高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七單元 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算課件

第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算平面向量有關(guān)概念的理解給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac； ab的充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.CDBA分析在正確理解有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，注意特殊情況是解決問題的關(guān)鍵解不正確兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確 ，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則CDBACDBACDBA/,且，且CDBACDBA /因此，.CDBA正確a ab b，a a，b b的長度相等且方向相同；又b bc c，b b，c c的長度相等且方向相同，a a，c c的長度相等且方向相同，故a ac.c.不正確當(dāng)abab且方向相反時(shí)，即使|a|a|b|b|，也不能得到a ab b，故|a|a|b|b|且abab不是a ab b的充要條件，而是必要不充分條件不正確若b b0，則a a與c c不平行綜上所述，正確命題的序號(hào)是.規(guī)律總結(jié)上述五例都是考查向量的基本概念和簡(jiǎn)單性質(zhì)向量的基本概念和性質(zhì)是研究和應(yīng)用向量解決問題的基礎(chǔ)，所以要理解并熟悉它們由于向量的相關(guān)概念和性質(zhì)較多，所以復(fù)習(xí)時(shí)，要注意構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想，以便于記憶和理解變式訓(xùn)練1 下列各命題中，正確的有 零向量沒有方向向量就是有向線段單位向量都相等兩相等向量若共起點(diǎn)，則終點(diǎn)也相同若 ，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)0ACCBBA【解析】不正確，零向量方向任意不正確，有向線段是向量的一種表示形式不正確，單位向量的模為1，方向不定正確不正確，A、B、C三點(diǎn)還可以共線【答案】平面向量的線性運(yùn)算(精選考題蘇州調(diào)研)已知：任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，求證： CDBAFE21分析依據(jù)平面向量的加減法則，可以有多種證法方法一，用兩種途徑表示向量 ，再求和得向量的表達(dá)式方法二，作兩條輔助線，用輔助線確定的向量進(jìn)行代換FE證明方法一：如圖所示，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，由得，AEFBBAFEBAAEEFFBCFBFDEAE，又0. 0, 0 同理 FCCDDEFE DCABEFDCABCFBFEDEADCABEF212方法二：如圖所示，連接 ,CEBE則 ,CDDECEBAAEBE.212121CDBABAAECDDEBECEFE規(guī)律總結(jié) 在證明向量關(guān)系式時(shí)，首先根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則和三角形法則，找到相關(guān)向量的一些關(guān)系式，再以欲證式子為目標(biāo)進(jìn)行代換或變形要注意充分利用所給平面圖形中的幾何性質(zhì)設(shè)置向量，并表述相應(yīng)的運(yùn)算變式訓(xùn)練2 如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若 ，試用a，b將向量 表示出來bCBaAB,DFDBFBEO,【解析】因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成 ABCO，所以 ，所以 ，所以 .由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成 ABOF，所以同理，在 BCDO中， = b(ab)a2b，OBOAABCBABbaOBbaOBEObaabaABOBFOOBFB2OBCBDCCBDB. abABCBDF平面向量的共線問題 (1)求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量a，b,3a2b的終點(diǎn)在同一條直線上(2)設(shè)非零向量a、b不共線，ckab，dakb(kR)，若cd，試求k.分析(1)設(shè)出共同起點(diǎn)和三個(gè)向量的終點(diǎn)，證明由兩終點(diǎn)決定的向量共線(2)利用cd和平行向量定理，找到非零向量a、b的線性關(guān)系，由不共線得方程組，求k.(1)證明：設(shè)起點(diǎn)為O，Oa，Ob，O3a2b，則，公共點(diǎn)A，A，B，C三點(diǎn)共線，即向量a，b,3a2b的終點(diǎn)在同一直線上(2)cd，由向量共線的充要條件得：cd(R)，即kab(akb)，(k)a(1k)b0.