福建省光澤縣第二中學高中數(shù)學 正弦定理課件 新人教A版必修5

在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸,我們仰望夜空會有無限遐想,不禁會問,遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢? 早在1671年,兩個法國天文學家就測出了地球與月亮之間的距離大約為.他們是怎樣測出兩者之間距離的呢?BCA?回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系? ? ABCcba在直角三角形ABC中，已知C=90，BC=a，AC=b，AB=c，則邊長和角之間有何關(guān)系？222cba Abatan 90BAsinaAcsinbBccosbAccosaBc在以上關(guān)系式中，你能發(fā)現(xiàn)還有哪些相等的關(guān)系？在以上關(guān)系式中，你能發(fā)現(xiàn)還有哪些相等的關(guān)系？ABCcbacBbAa sinsin1sin CCcBbAasinsinsin 由sinaAcsinbBc可得：cosbAccosaBc由可得：coscosbaAB這兩個關(guān)系能否推廣到任意三角形這兩個關(guān)系能否推廣到任意三角形呢？呢？方案一：由已知推未知在任意斜在任意斜ABC當中：當中： .sinsinsinCcBbAaABCcbaD方案二：面積法在任意斜在任意斜ABC當中：當中： AbcBacCabSABCsin21sin21sin21同除同除abc21即得：即得： .sinsinsinCcBbAaABCcbaDcos90cos(90)cos(90)j ACj CBCj ABA AcCasinsin 即即CcAasinsin CcBbsinsin 方案三：向量法方案三：向量法在銳角在銳角 中，中，過過A作單位向量作單位向量 垂直于垂直于 ， ABC ACj()jACCBj AB 則有則有 與與 的夾角為的夾角為 ，A 90jAB ACCBAB 等式等式j(luò)BC 與與C 90的夾角為的夾角為同理，過同理，過C作單位向量作單位向量 垂直于垂直于 可得可得jCB j CBACcBbAasinsinsin 同樣可證得：同樣可證得：CcBbAasinsinsin 這就是說，對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形來這就是說，對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形來說，上面的關(guān)系式均成立說，上面的關(guān)系式均成立. .因此因此. .我們得到下面的定理我們得到下面的定理. .在鈍角在鈍角 中，中，過過A作單位向量作單位向量 垂直于垂直于 ， ACABC j則有則有 與與 的夾角為的夾角為 ， 與與 的夾角為的夾角為 . 等式等式 .90 ACBC 90ABCBAC ABjj 在鈍角三角形中，怎樣將三角形的邊用向量表示？怎樣引在鈍角三角形中，怎樣將三角形的邊用向量表示？怎樣引入單位向量？怎樣取數(shù)量積？入單位向量？怎樣取數(shù)量積？CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，相等，即即1 它適合于任何三角形。它適合于任何三角形。2 2 可以證明可以證明 2.sinsinsinabcRABC（2R2R為為ABCABC外接圓直徑）外接圓直徑） 3 每個等式可視為一個方程：知三求一每個等式可視為一個方程：知三求一正弦定理可以解什么類型的三角形問題？正弦定理可以解什么類型的三角形問題？ 1、已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；、已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；三、正弦定理的應(yīng)用三、正弦定理的應(yīng)用2、已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形、已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊的其他的邊和角和角例1：已知：A=60 ,C=45 ,c=1，求a.解：由題意知：A=60 ,C=45 ,c=1 根據(jù)正弦定理得，sin1 sin601.3sinsin45cAaCCBA.s i ns i nbcBC180()180(3281.8 )66.2BABsin42.9 sin81.880.1sinsin32.0cBbA 解：例例2 2、在、在ABC中，已知中，已知 求求b（保留一個有效數(shù)字）（保留一個有效數(shù)字） 42.9,32 ,81.8aAB例例3 3、在、在ABC中，已知中，已知 20ab=28 A=40 求求B (精確到精確到1 )和和c（保留兩個有效數(shù)字）（保留兩個有效數(shù)字）sin28 sin 40sin0.899920bABa解 ：1264 ,116 .BB11164,180()180(6440 )76 .BCBA當時11sin20 sin 7630.sinsin 40aCcA222116,180()180(11640 )24.BCBA當時22sin20 sin 2413.sinsin 40aCcA30練習: ABC中，75或15(1)3,45 ,75cAB、已知：則a=_ 2(2)2,120 ,2 3cAa、已知：則B=_ 2 6(3)2,45 ,3cAa、已知：則B=_ 小結(jié):2. 正弦定理可解以下兩種類型的三角形：（1）已知兩角及一邊；（2）已知兩邊及其中一邊的對角.1. 正弦定理 是解斜三角形的工具之一. asinAbsinBcsinC2R