傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析.ppt

第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 本章提要信號分解為正交函數(shù)傅里葉級數(shù)和傅里葉級數(shù)的形式傅里葉變換和傅里葉變換的性質周期信號和非周期信號的頻譜分析周期信號的傅里葉變換LTI系統(tǒng)的頻域分析抽樣定理序列的傅里葉分析 一 信號正交與正交函數(shù)集 1 定義 定義在 t1 t2 區(qū)間的兩個函數(shù) 1 t 和 2 t 若滿足 則稱 1 t 和 2 t 在區(qū)間 t1 t2 內正交 2 正交函數(shù)集 若n個函數(shù) 1 t 和 2 t n t 構成一個函數(shù)集 當這些函數(shù)在區(qū)間 t1 t2 內滿足 則稱此函數(shù)集為在區(qū)間 t1 t2 上的正交函數(shù)集 3 完備正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集 1 t 2 t n t 之外 不存在任何函數(shù) t 0 滿足 則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集 例如 三角函數(shù)集 1 cos n t sin n t n 1 2 和虛指數(shù)函數(shù)集 ejn t n 0 1 2 是兩組典型的在區(qū)間 t0 t0 T T 2 上的完備正交函數(shù)集 二 信號的正交分解 設有n個函數(shù) 1 t 2 t n t 在區(qū)間 t1 t2 構成一個正交函數(shù)空間 將任一函數(shù)f t 用這n個正交函數(shù)的線性組合來近似 可表示為f t C1 1 C2 2 Cn n問題 如何選擇各系數(shù)Cj使f t 與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間 t1 t2 內為最小 通常使誤差的方均值 稱為均方誤差 最小 均方誤差為 為使上式最小 系數(shù)Cj變化時 有 展開上式中的被積函數(shù) 并求導 上式中只有兩項不為0 寫為 即 所以系數(shù) 誤差 C1 在用正交函數(shù)去近似f t 時 所取得項數(shù)越多 即n越大 則均方誤差越小 當n 時 為完備正交函數(shù)集 均方誤差為零 此時有 即 函數(shù)f t 可分解為無窮多項正交函數(shù)之和 上式稱為 Parseval 巴塞瓦爾定理 公式 表明 在區(qū)間 t1 t2 f t 所含能量恒等于f t 在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和 當n 時 4 2周期信號的傅里葉級數(shù) 一 傅里葉級數(shù)的三角形式設周期信號f t 其周期為T 角頻率 2 T 它可分解為如下三角級數(shù) 稱為f t 的傅里葉級數(shù) 系數(shù)an bn稱為傅里葉系數(shù) 可見 an是n的偶函數(shù) bn是n的奇函數(shù) 將上式同頻率項合并 可寫為 式中 A0 a0 可見An是n的偶函數(shù) n是n的奇函數(shù) an Ancos n bn Ansin n n 1 2 上式表明 周期信號可分解為直流和許多余弦分量 其中 A0 2為直流分量 A1cos t 1 稱為基波或一次諧波 其角頻率與原周期信號相同 A2cos 2 t 2 稱為二次諧波 其頻率是基波的2倍 一般而言 Ancos n t n 稱為n次諧波 例4 1試將下圖所示的方波信號f t 展開為傅里葉級數(shù) 解 傅里葉系數(shù) an bn為 2 f 二 奇 偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 1 f t 為偶函數(shù) 對稱縱坐標 bn 0 展開為余弦級數(shù) 2 f t 為奇函數(shù) 對稱于原點an 0 展開為正弦級數(shù) 3 f t 為奇諧函數(shù) f t f t T 2 此時其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量 而不含偶次諧波分量即a0 a2 b2 b4 0 三 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式的傅里葉級數(shù) 含義比較明確 但運算常感不便 因而經常采用指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) 可從三角形式推出 利用cosx ejx e jx 2 上式中第三項的n用 n代換 A n An An是n的偶函數(shù) n n n是n的奇函數(shù) 則上式寫為 令 令復數(shù) 稱其為復傅里葉系數(shù) 簡稱傅里葉系數(shù) 表明 任意周期信號f t 可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和 Fn是頻率為n 的分量的系數(shù) F0 A0 2 本節(jié)小結 1 正交函數(shù)集和完備正交函數(shù)集的概念 2 周期為T的信號f t 展開為傅里葉級數(shù) 1 三角形式 或 2 指數(shù)形式 式中 A0 a0 3 奇 偶的傅里葉級數(shù) 1 f t 為偶函數(shù)時 bn 0 f t 展開為三角形式的傅里葉級數(shù)只含有余弦分量 2 f t 為奇函數(shù)時 an 0 f t 展開為三角形式的傅里葉級數(shù)只含有正弦分量 3 f t 為奇諧函數(shù)時 f t 展開為三角形式的傅里葉級數(shù)只含有奇次諧波分量