安徽省高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第10單元第59講 橢圓課件 理

12了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)4415 4413 A. mmmmmm當(dāng)時，當(dāng)時，解析：選2212 4A 53 B 8 C 5 D 161.xymm橢圓的焦距等于 ，則的值為或12121 A 4 B 5 C 8 2 D 10.PFFPFPF 設(shè) 是橢圓上的點，若、是橢圓的兩個焦點，則等于12510.2aPFPFa由題解意知，所以析： 6 A 9 B 1 C 19 D3.CCF已知橢圓 的短軸長為 ，離心率為，則橢圓 的焦點 到長軸的一個端點的距離為 或以上都不對2222223941554. 19.babeaaacabF由題意知，又，解得，所以所以焦點到長軸的一個端點的距離為解析：或22222 1.332.2341baceababcxyy依題設(shè)，解得又橢圓焦點在 軸上，故其方程為解析：1(3 0) 42. .y中心在坐標(biāo)原點，焦點在 軸上，經(jīng)過點， ，離心率為的橢圓方程為22122222212102 5.xyabFFabxcabxMNMNFFe 橢圓的焦點為 、 ，兩條直線與 軸的交點為、，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是2212222.2224121)2122aMNcaMNF Fccccaae由已知又，則，從而，解析： 故，故1212122 (_)2 ._1FFaPPFPFaF F平面內(nèi)到兩定點、的距離之和為常數(shù)的點的軌跡叫橢圓對于橢圓上任一點 ，有在定義中，當(dāng)時，表示線段；當(dāng)時，不表示橢任圓的定義何圖形 2222222222222211 (0)_.21 (0)_.2xyababcabxyababcba ，其中，焦點坐標(biāo)為橢圓，其中，焦的點坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)方程 2222131 (0200)0,0 xa yxyababbxyO范圍：，橢圓在一個矩形區(qū)域內(nèi)；對稱性：對稱軸，對稱中心；一般規(guī)律：橢圓有兩條對稱軸，它們分別是兩焦點的連線及兩焦橢點連圓 的幾何線段的性質(zhì)中垂線 121212123,0,0(0)(0)_4_ (01)_()_AaAaBbBbA AB Bee頂點：，長軸長，短軸長；一般規(guī)律：橢圓都有四個頂點，頂點是曲線與它本身的對稱軸的交點離心率： ，橢圓的離心率在內(nèi)，離心率確定了橢圓的形狀 扁圓狀態(tài) 當(dāng)離心率越接近于時，橢圓越圓；當(dāng)離心率越接近于 時，橢圓越扁平1212121212222,0,0(0)(0)220,101aF FaF FaF FFcFcFcFccaba；，；，-，；【要點指南； ； 】 12121,031,0(111).22EFFCEEPEPF PFtt 已知橢圓 的兩個焦點分別為、， 在橢圓 上求橢圓 的方程；若點 在橢圓 上，且滿足，求實數(shù)例的取值范圍題型一題型一 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 2222222222221(0)11.319(1)1.2441.433.1 1xyEababcabCEabbExya依題意，設(shè)橢圓 的方程為 由已知半焦距，所以因為點， 在橢圓 上，則由解得，所以橢圓方法 ：的解方程為析： 222221222221(0)3(1)221.4 22.3413xyEababCEaxCFCFacbacyE依題意，設(shè)橢圓 的方程為 ，因為點， 在橢圓 上，所以，即由已知半焦距，所方法以所以橢圓 的方：程為解析： 0012220000002200220020()( 1) (1)1.1.431420422332, P xyPF PFtxyxytxytxyPEytxxtxtt 設(shè)，則，得，即因為點 在橢圓 上，所以由得，代入，并整理得由知，綜合，解得，所以實數(shù) 的取值范圍為解析： 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通常有定義法和待定系數(shù)法，應(yīng)該熟練掌握運用待定系數(shù)法解題時應(yīng)注意“先定位，后定量”，尤其要注意焦點所在的坐標(biāo)軸有兩種可能評析：的情形 1(2 2 0)(05)233,0.14385PQP分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：經(jīng)過點，；長軸長是短軸長的 倍，且經(jīng)過點；焦距是 ，離心率是變式 ： 2222222222 1.8511.981911.259259123xyxyxyxyyx解析：或或 121212 60 .21.2FFPFPFFPF已知 、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，求橢圓離心率的取值范圍；求證：的面積只與橢圓的短軸例長有關(guān)題型二題型二 橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì) 2222121222222222222222222210.42cos60 .2242443344.()()2111443.420 xyababPFm PFnPFFcmnmnmnamnmnmnamncamnmnacmnmnamncacaeae設(shè)橢圓的方程為，在中，由余弦定理可知，因為，所以，所以，即又當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 所以，解，即：又析所以111)2e ，所以 的取值范，圍是 22121241313sin60232mnbS PFFmnPFFb 解析：即的面證積明：只與由知，短軸所以，長有關(guān) 122 1PFPFaac橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得評析：到 ， 的關(guān)系 1222122221212122(|)(2 )4|2 | cos1|sin2F PFPFPFacPFPFPFPFSPFPF定義式的平評析方對的處理方法余弦定理面積公式： 22221121210()2./.12xyABababMxxF ABOMeQFFF QF 已知點 、分別是橢圓的長、短軸的端點，從橢圓上一點在 軸上方向 軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點，求橢圓的離心率 ；設(shè)是橢圓上任意一點，、分別是變式左、右焦點，求的取值范圍 2122,0./.122MMOMABbFcxcyabbkkABOMacabbcbceacaa 因為，則，所以因為，所以，所以，故解析： 11221212122222212121 21 21 2222121 21222424cos122110.2co0s220F Qr F QrF QFrra F Fcrrcrrr rcr rr raarrr rrr 設(shè)，所解析：以，當(dāng)且僅當(dāng)時，所以， 2222121121222 1(0)414.33124203.xyababFFPCPFFFPFPFClxyxyMABABMl橢圓 的兩個焦點為、 ，點 在橢圓 上，且，求橢圓 的方程；若直線 過圓的圓心且交橢圓于 、 兩點，且 、 關(guān)于點對稱，求直線例的方程題型三題型三 橢圓的綜合問題橢圓的綜合問題 122212122122222 263.