精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 1 圓周角定理 Word版含解析

最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料一圓周角定理1理解圓周角定理及其兩個(gè)推論，并能解決有關(guān)問(wèn)題(重點(diǎn)、難點(diǎn))2了解圓心角定理基礎(chǔ)初探教材整理1圓周角定理及其推論閱讀教材P24P26，完成下列問(wèn)題1圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半2推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等3推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑如圖211，在O中，BAC60，則BDC()圖211A30B45C60D75【解析】在O中，BAC與BDC都是所對(duì)的圓周角，故BDCBAC60.【答案】C教材整理2圓心角定理閱讀教材P25P26，完成下列問(wèn)題圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)在半徑為R的圓中有一條長(zhǎng)度為R的弦，則該弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是()A30 B30或150C60D60或120【解析】弦所對(duì)的圓心角為60，又弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)且互補(bǔ)，故選B.【答案】B質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型利用圓周角定理和圓心角定理進(jìn)行計(jì)算在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長(zhǎng)為5 cm的弦，求此弦所對(duì)的圓周角【精彩點(diǎn)撥】過(guò)圓心作弦的垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形先求弦所對(duì)的圓心角度數(shù)，再分兩種情況求弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)【自主解答】如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D.ODAB，OD經(jīng)過(guò)圓心O，ADBD cm.在RtAOD中，OD cm，OAD30，AOD60，AOB2AOD120，ACBAOB60.AOB120，劣弧的度數(shù)為120，優(yōu)弧的度數(shù)為240.AEB240120，此弦所對(duì)的圓周角為60或120.1解答本題時(shí)應(yīng)注意弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，它們互為補(bǔ)角2和圓周角定理有關(guān)的線(xiàn)段、角的計(jì)算，不僅可以通過(guò)計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來(lái)求相關(guān)的角、線(xiàn)段，有時(shí)還可以通過(guò)比例線(xiàn)段，相似比來(lái)計(jì)算再練一題1如圖212，已知ABC內(nèi)接于O，點(diǎn)D是上任意一點(diǎn)，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的長(zhǎng)圖212【解】，ADBCDE.又，BADECD，ABDCED，即.DE2.5 cm.直徑所對(duì)的圓周角問(wèn)題如圖213所示，AB是半圓的直徑，AC為弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四邊形OBCD的面積圖213【精彩點(diǎn)撥】由AB是半圓的直徑知C90，再由條件求出OD，CD，BC的長(zhǎng)可得四邊形OBCD的面積【自主解答】AB是半圓的直徑，C90.ACBC43，AB10 cm，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC.OD是ABC的中位線(xiàn)，CDAC4 cm，ODBC3 cm.S四邊形OBCD(ODBC)DC(36)418 cm2.在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對(duì)的圓周角是直角，所對(duì)的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計(jì)算角大小、線(xiàn)段長(zhǎng)度，又可以證明線(xiàn)線(xiàn)垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等.再練一題2.如圖214，已知等腰三角形ABC中，以腰AC為直徑作半圓交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BAC50，則的度數(shù)為()圖214A25B50C100D120【解析】如圖，連接AF.AC為O的直徑，AFC90，AFBC.ABAC，BAFBAC25，的度數(shù)為50.【答案】B探究共研型圓周角定理探究1圓的一條弦所對(duì)的圓周角都相等嗎？