福建省南平市光澤二中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章第一節(jié) 函數(shù)概念及其表示課件 文 新人教A版

第一節(jié)：第一節(jié)：函數(shù)概念及其表示一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念1概念：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的 一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有 的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作yf(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域值域是集合B的 2函數(shù)相等：兩個(gè)函數(shù)的 相同，并且 完全一致，稱這兩個(gè)函數(shù)相等任意唯一確定子集定義域?qū)?yīng)關(guān)系二、函數(shù)的表示法二、函數(shù)的表示法表示法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值不夠形象、直觀、具體，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來圖象法能形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況只能近似地求出自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值，而且有時(shí)誤差較大列表法不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值它只能表示自變量取較少的有限值的對應(yīng)關(guān)系三、分段函數(shù)三、分段函數(shù)有些在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)四、映射四、映射設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射從A到B的映射與從B到A的映射是不同的，即映射具有方向性(1)函數(shù)f：AB是特殊的映射，特殊在定義域和值域都是非空數(shù)集(2)由函數(shù)定義知函數(shù)圖象與x軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè)(3)在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定首先要判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；求分段函數(shù)的定義域，先選定所有分段的區(qū)間，然后取這些區(qū)間的并集所得到的集合就是分段函數(shù)的定義域分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集1(廈門雙十中學(xué)2011屆高三第一次月考)設(shè)f：AB是集合A到B的映射，則下列命題中是真命題的是()AA中不同元素必在B中有不同的象BB中每個(gè)元素在A中必有原象CA中每一個(gè)元素在B中必有象DB中每一個(gè)元素在A中的原象唯一解析：解析：由映射定義知，只有選項(xiàng)C正確答案：答案：C2(教材改編題)下列方程對應(yīng)的圖形，其中不是函數(shù)圖象的是()A|x|y0Bx2yC(x1)y(x1)0(x1) D|x|y|1解析：解析：易知A、B、C選項(xiàng)表示的方程，均可化為函數(shù)形式：yf(x)而D中，由|x|y|1y(1|x|)不符合函數(shù)概念答案：答案：D3(教材改編題)下列函數(shù)中，與函數(shù)yx(xR)相等的是()答案：答案：C答案：答案：D解析：解析：當(dāng)a1時(shí)，log2a2，解得a4；當(dāng)0a1時(shí)，a2，即a2 (0,1)，舍去答案：答案：46已知f(x1)x2，則f(x)_.解析：解析：f(x1)x2(x1)12(x1)22(x1)1，f(x)x22x1.答案：答案：x22x1方法技巧：方法技巧：1.求函數(shù)的定義域之前，盡量不要對函數(shù)的解析式變形，以免引起定義域的變化.2.求已知函數(shù)y=f(x)定義域的常用方法：（1）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用列表法給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中x的集合.（2）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象法給出時(shí)，函數(shù)的定義域是圖象在x軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)的集合.（3）當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析法給出時(shí)，常有以下幾種情況：若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集；若f(x)是分式，則函數(shù)定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)集合；若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)式子大于或等于零的實(shí)數(shù)集合；若f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；若f(x)是由實(shí)際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題.3.求函數(shù)的定義域，實(shí)質(zhì)就是一個(gè)列不等式（組），解不等式（組）的過程.