知識(shí)點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。1.函數(shù)的單調(diào)性：在某個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).注：函數(shù)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增，則，是在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件.2.函數(shù)的極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，并且，曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正一般地，當(dāng)函數(shù) 在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，判斷 是極大（?。┲档姆椒ㄊ牵海?）如果在附近的左側(cè) ，右側(cè)，那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè) ，右側(cè)，那么 是極小值注：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性方法歸納：在某個(gè)區(qū)間（a,b）內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).注：函數(shù)在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增，則，是在（a,b）內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件.例1】（B類）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線方程為. （）求函數(shù)的解析式； （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解題思路】注意切點(diǎn)既在切線上，又原曲線上.函數(shù)在區(qū)間上遞增可得：；函數(shù)在區(qū)間上遞減可得：.【例2】（A類）若在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【解題思路】利用函數(shù)在區(qū)間上遞增可得：；函數(shù)在區(qū)間上遞減可得：.得出恒成立的條件,再利用處理不等式恒成立的方法獲解【例3】（B類）已知函數(shù),設(shè)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若以函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值【課堂練習(xí)】1.（B） 已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線恰好與直線垂直. （）求實(shí)數(shù)的值；（）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.2（B類）設(shè)函數(shù)，在其圖象上一點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率記為 （1）若方程的表達(dá)式； （2）若的最小值3.（A類）已知函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的單調(diào)性.例一解析】（）由的圖象經(jīng)過，知， 所以.所以. 由在處的切線方程是，知，即，. 所以 即 解得. 故所求的解析式是. （）因?yàn)椋?令，即，解得 ，. 當(dāng)或時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù). 例二【解析】又在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增在1,1上恒成立 即在 1,1時(shí)恒成立. 故的取值范圍為例三解析】（I），由，在上單調(diào)遞增. 由，在上單調(diào)遞減.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II），恒成立當(dāng)時(shí)，取得最大值.，amin=課堂練習(xí)；1，【解析】（）的圖象經(jīng)過點(diǎn) ， 由已知條件知 即 解得：（）由（）知，令則或 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 或 即或2，解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知由已知-2、4是方程的兩個(gè)實(shí)根由韋達(dá)定理， （2）在區(qū)間1，3上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在1，3區(qū)間上恒有其中點(diǎn)（2，3）距離原點(diǎn)最近， 所以當(dāng)有最小值13 3，【解析】，（1）當(dāng)時(shí)，若為增函數(shù)；為減函數(shù)；為增函數(shù)（2）當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；為減函數(shù)；為增函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二: 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值方法歸納：1.求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù) .(2)求方程的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個(gè)根處無極值.2.求函數(shù)在上最值的步驟：（1）求出在上的極值. （2）求出端點(diǎn)函數(shù)值. （3）比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值.注:可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值是的充分不必要條件.【例4】（A類）若函數(shù)在處取得極值,則 .【解題思路】若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且,那么是的極大值；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且,那么是的極小值.【解析】因?yàn)榭蓪?dǎo),且,所以,解得.驗(yàn)證當(dāng)時(shí), 函數(shù)在處取得極大值.【注】 若是可導(dǎo)函數(shù)，注意是為函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件.要確定極值點(diǎn)還需在左右判斷單調(diào)性.例5】（B類）已知函數(shù)，（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）求在區(qū)間上的最小值.【解析】（I），令；所以在上遞減，在上遞增；（II）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以；當(dāng)即時(shí)，由（I）知，函數(shù)在區(qū)間上遞減，上遞增，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以.【例6】（B類）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).（1）試確定常數(shù)a和b的值；（2）試判斷是函數(shù)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求相應(yīng)極值.【解析】（1）由已知得： （2）變化時(shí).的變化情況如表：（0，1）1（1，2）20+0極小值極大值故在處，函數(shù)取極小值；在處，函數(shù)取得極大值4.（A類）設(shè).若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍.5.（B類）設(shè)，（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值； （2）討論與的大小關(guān)系；6.（C類）已知函數(shù)()證明：曲線.課堂練習(xí)；4，【解析】在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即存在某個(gè)子區(qū)間 使得.由，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則只需即可.由解得，所以，當(dāng)時(shí)，在上存在單調(diào)遞增區(qū)間5，解】（1）由題設(shè)知，令0得=1，當(dāng)（0，1）時(shí)，0，是減函數(shù)，故（0，1）是的單調(diào)減區(qū)間.當(dāng)（1，+）時(shí)，0，是增函數(shù)，故（1，+）是的單調(diào)遞增區(qū)間，因此，=1是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以的最小值為(2)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即6，【解析】() ，又曲線的切線方程是：，在上式中令，得.所以曲線7 / 7