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高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第3講 點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系課件 文

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高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第3講 點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系課件 文

第3講點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.理解空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.公理1:如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).公理2:過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn).公理4:平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.定理:空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).2.以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2011年大綱卷第15題考查異面直線(xiàn)所成的角;2012年大綱卷第16題考查異面直線(xiàn)所成的角;2013年新課標(biāo)卷第19題(1)以三棱柱為背景,證明線(xiàn)線(xiàn)垂直;(2)考查線(xiàn)面位置判定定理及求三棱柱體積;2014年大綱卷第4題考查異面直線(xiàn)所成的角;2014年新課標(biāo)卷第19題(1)以三棱柱為背景,證明線(xiàn)線(xiàn)垂直;(2)考查線(xiàn)面位置判定定理、性質(zhì)定理及求三棱柱的高平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基礎(chǔ),是高考主要考點(diǎn)之一,考查內(nèi)容有以平面基本性質(zhì)、推論為基礎(chǔ)的共線(xiàn)、共面問(wèn)題,也有以平行、異面為主的兩直線(xiàn)的位置關(guān)系,求異面直線(xiàn)所成的角是本節(jié)的重點(diǎn)項(xiàng)目公理 1公理 2公理 3公理 4圖形語(yǔ)言1.平面基本性質(zhì)即四條公理的“圖形語(yǔ)言”“文字語(yǔ)言”“符號(hào)語(yǔ)言”列表項(xiàng)目公理 1公理 2公理 3公理 4文字語(yǔ)言如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行符號(hào)語(yǔ)言A,B,C 不共線(xiàn)A,B,C 確定平面(續(xù)表)推論 1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面推論 2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面推論 3 經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面等角定理空間中,如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系共平行沒(méi)有交點(diǎn)相交一個(gè)交點(diǎn)異面直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系平行沒(méi)有交點(diǎn)相交一個(gè)交點(diǎn)在平面內(nèi)無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)兩平面的位置關(guān)系平行沒(méi)有交點(diǎn)相交無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)2.空間線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系3.異面直線(xiàn)所成的角銳角或直角(0,90過(guò)空間任一點(diǎn) O 分別作異面直線(xiàn) a 與 b 的平行線(xiàn) a與 b.那么直線(xiàn) a與 b所成的_,叫做異面直線(xiàn) a 與b 所成的角(或夾角),其范圍是_.1.(2013 年安徽)在下列命題中,不是公理的是()A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B.過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面C.如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)AD.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn), 那么他們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)解析:B,C,D 說(shuō)法均不需證明,也無(wú)法證明,是公理;A 選項(xiàng)可以推導(dǎo)證明,故是定理.故選 A.2.若空間中有兩條直線(xiàn),則“這兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)”是)A“這兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為()CA.3 條B.4 條C.5 條D.6 條解析:如圖D43,用列舉法知,符合要求的棱為:BC,CD,C1D1,BB1,AA1.故選C.4.若A,B,Al,Bl,Pl,則( ) DA.PB.P C.lD.P圖 D43考點(diǎn) 1 平面的基本性質(zhì),則()例 1:若直線(xiàn) l 不平行于平面,且 lA.內(nèi)的所有直線(xiàn)與 l 異面B.內(nèi)不存在與 l 平行的直線(xiàn)C.內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與 l 平行D.內(nèi)的直線(xiàn)與 l 都相交答案:B解析:不妨設(shè)直線(xiàn)lM,過(guò)點(diǎn)M的內(nèi)的直線(xiàn)與l不異面,故A錯(cuò)誤;假設(shè)存在與l平行的直線(xiàn)m,則由ml,得l,這與lM矛盾.故B正確;C顯然錯(cuò)誤;內(nèi)存在與l異面的直線(xiàn),故D錯(cuò)誤.故選B.【規(guī)律方法】直線(xiàn)在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn),如果直線(xiàn)不在平面內(nèi),記作l ,包括直線(xiàn)與平面相交及直線(xiàn)與平面平行兩種情形.反映平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形和研究點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的基礎(chǔ),三個(gè)公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù).公理 1 是判斷直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù);公理2的作用是確定平面,這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù);公理 3 是證明三(多)點(diǎn)共線(xiàn)或三線(xiàn)共點(diǎn)的依據(jù).【互動(dòng)探究】A1.下列推斷中,錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()Al,A,Bl,Bl;A,B,C,A,B,C,且A,B,C不共線(xiàn),重合;l,AlA .A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.0 個(gè)考點(diǎn) 2 空間內(nèi)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系例2:如圖831,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點(diǎn),則下列判斷錯(cuò)誤的是()圖 831A.MN 與 CC1 垂直C.MN 與 BD 平行B.MN 與 AC 垂直D.MN 與 A1B1 平行答案:D【規(guī)律方法】判斷直線(xiàn)是否平行比較簡(jiǎn)單直觀,可以利用公理 4;判斷直線(xiàn)是否異面則比較困難,掌握異面直線(xiàn)的兩種判斷方法:反證法:先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn),即兩條直線(xiàn)平行或相交,再由假設(shè)的條件出發(fā),經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè),肯定兩條直線(xiàn)異面;在客觀題中,也可用下述結(jié)論:過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn),與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).