|25 1.941514 PCaPFPFaRt PF FF FPFPFcbacxyC因為點在橢圓上，所以，在中，故橢圓的半焦距，從方法 ：而，所以橢圓的方程為解析： 11222222222122() ()2152,1214936183636270.1898222499 821989250.ABxyxyxyMlyxk xCkxkk xkkABMxxkkkklyyx 設(shè) ， 坐標(biāo)分別為， ，已知圓的方程為，所以圓心的坐標(biāo)為，從而可設(shè)直線 的方程為，代入橢圓 的方程得因為 ， 關(guān)于點對稱，所以，解得，所以直線 的方程即為，解析：()經(jīng)檢驗，符合題意 22112212221122221.215.2,12() ()1941124 9xyMABxyxyxxxyxy同方法已知圓的方程為所以圓心的坐標(biāo)為設(shè) ， 的坐標(biāo)分別為， ，由題意，方法且，：解析：，1212121212121212 89250.0.94428899()8129xxxxyyyyABMxxyyyylxxyyxlx 由得因為 、關(guān)于點對稱，所以，代入得，即直線 的斜率為，所以直線 的方程解析：即經(jīng)檢驗，所求直線方程符，合題意為 123 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，然后通過判別式 來判斷直線和橢圓相交、相切或相離消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)若已知圓錐曲線的弦的中點坐標(biāo)，可設(shè)出弦的端點坐標(biāo)，代入方程，用點差法求弦的斜率，注意求出方程后，通常評析：要檢驗 22122212121042.1203).,2(xyFFababPPFPFFFNlABOAOBOlk 若 、分別是橢圓的左、右焦點， 是該橢圓上的一個動點，且，求這個橢圓的方程；是否存在過定點的直線 與橢圓交于不同的兩點 、 ，使其中 為坐標(biāo)原點？若存在，求出直線 的斜率 ；若不存在，變式說明理由 2221122224,22 3231.02()124(.)1acacbacxlykxABlA xyB xyxy依題意，得，所以，所以所以橢圓的方程為顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即時，不滿足條件設(shè) 的方程為，因為 、 是直線 與橢圓的兩個不同的交點，設(shè)，解析：，222222221212221421416120.164 141216 430341612.1414xyyykxkxkxkkkkkxxx xkk 由消去 并整理，得所以，解得.：，解析121212122121212212122222220222412412164 412 ()40.1414144.2.2OAOBOA OBOA OBx xy yx xkxkxx xk x xk xxkx xk xxkkkkkkkkkk 因為，所以，所以所以 解析：所以，存在斜率 由可知的l直線 符合題意 224(01)12(02)3xyPxQMPQQMQPMCCMAl 從圓上任意一點作軸的垂線，垂足為，點在線段上，且 求點的軌跡的方程；若曲線上的點到，的最遠(yuǎn)距離為 ，求備選例題的值 22222()()1(01,0.(44)41P abM xyQ aaxyxxaQMQPPQxyybbP abxyM 設(shè)，則由，軸，得，則又點，在圓上，代入得點的軌跡方程為解析： 22222222222222222max214448 ( 22 )20125120,1(1)12 22 21(2 )884842xyMAxyMAyyyylllylMA 因為，又，所以，其圖象開口向下，對稱軸 ，所以當(dāng) 且，即，時，對稱軸在區(qū)間， 的右邊，故當(dāng)時，222222222222max2215484922220,1151(0 22 221122()48211489155yMA 令，解得或，都不合要求，舍去當(dāng)且，即，時，對稱軸在區(qū)間， 的解析： 解得中間，故當(dāng)時，為所求2222121(00)1(00)xymnmnAxByAB在解題中凡涉及橢圓上的點到焦點的距離時，應(yīng)利用定義求解求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義法外，常用待定系數(shù)法當(dāng)橢圓的焦點位置不明確，可設(shè)方程為 ， ，或設(shè)為 ， 3.4MFacac橢圓上任意一點到焦點的所有距離中，長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為，最小距離為焦點弦的所有弦長中，垂直于長軸的弦是最短的弦，而且它的長為，把這個弦叫做橢圓的通徑2225016()70()eabcbacee 求橢圓離心率 時，只要求出 ， ， 的一個齊次方程，再結(jié)合就可求得從一焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓 面 的反射，反射光線必經(jīng)過橢圓的另一個焦點過橢圓外一點求橢圓的切線，一般用判別式求斜率，也可設(shè)切點后求導(dǎo)數(shù) 斜率 2211892_xyekk若橢圓的離心率，則 的值為22222222891112844.akbccabkeeaaakk錯解： 由已知，又，所以，解得xy由于所給橢圓焦點的位置不確定，即焦點可能在 軸上，也可能在 軸上，所以應(yīng)分兩種情錯解分析：況求解 222222222222222289089118408998115.944 4.54. 124kkkxkakbcabkeaakykabkcabkekaa 若焦點在 軸上，即時，若焦點正解：解得綜上，或在 軸上，即時，解得