又a、b不共線，由平面向量的基本定理得k1.BACABACAabAOBOBAbaAOCOCAbaCObBOaAO,2,2,23,則共線且有 規(guī)律總結(jié)(1)利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成：證明向量平行；說明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)(2)由向量平行，求相關(guān)系數(shù)的一般方法是：先由平行向量定理找到兩不共線向量的線性關(guān)系，從而得實(shí)數(shù)方程，通過解方程求得未知數(shù) 變式訓(xùn)練3 設(shè)e1，e2是不共線的向量，已知向量 ，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值2121212,3,2eeDCeeBCkeeBA【解析】A、B、D三點(diǎn)共線，設(shè) 又 ，2e1ke2(e14e2)，得2，k4，k8.,DBBA214eeBCDCDB平面向量性質(zhì)的應(yīng)用 (12分)已知點(diǎn)G為ABC的重心，過點(diǎn)G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且 的值yxCyANABxAMA11,求分析根據(jù)重心的性質(zhì)，同時(shí)用向量 表示 .由 共線，得的線性關(guān)系，從中得到x，y的關(guān)系，最后求 的值CABA ,NGGM和NGGM和CABA ,yx11解根據(jù)題意G為三角形的重心， ， ，2分 4分由于M與G共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)，使得 ，,31CABAGA,313131CABAxBxACABAMAGAGMBACAyCABACyAGACyAGANANG313131NGGM即 BACAyCABAX313131317分即 31313131xy9分 因此 31313131yx，即xy3xy0，11分兩邊同除以xy整理得 . 12 分311yx規(guī)律總結(jié)通過向量的線性關(guān)系，求未知數(shù)的值，首先要充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)，找到向量的線性關(guān)系，這個(gè)關(guān)系，往往通過向量共線或平行得到；再利用共線向量定理得未知數(shù)的關(guān)系，從而求值變式訓(xùn)練4 已知a、b是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同，a，b/2，t(ab)三向量的終點(diǎn)在一條直線上，求實(shí)數(shù)t的值如圖所示，a，b，t(ab)三向量的終點(diǎn)在一條直線上，存在實(shí)數(shù)使 ，得又a、b不共線， 解得t1/3.【解析】babbat2121btat2121002121tt1關(guān)于向量的基本概念和性質(zhì)(1)相等向量與平行向量的區(qū)別：向量平行是向量相等的必要條件(2)向量平行(共線)與直線平行(共線)有區(qū)別：直線平行不包括共線(即重合)，而向量平行則包括共線(重合)的情況(3)對(duì)于兩個(gè)向量平行的充要條件：abab，只有b0才是正確的而當(dāng)b0時(shí)，ab是ab的必要不充分條件2向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”(1)用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線表示的向量，而差向量是另一條對(duì)角線表示的向量，方向從減向量指向被減向量(2)三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)(3)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩個(gè)向量首尾相接時(shí)，用三角形法則向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加： 但這時(shí)必須“首尾相連”,RARQQPDCCBBA3關(guān)于向量的模(1)當(dāng)a，b方向相同時(shí)，|ab|a|b|；(2)當(dāng)a，b方向相反時(shí)，|ab|a|b|(或|b|a|)；(3)當(dāng)a，b不共線時(shí)，|ab|a|b|.下列命題正確的是()A向量a與b共線，向量b與c共線，則向量a與c共線B向量a與b不共線，向量b與c不共線，則向量a與c不共線C向量 是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)一定共線D向量a與b不共線，則a與b都是非零向量DC與BA錯(cuò)解一因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以a1b，又因?yàn)橄蛄縝與c共線，所以b2c，則a12c，向量a與c共線，故選A.錯(cuò)解二因?yàn)橄蛄縜與b不共線，向量b與c不共線，根據(jù)傳遞性，向量a與c不共線，故選B.錯(cuò)解三因?yàn)橄蛄緼與C是共線向量，所以A、B、C、D四點(diǎn)共線，所以應(yīng)選C.錯(cuò)解分析錯(cuò)解一的錯(cuò)因是對(duì)零向量的特殊性認(rèn)識(shí)不到位，忽視了零向量與任意向量共線；錯(cuò)解二的錯(cuò)因是非零向量共線傳遞的負(fù)遷移；錯(cuò)解三的錯(cuò)因是把向量共線等同于點(diǎn)共線，解此類題需緊扣定義、條件進(jìn)行排除，關(guān)鍵是理解和牢固掌握共線向量、相等向量的概念正解選項(xiàng)A中用了非零向量共線的傳遞性，而條件中沒有非零向量的條件，若b b0 0時(shí)，結(jié)論顯然不成立；選項(xiàng)B中向量的不共線是無傳遞性的，故結(jié)論不成立；選項(xiàng)C中向量 共線，直線AB與CD可能平行，故推不出A、B、C、D共線，結(jié)論不成立；因此正確選項(xiàng)是D.DC與BA