“一分為二”看問(wèn)題二

四、對(duì)導(dǎo)函數(shù)一分為二成兩個(gè)函數(shù)之和 例7 證明:對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立. 分析  對(duì)任意的正整數(shù)，要證不等式都成立，設(shè)，則只要證明當(dāng)時(shí)，不等式即 恒成立.設(shè)，則只要證當(dāng)時(shí)，恒成立即可. 證明 設(shè).則當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即，也就是恒成立.令，則，故對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立. 點(diǎn)評(píng) 這里判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)時(shí)，其分子不能用因式分解法定號(hào)，我們將分子一分為二成兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，從而確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，使問(wèn)題得以解決. 例8討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 解 ，注意到，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.又時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由函數(shù)的圖像可知： （1）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖像與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)； （2）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖像與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，所以沒(méi)有零點(diǎn)； （3）當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn). 點(diǎn)評(píng)  這里將導(dǎo)函數(shù)一分為二成兩個(gè)函數(shù)與之和，而這兩個(gè)函數(shù)具有相同的零點(diǎn)和相同的單調(diào)性，從而得出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)和單調(diào)性，本解法充分體現(xiàn)了一分為二的對(duì)立與統(tǒng)一. 一分為二是普遍的，但不能作機(jī)械的理解.本文所舉案例中的函數(shù)的可分性從內(nèi)容、形式及過(guò)程是多種多樣的，既可對(duì)自變量的取值范圍一分為二，也可將一個(gè)函數(shù)整體一分為二成兩個(gè)函數(shù)的和差積商，還可對(duì)其導(dǎo)函數(shù)或其局部一分為二.一分為二只是一種形式，正確地認(rèn)識(shí)和把握一分為二，就既要看到矛盾雙方的對(duì)立和排斥，也要看到雙方的聯(lián)系和統(tǒng)一，以及在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)立和統(tǒng)一才是一分為二的精髓.