高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第十章第5節(jié) 直線與圓錐曲線

第十章 圓錐曲線第五節(jié) 直線與圓錐曲線題型126 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1. (20xx天津文18）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為(1) 求橢圓的方程；(2) 設(shè)， 分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)若，求的值2.（20xx山東文22）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長為，離心率為（1）求橢圓的方程；（2），為橢圓上滿足的面積為的任意兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，射線 交橢圓于點(diǎn)，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值3. (20xx安徽文21）已知橢圓的焦距為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為.取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由.1.（20xx湖北文8）設(shè)是關(guān)于的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則過，兩點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）.A B C D2.（20xx大綱文22）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且.（）求C的方程；（）過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.1.（20xx安徽文20）設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段上，滿足，直線的斜率為.（1）求的離心率； （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，為線段的中點(diǎn)，求證：.1. 分析（1）由且，可得.又因?yàn)榈男甭蕿?，所以，根?jù)橢圓的性質(zhì)，即可求出離心率；（2）由題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，推出 ，即可證明結(jié)果.解析 （1）由，且，可得.又因?yàn)榈男甭蕿椋?，則，即，亦即，得.（2）由題意可知點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，所以.2. (20xx北京文20)已知橢圓，過點(diǎn)且不過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）若垂直于軸，求直線的斜率；（3）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由.2. 解析（1）橢圓即，離心率.（2）若垂直于軸，則所在的直線方程為，不妨設(shè)，.又，直線所在的方程為：，聯(lián)立直線與直線的方程，得，故直線的斜率是1.（3）由（2）知，當(dāng)垂直于軸時(shí)，直線的斜率為1，且，得，故直線與直線平行.若直線不垂直于軸時(shí)，直線與直線也保持平行的位置關(guān)系.下面來進(jìn)行驗(yàn)證，即驗(yàn)證.設(shè)，直線的方程為，令，得，要證明，只需證明，即， 聯(lián)立直線與橢圓方程，消建立關(guān)于的一元二次方程得，.將式整理得將，代入上式的左邊得：右邊.因此，直線的斜率為1，說明直線與直線的位置關(guān)系是平行.3.（20xx江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)到直線（其中）的距離為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線和于點(diǎn)，若，求直線的方程3. 解析 （1）由題意得，故，即，從而，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解法一（正設(shè)斜率）：若的斜率不存在時(shí)，則方程為，此時(shí)，易知此時(shí)，不滿足題意；當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，此時(shí)亦不滿足題意；因此斜率存在且不為0，不妨設(shè)斜率為，則方程，不妨設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓，即，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，故恒成立，所以，故，又，故，因?yàn)?，故，即，即，整理得，即，即，解得，從而直線方程為或解法二（反設(shè)）：由題意，直線的斜率必不為0，故設(shè)直線方程為，不妨設(shè)，與橢圓聯(lián)立，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，故恒成立，故，因此，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，于是點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又，故，所以，因?yàn)榭傻?，化簡得，即，化簡得，?jì)算得，從而直線方程為或.1.（20xx浙江文19）如圖所示，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于.（1）求的值；（2）若直線交拋物線于另一點(diǎn)，過與軸平行的直線和過與垂直的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).求的橫坐標(biāo)的取值范圍.1.解析 （1）因?yàn)閽佄锞€上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，由已知條件得，即.（2）由（1）知拋物線的方程為，可設(shè)，.由題知不垂直于軸，可設(shè)直線，由消去得，故，所以.又直線的斜率為，故直線的斜率為，從而直線，直線，所以.設(shè)，由，三點(diǎn)共線得：，整理得，(，)，此函數(shù)為偶函數(shù)，且和上單調(diào)遞減，分析知或.所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.2.（20xx全國乙文20）在直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)并延長交于點(diǎn).（1）求；（2）除以外，直線與是否有其他公共點(diǎn)？請說明理由.2.