線性方程組的消元法和矩陣的初等變換分解ppt課件

和矩陣的初等變換 線性方程組的消元解法矩陣的初等變換 第一章線性方程組的消元法 1 第一節(jié)線性方程組的消元法 一 線性方程組的基本概念 1 線性方程組的定義 引例 有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1 A2 A3 其年產(chǎn)量分別為40t 20t和10t 該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶B1 B2 其用量分別為45t和25t 2 引例 有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠A1 A2 A3 其年產(chǎn)量分別為40t 20t和10t 該產(chǎn)品每年有兩個(gè)用戶B1 B2 其用量分別為45t和25t 不妨假設(shè)每噸貨物每公里的運(yùn)費(fèi)為1元 問各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運(yùn)費(fèi)最少 3 解 設(shè)各廠到各用戶的產(chǎn)品數(shù)量如表1 2 依題意 3個(gè)廠的總產(chǎn)量和用戶的總用量相等 4 再來看總運(yùn)費(fèi) 由表1 1 1 2 于是 題目要解決的問題是 使之滿足方程組 和 并使總運(yùn)費(fèi)最少 5 幾個(gè)線性方程聯(lián)立在一起 稱為線性方程組 若未知數(shù)的個(gè)數(shù)為n 方程個(gè)數(shù)為m 則線性方程組可以寫成如下形式 若常數(shù)項(xiàng)均為0 則稱方程組為齊次線性方程組 否則 稱為非齊次線性方程組 6 2 線性方程組的線性組合 線性方程的加法 將兩個(gè)線性方程 1 2 的左右兩邊相加得到如下的新線性方程 稱為原來兩個(gè)線性方程的和 7 線性方程乘常數(shù) 將線性方程 兩邊同乘以非零常數(shù) 線性方程與常數(shù)相乘 也稱為方程的數(shù)乘 線性方程的線性組合 將線性方程 1 和 2 分別稱兩個(gè)已知常數(shù) 再將所得的兩個(gè)方程相加 得到新方程 得到一個(gè)新的線性方程 8 3 稱為原來兩個(gè)方程 1 和 2 的一個(gè) 稱為這個(gè)線性方程的組合系數(shù) 將 1 和 2 看作一個(gè)線性方程組 其任意組解一定是線性組合 3 的解 對(duì)給定的兩個(gè)線性方程組 I 和 II 如果 II 中每個(gè)方程都是 I 中方程的線性組合 就稱 II 是 I 的線性組合 線性組合 若方程組 I 和 II 互為線性組合 則稱這兩個(gè)方程組 等價(jià) 等價(jià)的線性方程組一定同解 將方程組 I 變成 方程組 II 的過程稱為 同解變換 9 例1 二 線性方程組的消元法 求解線性方程組 1 線性方程組的初等變換 10 解 11 用 回代 的方法求出解 12 于是解得 2 13 小結(jié) 1 上述解方程組的方法稱為消元法 2 始終把方程組看作一個(gè)整體變形 用到如下三種變換 1 交換方程次序 2 以不等于 的數(shù)乘某個(gè)方程 3 一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍 定義1 上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換 與相互替換 14 3 上述三種變換都是可逆的 由于三種變換都是可逆的 所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的 故這三種變換是同解變換 定理1 線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組 15 2 利用初等變換解一般線性方程組 化為階梯型方程組 16 2 利用初等變換解一般線性方程組 化為階梯型方程組 17 2 利用初等變換解一般線性方程組 化為階梯型方程組 18 2 利用初等變換解一般線性方程組 化為階梯型方程組 19 2 利用初等變換解一般線性方程組 化為階梯型方程組 20 21 22 23 定理2 在齊次線性方程組 證明 顯然 方程組在化成階梯型方程組之后 方程個(gè)數(shù)不會(huì)超過原方程組中方程個(gè)數(shù) 即 24 第二節(jié)矩陣的初等變換 為了簡(jiǎn)化方程組的表達(dá) 可以省掉各個(gè)未知數(shù) 只考慮系數(shù)和常數(shù)項(xiàng) 把它們排成一個(gè)表 用這個(gè)表代替線性方程組 直接對(duì)這個(gè)表進(jìn)行與求解線性方程組相應(yīng)的初等變換 這樣在表達(dá)上可以更加簡(jiǎn)潔和直觀 為此 我們將引出矩陣的概念 介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解 25 1 線性方程組 的解取決于 系數(shù) 常數(shù)項(xiàng) 一 矩陣及其初等變換 26 對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究 線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為 27 由個(gè)數(shù)排成的m行n列矩陣的數(shù)表 稱為m行n列矩陣 簡(jiǎn)稱矩陣 記作 定義1 28 簡(jiǎn)記為 元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣 元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣 29 例如 是一個(gè)實(shí)矩陣 是一個(gè)復(fù)矩陣 是一個(gè)矩陣 是一個(gè)矩陣 是一個(gè)矩陣 30 例如 是一個(gè)3階方陣 幾種特殊矩陣 2 只有一行的矩陣 稱為行矩陣 或行向量 行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣 稱為階 方陣 也可記作 31 只有一列的矩陣 稱為列矩陣 或列向量 稱為對(duì)角矩陣 或?qū)顷?32 注意 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的 例如 記作 4 元素全為零的矩陣稱為零矩陣 零矩陣記作或 33 5 方陣 稱為單位矩陣 或單位陣 同型矩陣與矩陣相等的概念 1 兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等 列數(shù)相等時(shí) 稱為同型矩陣 34 例如 為同型矩陣 35 矩陣的轉(zhuǎn)置 1 定義設(shè)是一個(gè)矩陣 把A的各行都變?yōu)榱?不改變它們前后的順序而得到的矩陣 稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣 記為A 或AT 即 A 36 線性方程組 稱為方程組的系數(shù)矩陣 稱為方程組的增廣矩陣 37 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換 定義2 38 等價(jià)關(guān)系的性質(zhì) 一般 將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià) 同理可定義矩陣的初等列變換 所用記號(hào)是把 r 換成 c 初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換 定義3 39 例1 求解線性方程組 解 用矩陣的初等行變換解方程組 40 41 42 特點(diǎn) 1 可劃出一條階梯線 線的下方全為零 2 每個(gè)臺(tái)階只有一行 臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù) 階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元 即非零行的第一個(gè)非零元 43 注意 行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的 行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的 44 例2 求解方程組 解 對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換 得 45 顯然無解 故方程組無解 46 例如 二 用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型 行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過初等列變換 可化成標(biāo)準(zhǔn)型 47 例如 二 用矩陣的初等變換化矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型 行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過初等列變換 可化成標(biāo)準(zhǔn)型 48 特點(diǎn) 所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合 稱為一個(gè)等價(jià)類 標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣 49