|PQ|的最小值為的最小值為 2，求求 m 的值的值 解：解：(1)因為曲線因為曲線 C 的極坐標方程為的極坐標方程為 241sin2， 則則 22sin24， 將將 2x2y2，sin y 代入上式并化簡得代入上式并化簡得x24y221， 所以曲線所以曲線 C 的直角坐標方程為的直角坐標方程為x24y221. 由由 xm2t，y 2t，消去參數(shù)消去參數(shù) t 得得 x 2ym， 所以直所以直線線 l 的普通方程為的普通方程為 x 2ym0. (2)設設 P(2cos ， 2sin )，由點到直線的距離公式得，由點到直線的距離公式得 |PQ|2cos 2sin m|3 2 2cos 4m3， 由題意知由題意知 m0， 當當 m0 時，時，|PQ|min|2 2m|32，得，得 m2 32 2； 當當 m0 時，時，|PQ|min|2 2m|32，得，得 m2 32 2，所以，所以m2 32 2或或 m2 32 2. 5(2017 全國卷全國卷)在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中，以坐標原點為極點，中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C1的極坐標方程為的極坐標方程為cos 4. (1)M 為曲線為曲線 C1上的動點，點上的動點，點 P 在線段在線段 OM 上，且滿足上，且滿足|OM| |OP|16，求點，求點 P 的軌跡的軌跡 C2的直角坐標方程；的直角坐標方程； (2)設點設點 A 的極坐標為的極坐標為 2，3，點，點 B 在曲線在曲線 C2上，求上，求OAB 面積面積的最大值的最大值 解：解：(1)設設 P 的極坐標為的極坐標為(，)(0)，M 的極坐標為的極坐標為(1，)(10) 由題設知由題設知|OP|，|OM|14cos . 由由|OM| |OP|16 得得 C2的極坐標方程為的極坐標方程為 4cos (0) 因此因此 C2的直角坐標方程為的直角坐標方程為(x2)2y24(x0) (2)設點設點 B 的極坐標的極坐標為為(B，)(B0) 由題設知由題設知|OA|2，B4cos ，于是，于是OAB 的面積的面積 S12|OA| B sinAOB4cos sin 3 2 sin 23322 3. 當當 12時，時，S 取得最大值取得最大值 2 3. 所以所以OAB 面積的最大值為面積的最大值為 2 3. 6 (2018 全國卷全國卷)在直角坐標系在直角坐標系 xOy 中， 曲線中， 曲線 C1的方程為的方程為 yk|x|2.以坐標原點為極點，以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2的的極坐標方程為極坐標方程為 22cos 30. (1)求求 C2的直角坐標方程；的直角坐標方程； (2)若若 C1與與 C2有且僅有三個公共點，求有且僅有三個公共點，求 C1的方程的方程 解：解：(1)由由 xcos ，ysin 得得 C2的直角坐標方程為的直角坐標方程為(x1)2y24. (2)由由(1)知知 C2是圓心為是圓心為 A(1，0)，半徑為，半徑為 2 的圓的圓 由題設知，由題設知，C1是過點是過點 B(0，2)且關于且關于 y 軸對稱的兩條射線記軸對稱的兩條射線記 y軸右邊的射線為軸右邊的射線為 l1，y 軸左邊的射線為軸左邊的射線為 l2. 由于點由于點 B 在圓在圓 C2的外面，故的外面，故 C1與與 C2有且僅有三個公共點等價于有且僅有三個公共點等價于l1與與 C2只有一個公共點且只有一個公共點且 l2與與 C2有兩個公共點，或有兩個公共點，或 l2與與 C2只有一個只有一個公共點且公共點且 l1與與 C2有兩個公共點有兩個公共點 當當 l1與與 C2只有一個公共點時，只有一個公共點時，A 到到 l1所在直線的距離為所在直線的距離為 2，所以，所以|k2|k212，解得，解得 k43或或 k0. 經(jīng)檢驗，當經(jīng)檢驗，當 k0 時，時，l1與與 C2沒有公共點；沒有公共點； 當當 k43時，時，l1與與 C2只有一個公共點，只有一個公共點，l2與與 C2有兩個公共點有兩個公共點 當當 l2與與 C2只有一個公共點時，點只有一個公共點時，點 A 到到 l2所在直線的距離為所在直線的距離為 2，所，所以以|k2|k212，故，故 k0 或或 k43. 