高考數(shù)學復習方案 第2單元第15講 定積分與微積分基本定理課件 理 北師大版

第第1515講講 定積分與微積分基本定理定積分與微積分基本定理知識梳理1定積分的概念定積分的概念一般地，給定一個在區(qū)間一般地，給定一個在區(qū)間a，b上的函數(shù)上的函數(shù)yf(x)，其圖像如圖，其圖像如圖151所示所示將將a，b區(qū)間分成區(qū)間分成n份，分點為：份，分點為：ax0 x1x2xn1xnb.第第i個小區(qū)間為個小區(qū)間為xi1，xi，設其長度為，設其長度為xi，在這個小區(qū)間上取一點，在這個小區(qū)間上取一點i，使，使f(i)在區(qū)間在區(qū)間xi1，xi上的值最大，設上的值最大，設Sf(1)x1f(2)2f(i)xif(n)xn.在這個小區(qū)間上取一點在這個小區(qū)間上取一點i，使，使f(i)在區(qū)間在區(qū)間xi1，xi上的值最小，上的值最小，設設sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn. 第第1515講講 知識梳理知識梳理圖圖151如果每次分割后，最大的小區(qū)間的長度趨于如果每次分割后，最大的小區(qū)間的長度趨于0，S與與s的差也趨于的差也趨于0，此時，此時S與與s同時趨于某一個固定的同時趨于某一個固定的_，容易驗證，在每個小區(qū)間，容易驗證，在每個小區(qū)間xi1，xi上任取上任取一點一點i，Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn的值也趨于該的值也趨于該_，我們，我們稱稱_是函數(shù)是函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的上的_，記作，記作f(x)dx，即，即_其中，其中，叫作積分號，叫作積分號，a與與b分別叫作積分的分別叫作積分的_與積分的與積分的_，函數(shù)，函數(shù)f(x)叫作叫作_ 第第1515講講 知識梳理知識梳理常數(shù)常數(shù)A 常數(shù)常數(shù)A A 定積分定積分 下限下限 上限上限 被積函數(shù)被積函數(shù) 第第1515講講 知識梳理知識梳理yf(x) xa，xb和和x軸軸 ba F(b)F(a) 要點探究 探究點探究點1利用微積分基本定理及定積分的性質(zhì)求定積分利用微積分基本定理及定積分的性質(zhì)求定積分第第1515講講 要點探究要點探究思路思路 利用微積分基本定理求定積分，就是求出被積函數(shù)的一個利用微積分基本定理求定積分，就是求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，然后再計算在相應區(qū)間上的函數(shù)值的差即可原函數(shù)，然后再計算在相應區(qū)間上的函數(shù)值的差即可 第第1515講講 要點探究要點探究第第1515講講 要點探究要點探究(2)不等式不等式0(2x8)dx0的解集為的解集為 答案答案 a|0a8 第第1515講講 要點探究要點探究答案答案 3 第第1515講講 要點探究要點探究 點評點評 利用微積分基本定理求定積分，關鍵是求出被積函利用微積分基本定理求定積分，關鍵是求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，求一個函數(shù)的原函數(shù)與求一個函數(shù)的導數(shù)互數(shù)的一個原函數(shù)，求一個函數(shù)的原函數(shù)與求一個函數(shù)的導數(shù)互為逆運算，因此要注意掌握一些常見函數(shù)的導數(shù)，在求稍微復為逆運算，因此要注意掌握一些常見函數(shù)的導數(shù)，在求稍微復雜的定積分時要注意被積函數(shù)的變形轉(zhuǎn)化把定積分融入方程雜的定積分時要注意被積函數(shù)的變形轉(zhuǎn)化把定積分融入方程或不等式已成為近幾年考試的熱點或不等式已成為近幾年考試的熱點 探究點探究點2利用定積分的幾何意義求定積分利用定積分的幾何意義求定積分第第1515講講 要點探究要點探究思路思路 畫出被積函數(shù)的圖像，求出對應圖形的面積，由定積分的幾畫出被積函數(shù)的圖像，求出對應圖形的面積，由定積分的幾何意義便可求出積分值何意義便可求出積分值 第第1515講講 要點探究要點探究 探究點探究點3定積分在求圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積方面的應用定積分在求圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積方面的應用 例例3 (1)求拋物線求拋物線y22x與直線與直線yx4圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積 第第1515講講 要點探究要點探究思路思路 先畫出已知函數(shù)的圖像，求出拋物線與直線的交點，再利用積分求解先畫出已知函數(shù)的圖像，求出拋物線與直線的交點，再利用積分求解 第第1515講講 要點探究要點探究(2)求由曲線求由曲線ysinx在在0，段與段與x軸所圍成的圖形繞軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積V. 思路思路 直接用旋轉(zhuǎn)體的體積公式計算直接用旋轉(zhuǎn)體的體積公式計算 第第1515講講 要點探究要點探究 點評點評 (1)從上述兩種解法中可以看出，對從上述兩種解法中可以看出，對y積分比積分比x積分計算簡捷，但同積分計算簡捷，但同時也要注意對時也要注意對y積分時，積分函數(shù)應為積分時，積分函數(shù)應為xm(y)，然后再根據(jù)定積分求解，因，然后再根據(jù)定積分求解，因此對于求平面圖形的面積問題，應首先畫出平面圖形的大概圖形，然后根據(jù)此對于求平面圖形的面積問題，應首先畫出平面圖形的大概圖形，然后根據(jù)圖形特點，選擇相應的積分變量及被積函數(shù)，并確定被積區(qū)間圖形特點，選擇相應的積分變量及被積函數(shù)，并確定被積區(qū)間(2)利用積分利用積分研究旋轉(zhuǎn)體的體積時，要注意旋轉(zhuǎn)體相應的旋轉(zhuǎn)曲線，旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)軸研究旋轉(zhuǎn)體的體積時，要注意旋轉(zhuǎn)體相應的旋轉(zhuǎn)曲線，旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)軸 探究點探究點4定積分在物理方面的應用定積分在物理方面的應用第第1515講講 要點探究要點探究 例例4 2010福州模擬福州模擬 一輛汽車的速度一輛汽車的速度時間曲線如圖時間曲線如圖152所示，求所示，求該汽車在這一分鐘內(nèi)行駛的路程該汽車在這一分鐘內(nèi)行駛的路程 圖圖152 思路思路 本題考查定積分在物理中的應用，可本題考查定積分在物理中的應用，可以先根據(jù)圖像求出速度關于時間的函數(shù)解以先根據(jù)圖像求出速度關于時間的函數(shù)解析式，再利用定積分求出路程析式，再利用定積分求出路程 第第1515講講 要點探究要點探究第第1515講講 要點探究要點探究 點評點評 用定積分解決變速運動的位置與路程問題用定積分解決變速運動的位置與路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關鍵變速直線運時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關鍵變速直線運動的速度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時要利用積動的速度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段積分，然后求出積分的和，即分的性質(zhì)將其分成幾段積分，然后求出積分的和，即可得到答案，由于函數(shù)是分段函數(shù)，所以運算過程可可得到答案，由于函數(shù)是分段函數(shù)，所以運算過程可能稍微復雜些，因此在運算過程中一定要細心，不要能稍微復雜些，因此在運算過程中一定要細心，不要出現(xiàn)計算上的錯誤，利用定積分還能解決變力做功的出現(xiàn)計算上的錯誤，利用定積分還能解決變力做功的問題問題 規(guī)律總結(jié)第第1515講講 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)第第1515講講 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)