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精校版人教版數(shù)學(xué)高中選修第2講1 圓周角定理

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精校版人教版數(shù)學(xué)高中選修第2講1 圓周角定理

最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料選修41第二講直線與圓的位置關(guān)系一圓周角定理課標(biāo)解讀1.了解圓心角定理2.理解圓周角定理及其兩個(gè)推論,并能解決有關(guān)問題.1圓周角定理及其推論(1)圓周角定理:圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半(2)推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等(3)推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑2圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)1圓的一條弦所對(duì)的圓周角都相等嗎?【提示】不一定相等一般有兩種情況:相等或互補(bǔ),弦所對(duì)的優(yōu)弧與所對(duì)劣弧上的點(diǎn)所成的圓周角互補(bǔ),所對(duì)同一條弧上的圓周角都相等,直徑所對(duì)的圓周角既相等又互補(bǔ)2在推論1中,把“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”的話,結(jié)論還成立嗎?【提示】不成立因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩種可能,在一般情況下是不相等的3“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”,正確嗎?【提示】不正確“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”是在“同圓或等圓中”這一大前提下成立的,如圖若ABDG,則BACEDF,但.利用圓周角定理和圓心角定理進(jìn)行計(jì)算在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長(zhǎng)為5 cm的弦,求此弦所對(duì)的圓周角【思路探究】過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形先求弦所對(duì)的圓心角度數(shù),再分兩種情況求弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)【自主解答】如圖所示,過點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D.ODAB,OD經(jīng)過圓心O,ADBD cm.在RtAOD中,OD cm,OAD30°,AOD60°.AOB2AOD120°.ACBAOB60°.AOB120°,劣弧的度數(shù)為120°,優(yōu)弧的度數(shù)為240°.AEB×240°120°,此弦所對(duì)的圓周角為60°或120°.1解答本題時(shí)應(yīng)注意弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè),它們互為補(bǔ)角2和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計(jì)算,不僅可以通過計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段,有時(shí),還可以通過比例線段,相似比來計(jì)算圖211已知如圖211,ABC內(nèi)接于O,點(diǎn)D是上任意一點(diǎn),AD6 cm,BD5 cm,CD3 cm,求DE的長(zhǎng)【解】,ADBCDE.又,BADECD.ABDCED.即.ED2.5 cm.與圓周角定理相關(guān)的證明如圖212,ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.圖212(1)證明:ABEADC;(2)若ABC的面積SAD·AE,求BAC的大小【思路探究】(1)通過證明角相等來證明三角形相似(2)利用(1)的結(jié)論及面積相等求sinBAC的大小,從而求BAC的大小【自主解答】(1)由已知條件,可得BAECAD.因?yàn)锳EB與ACB是同弧上的圓周角,所以AEBACD.故ABEADC.(2)因?yàn)锳BEADC,所以,即AB·ACAD·AE.又SAB·ACsinBAC且SAD·AE,故AB·ACsinBACAD·AE,則sinBAC1,又BAC為三角形內(nèi)角,所以BAC90°.1解答本題(2)時(shí)關(guān)鍵是利用AB·ACAD·AE以及面積SAB·ACsinBAC確定sinBAC的值2利用圓中角的關(guān)系證明時(shí)應(yīng)注意的問題(1)分析已知和所求,找好所在的三角形,并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性,尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁;(2)當(dāng)圓中出現(xiàn)直徑時(shí),要注意尋找直徑所對(duì)的圓周角,然后在直角三角形中處理相關(guān)問題如圖213,ABC內(nèi)接于O,高AD、BE相交于H,AD的延長(zhǎng)線交O于F,求證:BFBH.圖213【證明】BEAC,ADBC,AHEC.AHEBHF,F(xiàn)C,BHFF.BFBH.直徑所對(duì)的圓周角問題圖214如圖214所示,AB是半圓的直徑,AC為弦,且ACBC43,AB10 cm,ODAC于D.求四邊形OBCD的面積【思路探究】由AB是半圓的直徑知C90°,再由條件求出OD、CD、BC的長(zhǎng)可得四邊形OBCD的面積【自主解答】AB是半圓的直徑,C90°.ACBC43,AB10 cm,AC8 cm,BC6 cm.又ODAC,ODBC.OD是ABC的中位線,CDAC4 cm,ODBC3 cm.S四邊形OBCD(ODBC)·DC(36)×418 cm2.在圓中,直徑是一條特殊的弦,其所對(duì)的圓周角是直角,所對(duì)的弧是半圓,利用此性質(zhì)既可以計(jì)算角大小、線段長(zhǎng)度又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系,還可以證明比例式相等圖215如圖215,已知等腰三角形ABC中,以腰AC為直徑作半圓交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,若BAC50°,則的度數(shù)為()A25°B50°C100° D120°【解析】如圖,連接AF.AC為O的直徑,AFC90°,AFBC,ABAC,BAFBAC25°,的度數(shù)為50°.