【提示】不一定相等一般有兩種情況：相等或互補(bǔ)，弦所對(duì)的優(yōu)弧與所對(duì)劣弧上的點(diǎn)所成的圓周角互補(bǔ)，所對(duì)同一條弧上的圓周角都相等，直徑所對(duì)的圓周角既相等又互補(bǔ)探究2“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”，正確嗎？【提示】不正確“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”是在“同圓或等圓中”這一大前提下成立，如圖若ABDG，則BACEDF，但.如圖215，ABC的角平分線(xiàn)AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交它的外接圓于點(diǎn)E.圖215(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積SADAE，求BAC的大小【精彩點(diǎn)撥】(1)通過(guò)證明角相等來(lái)證明三角形相似(2)利用(1)的結(jié)論及面積相等求sinBAC的大小，從而求BAC的大小【自主解答】(1)證明：由已知條件，可得BAECAD.因?yàn)锳EB與ACB是同弧上的圓周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因?yàn)锳BEADC，所以，即ABACADAE.又SABACsinBAC且SADAE，故ABACsinBACADAE，則sinBAC1，又BAC為三角形內(nèi)角，所以BAC90.1解答本題(2)時(shí)關(guān)鍵是利用ABACADAE以及面積SABACsinBAC確定sinBAC的值2利用圓中角的關(guān)系證明時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)分析已知和所證，找好所在的三角形，并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性，尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁；(2)當(dāng)圓中出現(xiàn)直徑時(shí)，要注意尋找直徑所對(duì)的圓周角，然后在直角三角形中處理相關(guān)問(wèn)題再練一題3.如圖216，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BDDC，連接AC，AE，DE.求證：EC.圖216【證明】如圖，連接OD，因?yàn)锽DDC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DAC，于是ODBC.因?yàn)镺BOD，所以O(shè)DBB.于是BC.因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以E和B為同弧所對(duì)的圓周角，故EB，所以EC.構(gòu)建體系1如圖217，在O中，BOC50，則A的大小為()圖217A25B50C75D100【解析】由圓周角定理得ABOC25.【答案】A2如圖218，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，若CD3，AB4，則tanBPD等于()圖218A. B.C.D.【解析】連接BD，則BDP90，DCPBAP，CDPABP，CPDAPB，在RtBPD中，cosBPD，cosBPD，tanBPD.故選D.【答案】D3如圖219，A，B，C是O的圓周上三點(diǎn)，若BOC3BOA，則CAB是ACB的_倍圖219【解析】BOC3BOA，3，CAB3ACB.【答案】34如圖2110所示，兩個(gè)同心圓中，的度數(shù)是30，且大圓半徑R4，小圓半徑r2，則的度數(shù)是_圖2110【解析】的度數(shù)等于AOB，又的度數(shù)等于AOB，則的度數(shù)是30.【答案】305如圖2111，已知A，B，C，D是O上的四個(gè)點(diǎn)，ABBC，BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，AD.圖2111(1)求證：DB平分ADC；(2)若BE3，ED6，求AB的長(zhǎng)【解】(1)證明：ABBC，BDCADB，DB平分ADC.(2)由(1)可知，BACADB.ABEABD.ABEDBA，.BE3，ED6，BD9，AB2BEBD3927，AB3.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(六)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1如圖2112所示，若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線(xiàn)相交于E，則圖中相似三角形有()圖2112A1對(duì)B2對(duì)C3對(duì)D4對(duì)【解析】由推論知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.【答案】B2如圖2113所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，CD4，BD8，則圓O的半徑等于()圖2113A6 B8C4D5【解析】AB為直徑，ACB90.又CDAB，由射影定理可知，CD2ADBD，428AD，AD2，ABBDAD8210，圓O的半徑為5.