求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】函數(shù)的定義域就是能使函數(shù)解析式有意義的實(shí)數(shù)的 集合故函數(shù)的定義域?yàn)閤|x2，或2x1，或1x2，或2x4答案：答案：D求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】(1)將x2看作一個(gè)整體，根據(jù)函數(shù)的定義，將2x29x13表示為x2的函數(shù)，或用換元法，令tx2.(2)由已知可設(shè)f(x)axb(a0)，用待定系數(shù)法求解(3)根據(jù)已知，再構(gòu)造一個(gè)關(guān)于f(x)，f( )的等式 【解解】(1)法一(拼湊法)：f(x2)2x29x132(x2)2(x2)3，得對應(yīng)法則為f(x)2x2x3.即所求解析式為f(x)2x2x3.法二(換元法)：令x2t，則xt2，代入已知條件等式，得f(t)2(t2)29(t2)132t2t3.所以f(x)的解析式為f(x)2x2x3.(2)設(shè)f(x)axb(a0)，則3f(x1)2f(x1)ax5ab.即ax5ab2x17對xR成立，【變式探究變式探究】2.(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x)4x1，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1cosx)sin2x，求f(x)解析式；(3)函數(shù)f(x)滿足f(x)2f(x)2x1(xR)，求f(x)解析式 解：解：(1)設(shè)f(x)axb(a0)，則f(f(x)a(axb)ba2xabb，由條件得a2xabb4x1.f(x)2x1，或f(x)2x .(2)f(1cosx)sin2x1cos2x，令1cosxt，則cosx1t，f(t)1(1t)2t22t.故f(x)x22x.(3)以x代原條件中的x，得f(x)2f(x)2x1.將f(x)2f(x)2x1代入已知條件，得f(x)4f(x)4x22x1，解得f(x)2x.方法技巧：方法技巧：求函數(shù)解析式的常見類型及求法.1.若已知函數(shù)的類型或結(jié)構(gòu)，可用待定系數(shù)法.2.若已知f(g(x)的解析式，求f(x)的解析式，用代換（配湊）法.這里需值得注意的是所求解析式的定義域等價(jià)性，即f(x)的定義域應(yīng)是g(x)的值域.（一般地，已知f(x)的定義域?yàn)镈，求f（g(x)的定義域，只需由g(x)D,求x即可；若已知f(g(x)的定義域?yàn)镈，求f(x)的定義域，只需由xD，求g(x)的值域即可.）3.已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如f(-x)，f ( )等，要根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)，體現(xiàn)方程思想.分段函數(shù)分段函數(shù)（1）設(shè)高峰時(shí)間段用電量為x千瓦時(shí)，應(yīng)付的電費(fèi)為f(x)元；低谷時(shí)間段用電量為y千瓦時(shí)，應(yīng)付的電費(fèi)為g(y)元.試寫出f(x)，g(y)的解析式.（2）若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)多少元（用數(shù)字作答）？【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】（1）由題中圖表知f(x)，g(y)分別是關(guān)于x、y的分段函數(shù)，明確了電價(jià)的計(jì)算方法，它們的解析式不難求出.對于（2）將x=200，y=100分別代入f(x)，g(y)再求和即可【解】（1）設(shè)高峰時(shí)間段用電量為x千瓦時(shí)，應(yīng)付的電費(fèi)為f(x)元；低谷時(shí)間段用電最為y千瓦時(shí)，應(yīng)付的電費(fèi)為g(y)元，根據(jù)題意：f(x)=g(y)=（2）一個(gè)家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)應(yīng)為w=f(x)+g(y).從而高峰時(shí)間段200千瓦時(shí)的用電電費(fèi)為：500.568+1500.598=118.1（元）；低谷時(shí)間段100千瓦時(shí)的用電電費(fèi)為：500.288+500.318=30.3（元）.故該家庭本月應(yīng)付電費(fèi)118.1+30.3=148.4（元）【變式探究變式探究】3.（文）甲、乙兩地相距150千米，某貨車從甲地運(yùn)送貨物到乙地，以每小時(shí)50千米的速度行駛，到達(dá)乙地后將貨物卸下用了1小時(shí)，然后以每小時(shí)60千米的速度返回甲地.從貨車離開甲地起到貨車返回甲地為止，設(shè)貨車離開甲地的時(shí)間和距離分別為x小時(shí)和y千米，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.解解:由題意，可知貨車從甲地前往乙地用了3小時(shí)，而從乙地返回甲地用了2.5小時(shí).（1）當(dāng)貨車從甲地前往乙地時(shí)，由題意，可知y=50 x(0 x3);（2）當(dāng)貨車卸貨時(shí)，y=150(3x0，知g(x)的定義域?yàn)?，1)(0，)二者定義域不同f(x)、g(x)的定義域、對應(yīng)關(guān)系均相同，故函數(shù)f(x)與g(x)相等【例2】(2010年廣東五校模擬改編)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對xR，都有2x22axa10恒成立，即2x22axa20，也即x22axa0，恒成立，(2a)24(a)0成立，解得1a0.