元素與集合、集合與集合的關(guān)系

淘出優(yōu)秀的你 第一周元素與集合、集合與集合的關(guān)系重點知識梳理1集合元素的三個特性：確定性，互異性，無序性確定性：集合中的元素必須是明確的，不能含糊不清；互異性：一個集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出現(xiàn)一次；無序性：即一個集合中的元素出現(xiàn)沒有順序，只要兩個集合的元素完全相同，這兩個集合就是相同的2元素與集合的關(guān)系：集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，元素與集合是從屬關(guān)系，如a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作aA，a不屬于集合A，記作aA.3集合間的基本關(guān)系(1)子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作AB.(2)真子集：如果AB且AB，那就說集合A是集合B的真子集，記作AB.(3)相等：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即AB.(4)常用結(jié)論任何一個集合是它本身的子集，即AA；空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；如果AB，BC，那么AC；如果AB，同時BA，那么AB.典型例題剖析例1已知集合Ax|ax22x10，xR，若集合A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍【方法指導(dǎo)】集合A中至多有一元素，即為對應(yīng)方程至多只有一根，這樣通過討論方程根的情況來求a的取值范圍即可【解析】(1)當a0時，方程只有一個根，則a0符合題意；(2)當a0時，關(guān)于x的方程ax22x10是一元二次方程，則該方程有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，所以44a0，解得a1，所以實數(shù)a的取值范圍是a|a1綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a|a0或a1【提示】以下解法是錯誤的：由于集合A中至多有一個元素，則一元二次方程ax22x10有兩個相等的實數(shù)根或沒有實數(shù)根，所以44a0，解得a1，所以實數(shù)a的取值范圍是a|a1錯誤原因方程ax22x10不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，則不能利用判別式判斷其實根的個數(shù)【小結(jié)】本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)會與化歸的思想，解答時將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程ax22x10的實數(shù)根的個數(shù)問題，這樣就容易解決了同時，要注意若方程的二次項系數(shù)含有字母，則需對其是否為零進行討論變式訓(xùn)練已知集合AxR|ax23x20(1)若A是單元素集(只含有一個元素的集合)，求a的值及集合A；(2)求集合PaR|a使得A至少含有一個元素【解析】(1)當a0時，A，符合題意；當a0時，要使方程有兩個相等的實根，則98a0，即a，此時A綜上所述，當a0時，A；當a時，A(2)由(1)知，當a0時，A含有一個元素，符合題意由a0時，要使方程有實根，則98a0，即a.綜上所述，PaR|a使得A至少含有一個元素a|a例2已知3A，A中含有的元素有a3,2a1，a21，求a的值【解析】由3A且a211，可知a33或2a13，當a33時，a0；當2a13時，a1.經(jīng)檢驗，0與1都符合要求a0或a1.變式訓(xùn)練已知互異的兩數(shù)a，b滿足ab0，集合a，ba2，b2，則ab等于()A2 B1 C0 D1【答案】D【解析】由a，ba2，b2，則或，由得，ab0，a0且b0，即a1，b1，此時集合1,1不滿足條件由兩式相減得a2b2ba，兩數(shù)a，b互異，ba0，即ab1，故選D.例3已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，求實數(shù)m的取值范圍【解析】Ax|2x5，Bx|m1x2m1，且BA.若B，則m1>2m1，解得m<2，此時有BA；若B，則m12m1，即m2，由BA，得，解得2m3.由得m3.實數(shù)m的取值范圍是m|m3【小結(jié)】對于這類含有字母參數(shù)的集合的包含關(guān)系，應(yīng)注意空集是任何集合的子集，如本題中，應(yīng)討論集合B為空集的情形變式訓(xùn)練已知集合Px|x2x60，集合Qx|ax10，且QP，求實數(shù)a的取值構(gòu)成的集合A.【解析】x2x60，(x3)(x2)0，即x3或x2.P3,2又Qx|ax10，當a0時，Q，滿足QP；當a0時，有3或2，a或a，故a0或a或a.A，0，跟蹤訓(xùn)練1若集合AxR|ax2ax10其中只有一個元素，則a等于()A4 B2 C0 D0或42集合中含有的元素個數(shù)為()A4 B6 C8 D123若集合Ax|ax2(a6)x20是單元素集合，則實數(shù)a等于()A2或18 B0或2C0或18 D0或2或184已知集合A含有三個元素2,4,6，且當aA，有6aA，那么a為()A2 B2或4 C4 D05集合A滿足關(guān)系式(a，b)Aa，b，c，d，e，則集合A的個數(shù)是()A5 B6 C7 D86若非空數(shù)集Ax|2a1x3a5，Bx|3x22，則能使AB成立的所有a的集合是()Aa|1a9 Ba|6a9Ca|a9 D7若集合Ax|x25x60，集合Bx|ax20，aZ，且BA，則實數(shù)a_.8若集合M，集合N2,4，MN1,2,4，則實數(shù)m的值的個數(shù)是_9如果有一集合含有三個元素1，x，x2x，則實數(shù)x的取值范圍是_10已知M2，a，b，N2a,2，b2，且MN，則有序?qū)崝?shù)對(a，b)的值為_11設(shè)集合A3,3m2，B3m,3，且AB，則實數(shù)m的值是_12已知集合Ax|2a2<xa2，Bx|2x<3且AB，求實數(shù)a的取值范圍13已知由實數(shù)構(gòu)成的集合A滿足條件：若aA，則A(a0且a1)，則集合A中至少有幾個元素？證明你的結(jié)論參考答案1A當a0時，方程為10不成立，不滿足條件；當a0時，a24a0，解得a4.故選A.2B由題意，集合中的元素滿足x是正整數(shù)，且是整數(shù)，由此列出下表x12346121264321根據(jù)表格，可得符合條件的x共有6個，即集合中有6個元素，故選B.3Da0時，6x20，x，只有一個解，集合A，滿足題意a0時，方程ax2(a6)x20有兩個相等實根判別式0，(a6)28a0，a220a360，解得a2或a18，實數(shù)a為0或2或18.故選D.4B集合A含有三個元素2,4,6，且當aA，有6aA，a2A,6a4A，a2，或者a4A,6a2A，a4，綜上所述，a2,4.故選B.5D由題意知集合A中的元素a，b必取，另外可從c，d，e中取，滿足題意的集合A的個數(shù)等于集合c，d，e的子集個數(shù)，因為c，d，e的子集個數(shù)為238，則集合A的個數(shù)是8.故選D.6B70或1849x0,1,2，解析由集合元素的互異性可得x1，x2x1，x2xx，解得x0,1,2，.10(0,1)或(，)解析M2，a，b，N2a,2，b2，且MN，或，即或或，當a0，b0時，集合M2,0,0不成立，有序?qū)崝?shù)對(a，b)的值為(0,1)或(，)故答案為(0,1)或(，)110解析依題意，3m3m2，所以m0或m1.當m1時，違反元素互異性(舍去)12解析由已知AB可得，(1)當A時，有2a2a2a4.(2)當A時，由AB得.綜合(1)(2)，實數(shù)a的取值范圍是a|a4或0a<113解析aA，則A，A，進而有A，又有aA.aR，a.假設(shè)a，則a21，矛盾，a.類似方法可得a、和四個數(shù)互不相等，故集合A中至少有四個元素7