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高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題數(shù)形結(jié)合思想

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高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題數(shù)形結(jié)合思想

高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題:第二講 數(shù)形結(jié)合思想【思想方法詮釋】一、數(shù)形結(jié)合的思想所謂的數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來(lái),并充分利用這種“結(jié)合”,尋找解題思路,使問(wèn)題得到解決,數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù),以數(shù)解形”,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問(wèn)題,拓寬了解題思路,是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖象結(jié)合起來(lái),關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化二、數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題常有以下幾種:1構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍;2構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍;3構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系;4構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式;5構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題;6構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題;7構(gòu)建方程模型,求根的個(gè)數(shù);8研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常見(jiàn)方法與技巧,特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮奇特功效,具體操作時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):1準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖象,注意函數(shù)的定義域;2用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法,值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整,以便于作圖)然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,由圖求解。四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí),需做到以下四點(diǎn):1要清楚一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征;2要恰當(dāng)設(shè)參,合理用參,建立關(guān)系,做好轉(zhuǎn)化;3要正確確定參數(shù)的取值范圍,以防重復(fù)和遺漏;4精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”,使一些較難解決的代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化,以便于問(wèn)題求解?!竞诵囊c(diǎn)突破】要點(diǎn)考向1:利用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)式的幾何意義解題例1:實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),求:(1)點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積;(2)的取值范圍;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域思路精析:列出a,b滿(mǎn)足的條件畫(huà)出點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域求面積根據(jù)的幾何意義求范圍根據(jù)(a-1)2+(b-2)2的幾何意義求值域解析:方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)上的幾何意義分別是:函數(shù)y=f(x)= x2+ax+2b與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi),由此可得不等式組由,解得A(-3,1)由,解得C(-1,0)在如圖所示的aOb坐標(biāo)平面內(nèi),滿(mǎn)足條件的點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)锳BC(不包括邊界)(1)ABC的面積為(h為A到Oa軸的距離)(2)幾何意義是點(diǎn)(a,b)和點(diǎn)D(1,2)邊線的斜率由圖可知(3)(a-1)2+(b-2)2表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(a,b)與定點(diǎn)(1,2)之間距離的平方,注:如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征,就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解題,即所謂的幾何法求解,比較常見(jiàn)的對(duì)應(yīng)有:(1)連線的斜率;(2)之間的距離;(3)為直角三角形的三邊;(4)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=只要具有一定的觀察能力,再掌握常見(jiàn)的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)類(lèi)型,就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法要點(diǎn)考向2:用數(shù)形結(jié)合求方程根的個(gè)數(shù),解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題例2:(1)已知:函數(shù)f(x)滿(mǎn)足下面關(guān)系:f(x+1)=f(x-1);當(dāng)x-1,1時(shí),f(x)=x2,則方程f(x)=lgx解的個(gè)數(shù)是( )(A)5 (B)7 (C)9 (D)10(2)設(shè)有函數(shù)f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x-4,0時(shí),恒有f(x)g(x),求實(shí)數(shù)a的范圍思路精析:(1)畫(huà)出f(x)的圖象畫(huà)出y=lgx的圖象數(shù)出交點(diǎn)個(gè)數(shù)(2)f(x)g(x)變形為畫(huà)出的圖象畫(huà)出的圖象尋找成立的位置解析:(1)選C由題間可知,f(x)是以2為周期,值域?yàn)?,1的函數(shù)又f(x) =lgx,則x(0,10,畫(huà)出兩函數(shù)圖象,則交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為解的個(gè)數(shù)由圖象可知共9個(gè)交點(diǎn)(2)f(x)g(x),即,變形得,令,變形得,即表示以(-2,0)為圓心,2為半徑的圓的上半圓;表示斜率為,縱截距為1-a的平行直線系設(shè)與圓相切的直線為AT,其傾斜角為,則有tan=,要使f(x)g(x)在x-4,0時(shí)恒成立,則成立所表示的直線應(yīng)在直線AT的上方或與它重合,故有1-a6,a-5注:(1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法,其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí),需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)),然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)(2)解不等式問(wèn)題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象,根據(jù)不等式中量的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù),利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來(lái)解決不等式的解的問(wèn)題,往往可以避免繁瑣的運(yùn)算,獲得簡(jiǎn)捷的解答(3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降;奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性;最值(值域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)要點(diǎn)考向2:數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用例3:已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是()求橢圓的方程;()若橢圓在第一象限的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線,分別交橢圓于另外兩點(diǎn),求證:直線的斜率為定值;()求面積的最大值解析:()設(shè)橢圓的方程為由題意2分解得 ,所以橢圓的方程為4分()由題意知,兩直線,的斜率必存在,設(shè)的斜率為,則的直線方程為.由得 .6分設(shè),則,同理可得, 則,.所以直線的斜率為定值. 8分()設(shè)的直線方程為.由得.由,得.10分此時(shí),.到的距離為,則.因?yàn)槭古袆e式大于零,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以面積的最大值為13分注:1數(shù)形結(jié)合思想中一個(gè)非常重要的方面是以數(shù)輔形,通過(guò)方程等代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題,也就是解析法,解析法與幾何法結(jié)合來(lái)解題,會(huì)有更大的功效2此類(lèi)題目的求解要結(jié)合該類(lèi)圖形的幾何性質(zhì),將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起,觀察圖形特征,轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言,即方程(組)或不等式(組),從而將問(wèn)題解決要點(diǎn)考向2:數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用例4:如圖1,在直角梯形中,為線段的中點(diǎn).將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.() 求證:平面;() 求二面角的余弦值.解析:()在圖1中,可得,從而,故.取中點(diǎn)連結(jié),則,又面面,面面,面,從而平面. 4分,又,.平面. 6分()建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,. 8分設(shè)為面的法向量,則即,解得.令,可得.又為面的一個(gè)法向量,.二面角的余弦值為.注:1應(yīng)用空間向量可以解決的常見(jiàn)問(wèn)題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角;位置關(guān)系中的平行、垂直及點(diǎn)的空間位置其一般思路是:盡量建立空間直角坐標(biāo)系,將要證、要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算2立體幾何問(wèn)題的求解往往將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì),結(jié)合該類(lèi)圖形的幾何性質(zhì),將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起,觀察圖形特征,為代數(shù)法求解找到突破口【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題(每小題6分,共36分)1.方程lgx=sinx的根的個(gè)數(shù)( )(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)2已知全集U=R,集合A=x|x2-3x-10<0,B=x|x>3,則右圖中陰影部分表示的集合為( )A(3,5) B(-2,+) C(-2,5) D(5,+)3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知平面區(qū)域A=(x,y)|x+y1,且x0,y0,則平面區(qū)域B=(x+y,x-y)|(x,y)A的面積為( ) (A)2 (B)1 (C) (D)4函數(shù)圖象如圖,則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為( )23yx0ABCD5不等式組有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD6已知f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),當(dāng)0<x<3時(shí),f(x)的圖象如圖所示,那么不等式f(x)·cosx<0的解集是 ( )二、填空題(每小題6分,共18分)7復(fù)數(shù)(x-2)+yi,其中x、y均為實(shí)數(shù),當(dāng)此虛數(shù)的模為1時(shí),的取值范圍是8.已知關(guān)于x的方程x2-4|x|+5=m有四個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的范圍是_.9.設(shè)A=(x,y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m0,則使AB成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.三、解答題(10、11題每題15分,12題16分,共46分)10如圖,已知四棱錐的底面是正方形,底面,且,點(diǎn)、分別在側(cè)棱、上,且()求證:平面;()若,求平面與平面的所成銳二面角的大小 11如圖,是通過(guò)某市開(kāi)發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路,連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧,它所在的拋物線關(guān)于直線L1對(duì)稱(chēng)M到L1、L2的距離分別是2 km、4km,N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求拋物線弧MN的方程;()該市擬在點(diǎn)0的正北方向建設(shè)一座工廠,考慮到環(huán)境問(wèn)題,要求廠址到點(diǎn)0的距離大于5km而不超過(guò)8km,并且鐵路上任意一點(diǎn)到工廠的距離不能小于km求此廠離點(diǎn)0的最近距離(注:工廠視為一個(gè)點(diǎn))12已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x)在區(qū)間t,t+1上的最大值h(t);(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.