新課標高考數學 總復習：考點29離散型隨機變量及其分布列含解析

考點29 離散型隨機變量及其分布列、二項分布及其應用、離散型隨機變量的均值與方差 1（20xx海南寧夏高考理科T6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為X，則X的數學期望為（ ）（A）100 （B）200 （C）300 （D）400 【命題立意】本題主要考查了二項分布的期望的公式.【思路點撥】通過題意得出補種的種子數服從二項分布.【規(guī)范解答】選.由題意可知，補種的種子數記為X，服從二項分布，即，所以X的數學期望.2（20xx山東高考理科5）已知隨機變量服從正態(tài)分布,若,則（ ）(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977【命題立意】本題考查正態(tài)分布的基礎知識,考查考生的推理論證能力和運算求解能力.【思路點撥】先由服從正態(tài)分布得出正態(tài)曲線關于直線對稱,于是得到與的關系，最后進行求解.【規(guī)范解答】 選C.因為隨機變量服從正態(tài)分布,所以正態(tài)曲線關于直線對稱,又,所以,所以0.954,故選C.3（20xx江蘇高考22）某工廠生產甲、乙兩種產品，甲產品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產1件甲產品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產1件乙產品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元.設生產各種產品相互獨立.記X（單位：萬元）為生產1件甲產品和1件乙產品可獲得的總利潤，求X的分布列；求生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率.【命題立意】本題主要考查概率的有關知識，考查運算求解能力.【思路點撥】利用獨立事件的概率公式求解.【規(guī)范解答】（1）由題設知，X的可能取值為10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.80.9=0.72， P（X=5）=0.20.9=0.18， P（X=2）=0.80.1=0.08， P（X=-3）=0.20.1=0.02. 由此得X的分布列為：X1052-3P0.720.180.080.02（2）設生產的4件甲產品中一等品有件，則二等品有件. 由題設知，解得， 又，得或.所求概率為.答：生產4件甲產品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192.4（20xx安徽高考理科21）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優(yōu)劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現設，分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并令，則是對兩次排序的偏離程度的一種描述. (1)寫出的可能值集合；(2)假設等可能地為1,2,3,4的各種排列，求的分布列；(3)某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有，試按(2)中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.【命題立意】本題主要考查離散型隨機變量及其分布列，考查考生的計數能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的應用意識和創(chuàng)新意識.【思路點撥】用列表或樹形圖表示1,2,3,4的排列的所有可能情況，計算每一種排列下的X值，即可得出其分布列及相關事件的概率.【規(guī)范解答】（I）X的可能值的集合為.（II）1,2,3,4的排列共24種，在等可能的假定下，計算每種排列下的X值，得到X02468（III）（i）（ii）由于是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有X的結果的可能性很小，所以可以認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能,不是靠隨機猜測.5（20xx浙江高考理科19）如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落到A或B或C.已知小球從每個叉口落入左右兩個 管道的可能性是相等的某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設為l，2，3等獎(1)已知獲得l，2，3等獎的折扣率分別為50，70，90記隨機變量為獲得k(k=1,2,3)等獎的折扣率，求隨機變量的分布列及期望；(2)若有3人次(投入l球為l人次)參加促銷活動，記隨機變量為獲得1等獎或2等獎的人次，求【命題立意】本題主要考查隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數學期望、二項分布等概念，同時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識.【思路點撥】（1）求分布列時，要先找出從M出發(fā)到相應的位置有幾種路，然后再用獨立事件的乘法公式.如從M到A有兩種路，所以；（2）第（2）題是一個二項分布問題.【規(guī)范解答】 ()由題意得的分布列為507090P則=50+70+90=.（）由()可知，獲得1等獎或2等獎的概率為+=.由題意得B（3，）則P（=2）=()2(1-)=.【方法技巧】1.