經(jīng)檢驗，當經(jīng)檢驗，當 k0 時，時，l1與與 C2沒有公共點；沒有公共點； 當當 k43時，時，l2與與 C2沒有公共點沒有公共點 綜上，所求綜上，所求 C1的方程為的方程為 y43|x|2. B 級級 能力提升能力提升 7 在平面直角坐標系 在平面直角坐標系 xOy 中， 以中， 以 O 為極點，為極點， x 軸的正半軸為極軸軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線建立極坐標系，曲線 C 的極坐標方程為的極坐標方程為 2sin 2acos (a0)；直；直 線線 l 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 x222t，y22t(t 為參數(shù)為參數(shù))直線直線 l 與曲線與曲線 C 分別交分別交于于 M，N 兩點兩點 (1)寫出曲線寫出曲線 C 的直角坐標方程和直線的直角坐標方程和直線 l 的普通方程；的普通方程； (2)若點若點 P 的極坐標為的極坐標為(2，)，|PM|PN|5 2，求，求 a 的值的值 解：解：(1)由由 2sin 2acos (a0)，得，得 22sin 2acos (a0)， 所以曲線所以曲線 C 的直角坐標方程為的直角坐標方程為 x2y22y2ax， 即即(xa)2(y1)2a21. 由直線由直線 l 的參數(shù)方程得直線的參數(shù)方程得直線 l 的普通方程為的普通方程為 yx2. (2)將直線將直線 l 的參數(shù)方程的參數(shù)方程 x222t，y22t. 代入代入 x2y22y2ax，化簡得，化簡得 t2(3 2 2a)t4a40. (3 2 2a)24(4a4)0，解得，解得 a1. t1t23 2 2a，t1t24a4. 又因為又因為 a0，所以，所以 t10，t20. 因為點因為點 P 的直角坐標為的直角坐標為(2，0)，且在直線，且在直線 l 上，上， 所以所以|PM|PN|t1|t2|3 2 2a5 2， 解得解得 a2，此時滿足，此時滿足 a0，且，且 a1，故，故 a2. 8(2019 珠海檢測珠海檢測)在平面直角坐標系在平面直角坐標系 xOy 中，曲線中，曲線 C1的參數(shù)方的參數(shù)方程為程為 xt，y4t2(t 為參數(shù)為參數(shù))，以原，以原點點 O 為極點，為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線坐標系，曲線 C2的極坐標方程為的極坐標方程為 2msin cos . (1)求求 C1的普通方程和的普通方程和 C2的直角坐標方程；的直角坐標方程； (2)若若 C1與與 C2交于交于 P，Q 兩點，求兩點，求1kOP1kOQ的值的值 解：解：(1)由由 xt，y4t2(t 為參數(shù)為參數(shù))，消去參數(shù)，消去參數(shù) t，得，得 x214y， 則則 C1的普通方程為的普通方程為 x214y. 由由 2msin cos ，得，得 msin cos 2， 將將 xcos ，ysin 代入，得代入，得 myx20， 即即 C2的直角坐標方程為的直角坐標方程為 xmy20. (2)由由 xt，y4t2(t 為參數(shù)為參數(shù))，可得，可得yx4t(x0)， 故故 4t 的幾何意義是拋物線的幾何意義是拋物線 x214y 上的點上的點(原點除外原點除外)與原點連線的與原點連線的斜率斜率 由由(1)知，當知，當 m0 時，時，C2：x2，則，則 C1與與 C2只有一個交點，故只有一個交點，故 m0. 把把 xt，y4t2(t 為參數(shù)為參數(shù))代入代入 xmy20， 得得 4mt2t20， 設此方程的兩根分別為設此方程的兩根分別為 t1，t2， 則則 t1t214m，t1t212m， 所以所以1kOP1kOQ14t114t2t1t24t1t214m4 12m18.