解析 （1）如圖所示，由題意不妨設(shè)，可知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，從而可得直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，.即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而由三角形相似可知.（2）由于，可得直線的方程為，整理得，聯(lián)立方程，整理得，則，從而可知和只有一個(gè)公共點(diǎn).1.（20xx全國1文20）設(shè)，為曲線上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為4.（1）求直線的斜率；（2）設(shè)為曲線上一點(diǎn)，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程.1.解析 （1）不妨設(shè)，則，即直線的斜率為（2）設(shè)，由的導(dǎo)函數(shù)知在處的切線斜率為，所以，故因?yàn)?，易知的斜率存在且不為，因此，?設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，所以，故，由根與系數(shù)的關(guān)系知，代入式得，解得，符合題意，因此直線的方程為評注 此題這一條件，也可以轉(zhuǎn)化成向量數(shù)量積為，利用坐標(biāo)的來解決，但用向量法計(jì)算得到或，注意聯(lián)立后保證2.（20xx江蘇卷17）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)2.解析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，解得，因此，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）知，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，與相交于，與題設(shè)不符當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為因?yàn)椋灾本€的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程為 直線的方程為 聯(lián)立，解得，所以因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對稱性得，即或又點(diǎn)在橢圓上，故由，解得；由，無解因此點(diǎn)的坐標(biāo)為題型127 弦長與面積及最值問題1.（20xx湖北文22） 如圖，已知橢圓與 的中心坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，（），過原點(diǎn)且不與軸重合的直線與，的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為記， 和的面積分別為和(1) 當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，求的值；(2) 當(dāng)變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得？并說明理由第22題圖 2. (20xx重慶文21） 如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，過左焦點(diǎn)作 軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，.（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）取平行于軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，過作圓心為的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓外，求的面積的最大值，并寫出對應(yīng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3. (20xx湖南文20）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是圓 的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為，.當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程.1（20xx新課標(biāo)文10）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)過且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)則（ ）A B. C. D.2.（20xx四川文10）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ）.A. B. C. D.3.（20xx陜西文20）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，且滿足求直線的方程.4.（20xx湖南文20）如圖所示，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過點(diǎn)，且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.（1）求的方程；（2）是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個(gè)公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論.5.（20xx四川文20）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于，.當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求四邊形的面積.6.（20xx山東文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)）. 點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn).（i）設(shè)直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；（ii）求面積的最大值.6. （20xx浙江文22）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，；（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求面積的最大值.1.（20xx全國I文5）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是的準(zhǔn)線與的兩個(gè)交點(diǎn)，則（ ）.A. 3 B. 6 C. 9 D. 121.B 解析 的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.