【答案】D3在RtABC中，C90，A30，AC2，則此三角形外接圓半徑為()A. B2C2D4【解析】由推論2知AB為RtABC的外接圓的直徑，又AB4，故外接圓半徑rAB2.【答案】B4如圖2114所示，等腰ABC內(nèi)接于O，ABAC，A40，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，分別連接BD，DE，BE，則BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是()圖2114A50，30，100 B55，20，105C60，10，110D40，20，120【解析】如圖所示，連接AD.ABAC，D是的中點(diǎn)，AD過(guò)圓心O.A40，BEDBAD20，CBDCAD20.E是的中點(diǎn)，CBECBA35，EBDCBECBD55，BDE1802055105，故選B.【答案】B5如圖2115，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB4，ACB30，則圓O的面積等于()圖2115A4 B8C12D16【解析】連接OA，OB.ACB30，AOB60.又OAOB，AOB為等邊三角形又AB4，OAOB4，SO4216.【答案】D二、填空題6如圖2116，已知RtABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則_.圖2116【解析】連接CD，AC是O的直徑，CDA90.由射影定理得BC2BDAB，AC2ADAB，即.【答案】7(2016天津高考)如圖2117，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE2AE2，BDED，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為_(kāi)圖2117【解析】如圖，設(shè)圓心為O，連接OD，則OBOD.因?yàn)锳B是圓的直徑，BE2AE2，所以AE1，OB.又BDED，B為BOD與BDE的公共底角，所以BODBDE，所以，所以BD2BOBE3，所以BDDE.因?yàn)锳EBECEDE，所以CE.【答案】8.如圖2118，AB為O的直徑，弦AC，BD交于點(diǎn)P，若AB3，CD1，則sinAPD_.圖2118【解析】由于AB為O的直徑，則ADP90，所以APD是直角三角形，則sinAPD，cosAPD，由題意知，DCPABP，CDPBAP，所以PCDPBA.所以，又AB3，CD1，則.cosAPD.又sin2APDcos2APD1，sinAPD.【答案】三、解答題9如圖2119所示，O中和的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線(xiàn)EF交AC于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)Q.求證：APQ為等腰三角形圖2119【證明】連接AF，AE.E是的中點(diǎn)，即，AFPEAQ，同理FAPAEQ.又AQPEAQAEQ，APQAFPFAP，AQPAPQ，即APQ為等腰三角形10如圖2120(1)所示，在圓內(nèi)接ABC中，ABAC，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是直線(xiàn)AD和ABC外接圓的交點(diǎn)圖2120(1)求證：AB2ADAE；(2)如圖2120(2)所示，當(dāng)D為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由【解】(1)證明：如圖(3)，連接BE.ABAC，ABCACB.ACBAEB，ABCAEB.又BADEAB，ABDAEB，ABAEADAB，即AB2ADAE.(2)如圖(4)，連接BE，結(jié)論仍然成立，證法同(1)能力提升1如圖2121，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于點(diǎn)P，那么等于() 圖2121AsinBPDBcosBPDCtanBPDD以上答案都不對(duì)【解析】連接BD，由BA是直徑，知ADB是直角三角形由DCBDAB，CDACBA，CPDBPA，得CPDAPB，cos BPD.【答案】B2如圖2122所示，已知O為ABC的外接圓，ABAC6，弦AE交BC于D，若AD4，則AE_.圖2122【解析】連接CE，則AECABC，又ABC中，ABAC，ABCACB，AECACB，ADCACE，AE9.【答案】93如圖2123，在O中，已知ACBCDB60，AC3，則ABC的周長(zhǎng)是_圖2123【解析】由圓周角定理，得ADACB60，ABBC，ABC為等邊三角形周長(zhǎng)等于9.【答案】94.如圖2124，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連接BE，AD交于點(diǎn)P.求證：圖2124(1)D是BC的中點(diǎn)；(2)BECADC；(3)ABCE2DPAD.【證明】(1)因?yàn)锳B是O的直徑，所以ADB90，即ADBC，因?yàn)锳BAC，所以D是BC的中點(diǎn)(2)因?yàn)锳B是O的直徑，所以AEBADB90，即CEBCDA90，因?yàn)镃是公共角，所以BECADC.(3)因?yàn)锽ECADC，所以CBECAD.因?yàn)锳BAC，BDCD，所以BADCAD，所以BADCBE，因?yàn)锳DBBEC90，所以ABDBCE，所以，所以，因?yàn)锽DPBEC90，PBDCBE，所以BPDBCE，所以.因?yàn)锽C2BD，所以，所以ABCE2DPAD.最新精品資料