參考答案1【解析】選C.在同一坐標(biāo)系中作出y=lgx與y=sinx的圖象,如圖.其交點(diǎn)數(shù)為3.2答案:B3作出不等式組表示的平面區(qū)域B,如圖所示,根據(jù)圖形可知該區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切危汕蟪雒娣e,所以平面區(qū)域B的面積為14答案:D5答案:A6【解析】選B.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出f(x)在(-3,0)上的圖象如圖,結(jié)合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函數(shù)值的正負(fù),易知不等式f(x)cosx<0的解集是7【解析】由題意知,設(shè),則k為過(guò)圓(x-2)2+y2=1上的點(diǎn)及原點(diǎn)的直線斜率,作圖如下:又由對(duì)稱(chēng)性,可得答案:答案:8【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,其圖象如圖. 畫(huà)直線y=m,由圖象知當(dāng)1<m<5時(shí),方程有四個(gè)不相等的實(shí)根.答案:(1,5)9【解析】由于集合A,B都是點(diǎn)的集合,故可結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解.集合A是一個(gè)圓x2+(y-1)2=1上的點(diǎn)的集合,集合B是一個(gè)不等式x+y+m0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合, 要使AB,則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含(如圖),即直線x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方),而當(dāng)直線與圓相切時(shí)有故m的取值范圍是m-1.答案:m-110解:()建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系又PA=AD=2,則有P(0,0,2),D(0,2,0)3分()又7分()設(shè)則有同理可得即得9分由而平面PAB的法向量可為故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的大小為12分11解析:(1)分別以、為軸、軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則M(2,4),N(3,9)設(shè)MN所在拋物線的方程為,則有,解得所求方程為(23)5分 (說(shuō)明:若建系后直接射拋物線方程為,代入一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求對(duì)方程,本問(wèn)扣2分) (2)設(shè)拋物線弧上任意一點(diǎn)P(,)(23)廠址為點(diǎn)A(0,)(5t8,由題意得07分令,23,49對(duì)于任意的,不等式0恒成立(*)8分設(shè),8.要使(*)恒成立,需0,即010分解得,的最小值為所以,該廠距離點(diǎn)O的最近距離為6.25km12分12【解析】(1)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.當(dāng)t+1<4即t<3時(shí),f(x)在t,t+1上單調(diào)遞增(如圖).h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7.當(dāng)t4t+1即3t4時(shí),f(x)的最大值為h(t)=f(4)=16(如圖)當(dāng)t>4時(shí),f(x)在t,t+1上單調(diào)遞減(如圖),h(t)=f(t)=-t2+8t.(2)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),即函數(shù)(x)=g(x)-f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).(x)=x2-8x+6lnx+m,當(dāng)x(0,1)時(shí)(x)>0,(x)是增函數(shù);當(dāng)x(1,3)時(shí),(x)<0,(x)是減函數(shù);當(dāng)x(3,+)時(shí),(x)>0,(x)是增函數(shù);當(dāng)x=1或x=3時(shí),(x)=0.(x)極大值=(1)=m-7,(x)極小值=(3)=m+6ln3-15.當(dāng)x充分接近0時(shí),(x)<0,當(dāng)x充分大時(shí),(x)>0,要使(x)的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),即7<m<15-6ln3.所以存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn),m的取值范圍為(7,15-6ln3).【備課資源】4.已知函數(shù)f(x)=|x2+2x|,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則b,c的大小關(guān)系是( )(A)b>c(B)bc或bc中至少有一個(gè)正確(C)b<c(D)不能確定【解析】選C.f(x)=|x2+2x|的圖象如圖.要使關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則關(guān)于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有兩個(gè)不同的根.且一個(gè)根在(0,1)內(nèi),另一個(gè)根為1.b<c.5.若直線y=kx-1與曲線y=有公共點(diǎn),則k的取值范圍是_.【解析】曲線y=的定義域?yàn)?,3,且其圖象為圓(x-2)2+y2=1的下半圓,如圖所示,則直線y=kx-1要與曲線有公共點(diǎn),則直線只能處于l1,l2之間,且可與l1、l2重合,則k的取值范圍是0,1.答案:0,16.已知有向線段PQ的起點(diǎn)P與終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為P(-1,1),Q(2,2).若直線l:x+my+m=0與有向線段PQ延長(zhǎng)線相交,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8.集合A=x|-1<x<1,B=x|x<a,(1)若AB=,求a的取值范圍;(2)若AB=x|x<1,求a的取值范圍.【解析】(1)如圖所示:A=x|-1<x<1B=x|x<a,且AB=,數(shù)軸上點(diǎn)x=a在x=-1左側(cè),a-1.(2)如圖所示:A=x|-1<x<1,B=x|x<a且AB=x|x<1,數(shù)軸上點(diǎn)x=a在x=-1和x=1之間,-1<a1.9.如圖,l1、l2是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段.點(diǎn)A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN.(1)證明ACNB;(2)若ACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz.令MN=1,則有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0).(1)MN是l1、l2的公垂線,l1l2,l2平面ABN,l2平行于z軸.故可設(shè)C(0,1,m).于是內(nèi)容總結(jié)(1)高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題:第二講 數(shù)形結(jié)合思想【思想方法詮釋】一、數(shù)形結(jié)合的思想所謂的數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來(lái),并充分利用這種“結(jié)合”,尋找解題思路,使問(wèn)題得到解決,數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法

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