【互動(dòng)探究】2.如圖 832 所示的是正方體和正四面體,P,Q,R,S 分別是所在棱的中點(diǎn),則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是_(填上所有正確答案的序號(hào)).圖 8323.如圖 833,G,H,M,N 分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則使直線(xiàn) GH,MN 是異面直線(xiàn)的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào)).圖 833解析:圖中,直線(xiàn)GHMN;圖中,G,H,N 三點(diǎn)在三棱柱的側(cè)面上,MG 與這個(gè)側(cè)面相交于G,M 平面GHN,因此直線(xiàn) GH 與 MN 異面;圖中,連接MG,GMHN,因此GH 與MN 共面;圖中,G,M,N 共面,但H 平面GMN,因此 GH 與 MN 異面.答案:考點(diǎn) 3 異面直線(xiàn)所成的角例3:在正方體ABCDA1B1C1D1中.(1)求AC與A1D所成角的大?。?2)若E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),求A1C1與EF所成角的大小.圖 834解:(1)如圖834,連接AB1,B1C.由ABCDA1B1C1D1是正方體,易知A1DB1C,從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角.AB1ACB1C,B1CA60,即A1D與AC所成的角為60.(2)如圖 835,連接 AC,BD.圖 835在正方體ABCDA1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1.E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),EFBD.EFAC.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90.【規(guī)律方法】求異面直線(xiàn)所成角的基本方法就是平移,有時(shí)候平移兩條直線(xiàn),有時(shí)候只需要平移一條直線(xiàn),直到得到兩條相交直線(xiàn),最后在三角形或四邊形中解決問(wèn)題.【互動(dòng)探究】B4.(2014 年大綱)已知在正四面體 ABCD 中,點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn),則異面直線(xiàn) CE 與 BD 所成角的余弦值為()考點(diǎn) 4 三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)的證明圖 836例4:如圖836,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證:(1)E,C,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面;(2)CE,D1F,DA三線(xiàn)共點(diǎn).證明:(1)如圖837,連接EF,CD1,A1B.圖 837E,F(xiàn)分別是AB,AA1的中點(diǎn),EFBA1.又A1BD1C,EFCD1.E,C,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面.CE與D1F必相交.設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)P,如圖837,則由點(diǎn)PCE,CE平面ABCD,得點(diǎn)P平面ABCD.同理點(diǎn)P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA,點(diǎn)P直線(xiàn)DA.CE,D1F,DA三線(xiàn)共點(diǎn).【規(guī)律方法】要證明 M,N,K 三點(diǎn)共線(xiàn),由公理 3 知,只要證明 M,N,K 都在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上即可.證明多點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題:可由兩點(diǎn)連一條直線(xiàn),再驗(yàn)證其他各點(diǎn)均在這條直線(xiàn)上;可直接驗(yàn)證這些點(diǎn)都在同一條特定的直線(xiàn)上相交兩平面的唯一交線(xiàn),關(guān)鍵是通過(guò)繪出圖形,作出兩個(gè)適當(dāng)?shù)钠矫婊蜉o助平面,證明這些點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).【互動(dòng)探究】A5.在空間四邊形 ABCD 的邊 AB,BC,CD,DA 上分別取 E,F(xiàn),G,H 四點(diǎn),若 EF 與 GH 交于點(diǎn) M,則()A.點(diǎn) M 一定在 AC 上B.點(diǎn) M 一定在 BD 上C.點(diǎn) M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上D.點(diǎn) M 既不在 AC 上,也不在 BD 上解析:點(diǎn)M 在平面ABC 內(nèi),又在平面ADC 內(nèi),故必在交線(xiàn) AC 上.難點(diǎn)突破 利用平移求異面直線(xiàn)所成的角例題:(1)(2012年大綱)已知正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1,CC1的中點(diǎn),那么異面直線(xiàn)AE與D1F所成角的余弦值為_(kāi).解析:如圖838,連接DF,則AEDF.圖838(2)(2014 年大綱)已知正四面體 ABCD 中,E 是 AB 的中點(diǎn),則異面直線(xiàn) CE 與 BD 所成角的余弦值為()答案:B【規(guī)律方法】求異面直線(xiàn)所成角的基本方法就是平移,有時(shí)候平移兩條直線(xiàn),有時(shí)候只需要平移一條直線(xiàn),直到得到兩條相交直線(xiàn),最后在三角形或四邊形中解決問(wèn)題.1. 反映平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形和研究點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的基礎(chǔ),三個(gè)公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù).公理 1 判斷直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù); 公理 2 的作用是確定平面,這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù);公理3 是證明三(多)點(diǎn)共線(xiàn)或三線(xiàn)共點(diǎn)的依據(jù).2.正確理解異面直線(xiàn)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義,不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”.掌握異面直線(xiàn)的兩種判斷方法:(1)反證法:先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn),即兩條直線(xiàn)平行或相交,由假設(shè)的條件出發(fā),經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè)肯定兩條直線(xiàn)異面.(2)客觀題中,也可用下述結(jié)論:過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn),與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).3.求兩條異面直線(xiàn)所成角的大小,一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線(xiàn),把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知,異面直線(xiàn)所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān),往往可以選在其中一條直線(xiàn)上(線(xiàn)面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解.4.平面幾何中有些概念和性質(zhì),推廣到空間不一定成立.例如:“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)只能作一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直”“同時(shí)垂直于一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行”等性質(zhì)在空間都不成立.

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