“一分為二”看問題

一、對函數(shù)自變量的取值范圍一分為二 例1（2010年高考全國卷第20題）已知函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）證明:. 分析 （1）略；（2）對自變量的取值范圍一分為二，則只要證：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 證明  當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以 ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立. 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)時(shí)，. 綜上可知. 點(diǎn)評  對自變量的取值范圍一分為二實(shí)際上就是分類討論的思想. 例2(2011年高考浙江卷理科第22題)設(shè)函數(shù).（1）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對任意的，恒有成立. 分析  對于第(2)問，注意到，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，因而問題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 由可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，不等式及都恒成立.于是問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值及函數(shù)的最小值，易求得的取值范圍是. 點(diǎn)評  本題先將自變量的取值一分為二，再用分離參數(shù)法將函數(shù)一分為二. 二、對函數(shù)解析式一分為二成兩種類型的函數(shù) 例3 討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 解析  要討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，按對數(shù)型和二次函數(shù)將該函數(shù)一分為二，則只要討論兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.由于，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.又時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.而，在同一坐標(biāo)系畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示.  從圖像可知： （1）當(dāng)即時(shí)，兩函數(shù)圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，則只有一個(gè)零點(diǎn)； （2）當(dāng)即時(shí)，兩函數(shù)的圖像沒有公共點(diǎn)，則沒有零點(diǎn)； （3）當(dāng)即時(shí)，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn). 例4  求證:對任意的，都有.  分析  設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，只要證明即可.易求得，然而很難求出的零點(diǎn)，故可考慮按指數(shù)、對數(shù)的形式將函數(shù)一分為二成兩個(gè)函數(shù)，從這兩個(gè)函數(shù)的圖像和最值尋找解題契機(jī).  解  設(shè)，則只要證明即可.，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)椋?#160;當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以.因此，.因?yàn)閮蓚€(gè)等號成立的條件分別是和，故兩個(gè)等號不能同時(shí)成立，所以.這兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示. 三、將函數(shù)一分為二成兩個(gè)函數(shù)之積 例5（2011年湖南卷理科第22題）已知函數(shù).（）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；（）略. 解 因函數(shù)，故零點(diǎn)的集合就是函數(shù)在上零點(diǎn)集合之并.顯然有一個(gè)零點(diǎn)，又，由零存在性定理知，在上有零點(diǎn)，又在上單調(diào)遞增，故在上有唯一零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). 例6（2010年江西高考題）等比數(shù)列中，函數(shù)，則（   ）              解 設(shè)，則，所以，所以，故選.