高三數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第四節(jié) 隨機事件與古典概型課件 理

理數(shù)課標版第四節(jié)隨機事件與古典概型1.事件的分類事件的分類教材研讀教材研讀確定事件必然事件在條件S下,一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件不可能事件在條件S下,一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件隨機事件在條件S下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機事件2.頻率和概率頻率和概率(1)在相同的條件S下重復n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對于給定的隨機事件A,隨著試驗次數(shù)的增加,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上,把這個常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率,簡稱為A的概率.Ann3.事件的關(guān)系與運算事件的關(guān)系與運算名稱定義符號表示包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA(或AB)相等關(guān)系 若BA,且BA,那么稱事件A與事件B相等A=B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或A+B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) AB(或AB)互斥事件 若AB為 不可能事件,那么稱事件A與事件B互斥 AB=對立事件 若AB為 不可能事件,AB為 必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件AB=且AB=U(U為全集)4.概率的幾個基本性質(zhì)概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的范圍為0,1.(2)必然事件的概率為1.(3)不可能事件的概率為0.(4)概率的加法公式若事件A與事件B互斥,則P(AB)=P(A)+P(B).(5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件,則AB為必然事件,P(AB)=1,P(A)=1-P(B).5.古典概型古典概型(1)(2)概率計算公式P(A)=.A事件 包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)判斷下面結(jié)論是否正確.(請在括號中打“”或“”)(1)隨機事件和隨機試驗是一回事兒.()(2)在大量重復試驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.()(3)兩個事件的和事件的發(fā)生是指兩個事件都發(fā)生.()(4)對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件.()(5)擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”,這三個結(jié)果是等可能事件.()1.(2016課標全國,3,5分)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.B.C.D.答案答案 C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫),共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種,所以所求事件的概率P=,故選C.1312235646232.(2016天津,2,5分)甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是,甲獲勝的概率是,則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.B.C.D.答案答案 A設(shè)“兩人下成和棋”為事件A,“甲獲勝”為事件B.事件A與B是互斥事件,所以甲不輸?shù)母怕蔖=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=,故選A.1213562516131213563.某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學去參加演講比賽,事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”()A.是互斥事件,不是對立事件B.是對立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是對立事件D.既不是互斥事件也不是對立事件答案答案C“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況,這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集,且不能同時發(fā)生,故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件,也是對立事件,故選C.4.某人進行打靶練習,共射擊10次,其中有2次中10環(huán),有3次中9環(huán),有4次中8環(huán),有1次未打中.假設(shè)此人射擊1次,則中靶的概率約為;中10環(huán)的概率約為.答案答案0.9;0.2解析解析中靶的頻數(shù)為9,試驗次數(shù)為10,所以中靶的頻率為=0.9,所以此人射擊1次,中靶的概率約為0.9,同理,中10環(huán)的概率約為0.2.9105.給出下列三個命題,其中正確命題有個.有一大批產(chǎn)品,已知次品率為10%,從中任取100件,必有10件是次品;做7次拋硬幣的試驗,結(jié)果3次正面朝上,因此正面朝上的概率是;隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率.答案答案0解析解析錯,不一定有10件次品;錯,是頻率而非概率;錯,頻率不等價于概率,這是兩個不同的概念.3737考點一隨機事件的頻率與概率考點一隨機事件的頻率與概率典例典例1(2016課標全國文,18,12分)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:考點突破考點突破上年度出險次數(shù)012345保費0.85aA1.25a1.5a1.75a2a出險次數(shù)012345頻數(shù)605030302010(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”.求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”.求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.解析解析(1)事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為=0.55,故P(A)的估6050200計值為0.55.(3分)(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為=0.3,故P(B)的估計值為0.3.(6分)3030200保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05(3)由所給數(shù)據(jù)得(10分)調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.1925a.因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.1925a.(12分)規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)1.概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機的,而概率是一個確定的值,通常用概率來描述隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計定義可求事件的概率,即通過大量的重復試驗,事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.1-1某種菜籽在相同的條件下發(fā)芽的試驗結(jié)果如下表,則其發(fā)芽的概率約為(結(jié)果保留1位小數(shù)).