【答案】B(教材第26頁習(xí)題2.1第3題)圖216如圖216,BC為O的直徑,ADBC,垂足為D,BF和AD相交于E,求證:AEBE.(2013·陜西高考)如圖217,弦AB與CD相交于O內(nèi)一點(diǎn)E,過E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,已知PD2DA2,則PE_.圖217【命題意圖】本題主要考查圓周角定理、三角形相似等知識(shí),證明三角形相似考查了邏輯推理能力,求線段的長(zhǎng)度考查了知識(shí)的應(yīng)用能力及轉(zhuǎn)化意識(shí)【解析】BCPE,CPED.CA,APED.在PED和PAE中,PEDA,PP,PEDPAE,.PAPDDA3,PD2,PE2PA·PD3×26,PE.【答案】1如圖218,在O中,BAC60°,則BDC()圖218A30°B45°C60° D75°【解析】O中,BAC與BDC都是所對(duì)的圓周角,故BDCBAC60°.【答案】C2在ABC中,ABAC,ABAC,O是ABC的外接圓,則所對(duì)的圓心角為()A22.5° B45°C90° D不確定【解析】ACB45°,所對(duì)的圓心角為2ACB90°.【答案】C3(2013·焦作模擬)如圖219,A、B、C是O的圓周上三點(diǎn),若BOC3BOA,則CAB是ACB的_倍圖219【解析】BOC3BOA,3,CAB3ACB.【答案】34如圖2110所示,兩個(gè)同心圓中,的度數(shù)是30°,且大圓半徑R4,小圓半徑r2,則的度數(shù)是_圖2110【解析】的度數(shù)等于AOB,又的度數(shù)等于AOB,則的度數(shù)是30°.【答案】30°一、選擇題圖21111如圖2111所示,若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相交于E,則圖中相似三角形有()A1對(duì)B2對(duì)C3對(duì) D4對(duì)【解析】由推論知:ADBACB,ABDACD,BACBDC,CADCBD,AEBDEC,AEDBEC.【答案】B2在半徑為R的圓中有一條長(zhǎng)度為R的弦,則該弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是()A30° B30°或150°C60° D60°或120°【解析】弦所對(duì)的圓心角為60°,又弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)且互補(bǔ),故選B.【答案】B3如圖2112所示,等腰ABC內(nèi)接于O,ABAC,A40°,D是的中點(diǎn),E是的中點(diǎn),分別連接BD、DE、BE,則BDE的三內(nèi)角的度數(shù)分別是()圖2112A50°,30°,100° B55°,20°,105°C60°,10°,110° D40°,20°,120°【解析】如圖所示,連接AD.ABAC,D是的中點(diǎn),AD過圓心O.A40°,BEDBAD20 °,CBDCAD20°.E是的中點(diǎn),CBECBA35°,EBDCBECBD55°.BDE180°20°55°105°,故選B.【答案】B4如圖2113,點(diǎn)A、B、C是圓O上的點(diǎn),且AB4,ACB30°,則圓O的面積等于()圖2113A4 B8C12 D16【解析】連接OA,OB.ACB30°,AOB60°,又OAOB,AOB為等邊三角形又AB4,OAOB4.SO·4216.【答案】D二、填空題圖21145(2013·平頂山模擬)如圖2114,已知RtABC的兩條直角邊AC,BC的長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,則_.【解析】連接CD,AC是O的直徑,CDA90°.由射影定理得BC2BD·BA,AC2AD·AB,即.【答案】6如圖2115,AB為O的直徑,弦AC,BD交于點(diǎn)P,若AB3,CD1,則sinAPD_.圖2115【解析】由于AB為O的直徑,則ADP90°,所以APD是直角三角形則sinAPD,cosAPD,由題意知,DCPABP,CDPBAP,所以PCDPBA.所以,又AB3,CD1,則.cosAPD.又sin2APDcos2APD1,sinAPD.【答案】三、解答題7如圖2116,已知A、B、C、D是O上的四個(gè)點(diǎn),ABBC,BD交AC于點(diǎn)E,連接CD、AD.(1)求證:DB平分ADC;(2)若BE3,ED6,求AB的長(zhǎng)圖2116【解】(1)證明:ABBC,BDCADB,DB平分ADC.(2)由(1)可知.BACADB.ABEABD.ABEDBA.BE3,ED6,BD9.AB2BE·BD3×927.AB3.8如圖2117, ABC是圓O的內(nèi)接等邊三角形,ADAB,與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,與圓O相交于點(diǎn)E,若圓O的半徑r1,求DE的長(zhǎng)度圖2117【解】連接BE,ADAB,BE為O的直徑,且BE2r2.又AEBACB60°,ABE30°,EBD30°.又ABD60°,DEBD30°,DEBE2.9如圖2118所示,在圓內(nèi)接ABC中,ABAC,D是BC邊上的一點(diǎn),E是直線AD和ABC外接圓的交點(diǎn)圖2118(1)求證:AB2AD·AE;(2)如圖2118所示,當(dāng)D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)時(shí),第(1)題的結(jié)論成立嗎?若成立請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由【解】(1)證明:如右圖,連接BE.ABAC,ABCACB.ACBAEB,ABCAEB.又BADEAB.ABDAEB.ABAEADAB,即AB2AD·AE.(2)如圖,連接BE,結(jié)論仍然成立,證法同(1)10.已知:如圖,BC為半圓O的直徑,F(xiàn)是半圓上異于B、C的一點(diǎn),A是的中點(diǎn),ADBC于點(diǎn)D,BF交AD于點(diǎn)E.(1)求證:BE·BFBD·BC;(2)試比較線段BD與AE的大小,并說明道理【解】(1)證明:連接FC,則BFFC.在BDE和BCF中,BFCEDB90°FBCEBD,BDEBFC.即BE·BFBD·BC.(2)連接AC、AB,則BAC90°.,12.又2ABC90°,3ABD90°,23,13.AEBE.在RtEBD中,BE>BD,AE>BD.最新精品資料

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