由得右焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合，可得.又，得，所以橢圓方程為.當(dāng)時(shí)，得，即.故選B.2.（20xx全國I文16）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是的左支上一點(diǎn)， ，當(dāng)周長最小時(shí)，該三角形的面積為 2. 解析 由題意作圖，如圖所示.由雙曲線的定義知，.所以.又，所以，所以當(dāng)點(diǎn)，在同一條直線上時(shí)，周長取得最小值.所在直線方程為，同理直線的方程為.聯(lián)立，解得.則.又，所以.3.（20xx湖南文20）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長為，過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向.（1）求的方程；（2）若，求直線的斜率.3.解析 （1）由知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)橐彩菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以； 又與的公共弦長為，與都關(guān)于軸對稱，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以， 聯(lián)立得，故的方程為.（2）如圖所示，設(shè)，因與同向，且，所以，從而，即，于是 設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由得，由是這個(gè)方程的兩根，由得，而是這個(gè)方程的兩根， 將,代入，得.即所以，解得，即直線的斜率為.4.（20xx天津文19）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率為， （1）求直線的斜率；（2）設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），故點(diǎn)且垂直于的直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）直線與軸交于點(diǎn)，.（i）求的值；（ii）若，求橢圓的方程.4分析（1）先由 及，得，直線的斜率；（2）()先把直線，的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)，橫坐標(biāo)，可得（2）先由，得，由此求出，故橢圓方程為解析 （1） ，由已知 及 ，可得 ，又因?yàn)?，故直線的斜率.（2）設(shè)點(diǎn) ，（i）由（1）可得橢圓方程為 ，直線的方程為 ，兩方程聯(lián)立消去得， 解得.因?yàn)椋灾本€方程為 ，與橢圓方程聯(lián)立消去得：，解得.又因?yàn)?，?得 （ii）由（i）得，所以，即 ，又因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，因此，所以橢圓方程為5.（20xx浙江文19）如圖所示，已知拋物線，圓，過點(diǎn)作不過原點(diǎn)的直線，分別與拋物線和圓相切，為切點(diǎn).(1)求點(diǎn)，的坐標(biāo)； (2)求的面積.注：直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸不平行，則該直線與拋物線相切，稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn).5. 解析 (1)設(shè)：，聯(lián)立，得，由得，所以，所以.設(shè)，則：，所以，所以 又中點(diǎn)在直線：上，所以 由式式得，.所以.(2)到的距離， 所以，橢圓方程為6.（20xx湖北文22）一種畫橢圓的工具如圖1所示. 是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，且，當(dāng)栓子在滑槽內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時(shí)，帶動繞轉(zhuǎn)動，處的筆尖畫出的橢圓記為，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)動直線與兩定直線：和：分別交于，兩點(diǎn).若直線總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由.圖1 圖26.解析 (1)因?yàn)?，?dāng)在軸上時(shí)，等號成立；同理，當(dāng)重合，即軸時(shí)，等號成立. 所以橢圓的中心為原點(diǎn)，長半軸長為，短半軸長為，其方程為 (2)（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有. （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線：， 由，消去，可得.因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即. 又由，可得；同理可得.由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得. 將式代入式得，. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，OPQ的面積取得最小值8.7. (20xx山東文21)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).（i）求的值；（ii）求面積的最大值.7. 解析 （1）由題意知，又，解得，.所以橢圓的方程為.（2）由（1）可得橢圓的方程為.（）設(shè)，由題意知.因?yàn)?，?，即.所以，即.（ii）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn).連接，如圖所示.設(shè)，將代入橢圓的方程，可得，由，可得. 則有,.所以，因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的面積：.設(shè)，將直線代入橢圓的方程，可得，由，可得. 由可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值.由（i）并結(jié)合圖形可知，所以面積的最大值為.1.（20xx江蘇21 C）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求線段的長.1.解法一（求點(diǎn)）：直線方程化為普通方程為，橢圓方程化為普通方程為，聯(lián)立，解得或.因此.解法二（弦長）：直線方程化為普通方程為，橢圓方程化為普通方程為，不妨設(shè)，聯(lián)立得，消得，恒成立，故，所以.解法三（幾何意義）：橢圓方程化為普通方程為，直線恒過點(diǎn)，該點(diǎn)在橢圓上，將直線的參數(shù)方程代入橢圓的普通方程，得，整理得，故，.