答案答案0.9解析解析(2+4+9+60+116+282+639+1339+1806+2715)(2+5+10+70+130+310+700+1500+2000+3000)0.9,當種子粒數(shù)足夠多時,發(fā)芽的頻率約穩(wěn)定于0.9,故用頻率估計概率,發(fā)芽的概率約為0.9.種子粒數(shù)251070130310700150020003000發(fā)芽粒數(shù)249601162826391339180627151-2 (2017鄭州二中月考)某保險公司利用簡單隨機抽樣方法,對投保車輛進行抽樣,樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下:(1)若每輛車的投保金額均為2800元,估計賠付金額大于投保金額的概率;(2)在樣本車輛中,車主是新司機的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車輛中,車主是新司機的占20%,估計在已投保車輛中,新司機獲賠金額為4000元的概率.賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120解析解析(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”,B表示事件“賠付金額為4000元”,以頻率估計概率得P(A)=0.15,P(B)=0.12.由于投保金額為2800元,賠付金額大于投保金額對應的情形是賠付金額為3000元和4000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元”,由已知,知樣本車輛中車主為新司機的有10%1000=100輛,而賠付金額為4000元的車輛中,車主為新司機的有20%120=24輛,所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為=0.24,由頻率估計概率得P(C)=0.24.150500 130 100 150 120120500 130 100 150 12024100考點二互斥事件與對立事件考點二互斥事件與對立事件典例典例2某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1000張獎券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C,求:(1)1張獎券中獎的概率;(2)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.解析解析 P(A)=,P(B)=,P(C)=.(1)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設(shè)“1張獎券中獎”為事件M,則M=ABC.110001010001100501000120A、B、C兩兩互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=.故1張獎券中獎的概率為.(2)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,P(N)=1-P(AB)=1-(P(A)+P(B)=1-=.故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.611000611000111000100989100098910001 10501000方法技巧方法技巧1.判斷互斥事件、對立事件的方法互斥事件、對立事件一般用定義判斷,試驗時,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;試驗時,若兩個事件有且僅有一個發(fā)生,則這兩個事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件.2.復雜事件的概率的兩種求法(1)直接求法,將所求事件分解為一些彼此互斥的事件,運用互斥事件的概率求和公式計算.(2)間接求法,先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求解,(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法就比較簡便.A2-1一個盒子內(nèi)裝有紅球、白球、黑球三種球,其數(shù)量分別為3,2,1,從中任取兩球,則互斥而不對立的兩個事件為()A.至少有一個白球;都是白球B.至少有一個白球;至少有一個紅球C.恰有一個白球;一個白球一個黑球D.至少有一個白球;紅球、黑球各一個答案答案 D紅球、黑球各取一個,則一定取不到白球,故“至少有一個白球”“紅球、黑球各一個”為互斥事件,又任取兩球還包含“兩個紅球”等事件,故D中兩事件不是對立事件.2-2做擲一個骰子的試驗,事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”,則一次試驗中,事件A+發(fā)生的概率為()A.B.C.D.答案答案 C由于基本事件的總數(shù)為6,故P(A)=,P(B)=,從而P()=1-P(B)=1-=,又A與互斥,故P(A+)=P(A)+P()=+=.故選C.B1312235626134623B2313BBB131323考點三古典概型考點三古典概型典例典例3(2016山東,16,12分)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下:若xy3,則獎勵玩具一個;若xy8,則獎勵水杯一個;其余情況獎勵飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.解析解析用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù),則基本事件空間與點集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一對應.因為S中元素的個數(shù)是44=16,所以基本事件總數(shù)n=16.(1)記“xy3”為事件A,則事件A包含的基本事件數(shù)共5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮獲得玩具的概率為.516516(2)記“xy8”為事件B,“3xy,所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.6163851638516方法技巧方法技巧解決關(guān)于古典概型的概率問題的關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件中包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時,可用列舉法把所有基本事件一一列出,但要做到不重復、不遺漏.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及正確使用計數(shù)原理.(3)當所求事件含有“至少”“至多”或分類情況較多時,通常考慮用對立事件的概率公式P(A)=1-P()求解.A3-1 (2015廣東,4,5分)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球,其中有10個白球,5個紅球.從袋中任取2個球,所取的2個球中恰有1個白球,1個紅球的概率為()A.B.C.D.1答案答案B從15個球中任取2個球,取法共有種,其中恰有1個白球,1個紅球的取法有種,所以所求概率為P=,故選B.52110211121215C110C15C11105215CCC10213-2甲、乙兩人參加法律知識競答,共有10道不同的題目,其中選擇題6道,判斷題4道,甲、乙兩人依次各抽一題.(1)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?解析解析甲、乙兩人從10道題中不放回地各抽一道題,先抽的有10種抽法,后抽的有9種抽法,故所有可能的抽法有109=90種,即基本事件總數(shù)是90.(1)記“甲抽到選擇題、乙抽到判斷題”為事件A,甲抽到選擇題有6種抽法,乙抽到判斷題有4種抽法,所以事件A包含的基本事件數(shù)為64=24,P(A)=.2490415(2)“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的對立事件是“甲、乙兩人都未抽到選擇題”,即“都抽到判斷題”.記“甲、乙兩人都抽到判斷題”為事件B,“至少有一人抽到選擇題”為事件C,則事件B包含的基本事件數(shù)為43=12,P(B)=.由對立事件的性質(zhì)可得P(C)=1-P(B)=1-=.12902152151315