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,0類型對函數(shù)概念理解不深刻易導(dǎo)致失誤類型對函數(shù)概念理解不深刻易導(dǎo)致失誤【例】設(shè)集合Ax|2x3，函數(shù)y的定義域?yàn)锽，當(dāng)BA時(shí)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【正解】設(shè)g(x)kx24xk3，則集合Bx|g(x)0(1)當(dāng)k0時(shí)，Bx|x A，故應(yīng)舍去(2)當(dāng)k0時(shí)，注意到g(x)的圖象開口向上，顯然BA，故應(yīng)舍去(3)當(dāng)k0時(shí)，由數(shù)形結(jié)合知，要使BA，則 故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(4， 【分析】本題在求解過程中，很容易認(rèn)為上述討論中，對(3)當(dāng)k0的情況，忽視了0即k4，因?yàn)榇藭r(shí)，B A，應(yīng)補(bǔ)上，得k的取值范圍是(， 這樣討論似乎無懈可擊，完美無誤其實(shí)犯了一個(gè)概念性的錯(cuò)誤，即函數(shù)的定義域集合為非空數(shù)集，即B ，即不應(yīng)考慮kg(f(x)的x的值是_解析：解析：g(1)3，f(g(1)f(3)1x1時(shí)，f(g(1)1，g(f(1)3，f(g(1)g(f(x)x3時(shí)，f(g(3)f(1)1，g(f(3)g(1)3，f(g(x)a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：解析：當(dāng)a0時(shí)，f(a) a1，則由f(a)a，得a3，不合題意；當(dāng)aa，得a1.綜上，所求a的取值范圍是(，1)答案：答案：(，1)8若f(x)(xa)3對任意xR都有f(1x)f(1x)，則f(2)f(2)_.解析：解析：令x0，知f(1)f(1)，f(1)0，f(1)(1a)30，a1，f(x)(x1)3，f(2)f(2)26.答案：答案：269.函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則f(x)的定義域是_；值域是_；其中只與x的一個(gè)值對應(yīng)的y值的范圍是_解析：解析：由圖象知，函數(shù)yf(x)的圖象包括兩部分，一部分是以點(diǎn)(3,2)和(0,4)為兩個(gè)端點(diǎn)的一條曲線段，一部分是以(2,1)、(3,5)為端點(diǎn)的曲線段，故其定義域?yàn)?,02,3，值域?yàn)?,5，只與x的一個(gè)值對應(yīng)的y值的取值范圍是1,2)(4,5答案：答案：3,02,31,51,2)(4,5三、解答題三、解答題10(文)某人驅(qū)車以52千米/時(shí)的速度從A地駛往260千米遠(yuǎn)處的B地，到達(dá)B地并停留1.5小時(shí)后，再以65千米/時(shí)的速度返回A地，試將此人驅(qū)車走過的路程s(千米)表示為時(shí)間t時(shí)的函數(shù)解：解： 5，當(dāng)0t5時(shí)，s52t，又到達(dá)B地后停留1.5小時(shí)，此時(shí)距離A地的路程不變，即s525260(km)，56.5時(shí)，s260(t6.5)65，又返回A地，此時(shí)t 6.510.5.(理)某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系如圖所示：該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)之間的關(guān)系如表所示：第t天5152030Q(件)35252010(1)根據(jù)提供的圖象，寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；(2)在所給直角坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(t，Q)的對應(yīng)點(diǎn)，并確定日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(3)求該商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天？(日銷售金額每件的銷售價(jià)格日銷售量)解：解：(1)根據(jù)圖象，每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為 P(2)描出實(shí)數(shù)對(t，Q)的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示從圖象發(fā)現(xiàn)點(diǎn)(5,35)，(15,25)，(20,20)，(30,10)在同一條直線上，為此假設(shè)它們共線于直線l：Qktb.由點(diǎn)(5,35)，(30,10)確定出l的解析式為Qt40.通過檢驗(yàn)可知：點(diǎn)(15,25)，(20,20)也在直線l上日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式為Qt40(0t30，tN*)(3)設(shè)日銷售金額為y(元)，若0t900，知ymax1 125，這種商品日銷售金額的最大值為1 125元，30天中的第25天的日銷售金額最大解：解：11已知f(x)x22x3，用圖象法表示函數(shù)g(x)當(dāng)f(x)0，即x22x30，3x1時(shí)，g(x)0.當(dāng)f(x)0 ，即x1時(shí)，g(x)f(x)(x1)24.故g(x)g(x)的圖象如圖所示綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用12定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，則f(2)等于_解析：解析：令xy1，由已知得f(2)f(1)f(1)2112226.令xy0，由已知得f(0)0，令yx，得f(0)f(x)f(x)2x2，f(x)2x2f(x)f(2)222f(2)862.答案：答案：2