因此.2.（20xx上海文21）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn).（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率.2.解析 （1）由已知，不妨取，則，由題意，又，所以，即，解得.因此漸近線方程為.（2）若，則雙曲線為.設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消得，所以，且，由，得，故，解得.故的斜率為.1.（20xx北京卷文19）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)在軸上，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn).求證：與的面積之比為1.解析 （1）設(shè)橢圓，根據(jù)題意有，解得，則， 所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，如圖所示，有，另設(shè)由題設(shè)知，直線直線，即，所以直線的方程為，直線的方程為.解法一：.所以，因此，與的面積之比為解法二:設(shè)，聯(lián)立方程，解得，.所以與的面積之比為2.（20xx山東卷文21）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，橢圓截直線所得線段的長度為.（1）求橢圓的方程；（2）動直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，圓的半徑為. 設(shè)為的中點(diǎn)，與圓分別相切于點(diǎn)，求的最小值.2.解析 （1） 由橢圓的離心率為 ，得，又當(dāng)時(shí)，得，所以，.因此橢圓方程為.(2) 設(shè)，聯(lián)立方程 ，得，由，得 .且，因此，所以，又，所以，因?yàn)?，所?令，故.所以.令 ，所以.當(dāng) 時(shí)，從而在上單調(diào)遞增.因此，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)，所以 ，.設(shè)，則 ，所以的最小值為.從而的最小值為，此時(shí)直線的斜率為.綜上所述，當(dāng)，時(shí)，取得最小值為.3.（20xx天津卷文20）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)點(diǎn)在線段上，延長線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.3. 解析 （1）由題意，有，則，解得（舍去）或，即橢圓的離心率為.（2）（i）由題意，設(shè)直線的方程為，則直線的斜率為.因?yàn)椋灾本€的方程為.由（1）知，則直線的方程為，即. 聯(lián)立直線與直線的方程，解得，則. 又因?yàn)?，所以，所? 所以（舍去）或，所以直線的斜率為.（ii）由（1）知，則，故橢圓方程可以表示為. 由（i）得直線的方程為，即. 聯(lián)立，消去并整理得，解得（舍去）或，則， 故， 于是有. 因?yàn)橹本€與間的距離為， 所以，所以， 所以. 同理得，則，即，解得（舍去）或， 故橢圓的方程為.4.（20xx浙江卷21）如圖所示，已知拋物線.點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）求的最大值.4.解析 （1）設(shè)直線的斜率為，已知，則.因?yàn)?，所以，所以直線斜率的取值范圍是.（2）因?yàn)橹本€，且，所以直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.因?yàn)椋?，令，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值.題型128 中點(diǎn)弦問題1.（20xx全國II文20）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn) 在上.(1)求的方程.(2)直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.1. 分析 (1)由題意可得，則，可得 ，.由此可得的方程；(2)設(shè)直線的方程為 ，代入(1)所得的方程，聯(lián)立得：，所以，于是有.所以，即為定值.解析 (1)由題意有，解得，.所以的方程為.(2)設(shè)直線：， ，.將 代入得.故， .于是直線的斜率，即.所以直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.評注 解析幾何是高考必考內(nèi)容之一，在命題時(shí)多從考查各種圓錐曲線方程中的基本量關(guān)系及運(yùn)算，在直線與圓錐曲線關(guān)系中.一般用方程的思想和函數(shù)的觀點(diǎn)來解決問題，并會結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)，方程根與函數(shù)關(guān)系來求解.1.（20xx四川文20）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，證明：1.解析 （1）由已知得，又橢圓過點(diǎn)，故，解得所以橢圓的方程是（2）設(shè)直線的方程為，.由方程組，得 方程的判別式為，由，即，解得由得，.所以點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，由方程組，得，.所以.又.所以.2.（20xx江蘇22）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線.（1）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程；（2）已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)和. 求證：線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為；求的取值范圍.2. 解析 （1）因?yàn)?，所以與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，即拋物線的焦點(diǎn)為，所以，故.（2）解法一：設(shè)點(diǎn)，則由，得，故，又因?yàn)殛P(guān)于直線對稱，所以，即，所以，又因?yàn)橹悬c(diǎn)一定在直線上，所以，故線段上的中點(diǎn)坐標(biāo)為；因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，所以，即關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等根，因此，解得.解法二：設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)和關(guān)于直線對稱，所以直線垂直平分線段，于是直線的斜率為，則可設(shè)其方程為.由消去得，（*）因?yàn)?