獨立事件的概率滿足乘法公式，互斥事件的概率滿足加法公式；2.n次獨立重復試驗是一個很重要的試驗，要注意在實際問題中的應用.6（20xx北京高考理科7）某同學參加3門課程的考試.假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，()，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立.記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數，其分布列為0123()求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；()求，的值；()求數學期望.【命題立意】本題考查了對立事件、獨立事件的概率及期望的求法.【思路點撥】（1）“至少”問題一般用對立事件求概率方便.（2）利用獨立事件分別求出時的概率，聯立方程解出的值.（3）求出，代入期望公式即可.【規(guī)范解答】事件表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績”，=1,2,3，由題意知 ，（I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是 ，（II）由題意知 整理得 ，由，可得，.（III）由題意知 = d = =.【方法技巧】（1）“至少”“至多”問題，一般采用對立事件求概率較容易；（2）事件A與B獨立，則.7（20xx福建高考理科16）設S是不等式的解集，m，nS. （I）記“使得m + n = 0 成立的有序數組（m , n）”為事件A，試列舉A包含的基本事件； （II）設，求的分布列及其數學期望.【命題立意】本題考查概率與統(tǒng)計、不等式等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查分類與整合思想、必然與或然、化歸與轉化思想.【思路點撥】第一步先求解出一元二次不等式的解集，得到集合S，進而求出A所包含的基本事件；第二步求出m的可能取值，再求出的可能取值，計算出所對應的概率，畫出分布列，求出數學期望.【規(guī)范解答】（I），則由有，因此A包含的基本事件為：；（II）的可能取值為，則的可能取值為，因此的分布列為：0149所以其數學期望為 【方法技巧】有關概率統(tǒng)計的問題，利用枚舉法求解越來越常見，枚舉時一定要考慮全面，漏解是最常見的錯誤，如本題要求的是有序數組（m，n），坐標的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情況，不能當成同一種.因為這部分內容與實際生活聯系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內容，試題的難度為中等或中等偏易.8（20xx山東高考理科20）某學校舉行知識競賽,第一輪選拔共設有四個問題，規(guī)則如下：每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；每回答一題，計分器顯示累計分數，當累計分數小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數仍不足14分時，答題結束，淘汰出局；每位參加者按問題順序作答，直至答題結束.假設甲同學對問題回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)求甲同學能進入下一輪的概率；（2）用表示甲同學本輪答題結束時答題的個數，求的分布列和數學期望.【命題立意】本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查了離散型隨機變量的分布列以及數學期望的知識，考查了考生利用所學知識解決實際問題的能力.【思路點撥】(1)甲能進入下一輪有以下幾種情形：前三個問題回答正確；第一個問題回答錯誤，后三個問題回答正確；只有第二個問題回答錯誤；只有第三個問題回答錯誤；第一、三錯誤，第二、四正確. (2)隨機變量的可能取值為2，3，4.【規(guī)范解答】用表示甲同學第個問題回答正確，用表示甲同學第個問題回答錯誤.則與互為對立事件，由題意得P(M1) P(M2) P(M3) P(M4)所以P(N1) P(N2) P(N3)記“甲同學能進入下一輪”為事件Q，Q=+，由于每題答題結果相互獨立，因此P(Q)= P(+)=+=+=.（2）由題意，隨機變量的可能取值為2，3，4，由于每題答題結果相互獨立，因此P(P(=3) =P(M1M2M3)+ P(M1N2N3)P(=4) =1- P(=2)-P(=3)=1-所以的分布列為234數學期望=+4=.9. （20xx天津高考理科8）某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結果互不影響.（1）假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率；（2）假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標的概率；（3）假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分數，求的分布列.【命題立意】本小題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力.【思路點撥】利用二項分布及獨立事件的概率公式求解.【規(guī)范解答】（1）設為射手在5次射擊中擊中目標的次數，則.在5次射擊中， 恰有2次擊中目標的概率（2）設“第次射擊擊中目標”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件,則 =（3）由題意可知，的所有可能取值為P( P( =P(P(P(所以的分布列是01236P