和是拋物線上的相異兩點(diǎn)，所以，從而，化簡得.方程（*）的兩根為，從而.因?yàn)樵谥本€上，所以.因此，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)樵谥本€上，所以，即.由知，于是，所以因此的取值范圍為.題型129 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用24.（20xx天津文19）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若，且，求直線的斜率.24.解析 （1）由，即，可得.又，所以，因此，所以橢圓的方程為（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)，由方程組 ，消去，整理得，解得或，由題意得，從而.由（1）知，設(shè)，有，由，得，所以，解得.由，得為的垂直平分線與的交點(diǎn)，所以.由，得，即，得，解得或題型130 定點(diǎn)問題1.（20xx全國2卷文20）20.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓上，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn). 1.解析 （1）如圖所示，設(shè)，.由知，即.又點(diǎn)在橢圓上，則有，即.（2）設(shè)，則有，即.橢圓的左焦點(diǎn).又，所以.所以過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn).題型131 定值問題18. （20xx江西文20）橢圓的離心率，（1）求橢圓的方程；（2）如圖，是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)直線交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，證明為定值.1.（20xx江西文20）如圖所示，已知拋物線，過點(diǎn)任作一直線與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求證：動點(diǎn)在定直線上；（2）作的任意一條切線（不含軸），與直線相交于點(diǎn)，與（1）中的定直線相交于點(diǎn)，求證：為定值，并求此定值. 1.（20xx陜西文20）如圖所示，橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），證明：直線與的斜率之和為.1. 解析 (1)由題意知，由，解得，所以橢圓的方程為；(2)設(shè)，由題設(shè)知，直線的方程為，代入，化簡得，則，由已知，從而直線與的斜率之和為：，化簡得.2.（20xx四川文20）如圖所示，橢圓：的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.2. 分析 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.解析 （1）由已知可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，所以，解得，.所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在是，設(shè)直線的方程為，的坐標(biāo)分別為，.聯(lián)立，得.其判別式，所以，.則 .所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，為定值.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為直線.此時(shí)，故存在常數(shù)，使得為定值.1.（20xx山東文21）已知橢圓的長軸長為，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過動點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)(在第一象限)，且是線段的中點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，延長線交于點(diǎn).（i）設(shè)直線，的斜率分別為，證明為定值.（ii）求直線的斜率的最小值.1.解析 （1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，所以，所以橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)，由，可得 所以直線的斜率 ，直線的斜率.此時(shí)，所以為定值.(ii)設(shè)，直線的方程為，直線的方程為.聯(lián)立 ，整理得.由，可得 ，所以.同理，.所以， ，所以 由，可知，所以 ，等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.此時(shí)，即，符合題意.所以直線 的斜率的最小值為 .2.（20xx北京文19）已知橢圓過點(diǎn)，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程及離心率；（2）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值.2.解析 （1）由題意得，所以橢圓的方程為.又，所以離心率.（2）依題意畫出草圖如圖所示.設(shè)，則.又，所以直線的方程為. 令，得. 所以.直線的方程為.令，得.所以.所以四邊形的面積所以四邊形的面積為定值.1.（20xx全國3文20）在直角坐標(biāo)系中，曲線與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)變化時(shí)，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)的情況？說明理由；（2）證明過，三點(diǎn)的圓在軸上截得的弦長為定值.1.解析 （1）令，C(0，1)，為的根，假設(shè)成立，則，而，所以不能出現(xiàn)的情況.（2）解法一 設(shè)圓與軸的交點(diǎn)為，.設(shè)圓的方程為 令，得的根為，所以，.又點(diǎn)在圓上，所以得，所以，故或，所以.所以圓在軸上截得的弦長為3，是定值.解法二 設(shè)圓與軸的另一交點(diǎn)為，即與交于原點(diǎn)，由相交弦定理，得.由（1）知，所以，所以，為定值.評注 本題整體難度不算很高，但與?？嫉膱A錐曲線題型存在一定區(qū)別，學(xué)生做題時(shí)會產(chǎn)生迷茫的感覺.第（1）問垂直的證明比較常規(guī)，但第（2）問定值類問題的處理比較不常見，一般定值都是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處理，本題直接用采用設(shè)方程的方法來解圓的方程，對學(xué)生來講，思路是一大難題.解法二直接利用相交弦定理，更加簡捷，對思維的靈活度是個(gè)挑戰(zhàn).歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”http:/sj.fjjy.org